1997考研数四真题及解析10814.pdf

Born to win 1 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题共5 分,每小题3 分,满分15 分.把答案在题中横线上.)(1)设()(ln)f xyfx e,其中f可微,则dy .(2)设13201()()1f xxf x dxx,则 10()f x dx .(3)设n阶矩阵0111110111110111110111110A,则|A .(4)设,A B是任意两个随机事件,则()()()()PABABABAB .(5)设随机变量X服从参数为(2,)p的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,)p的二项分布.若519P X,则1P Y .二、选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设(),()f xx在点0 x 的某邻域内连续,且当0 x 时,()()f xx是的高价无穷小,则当0 x 时,0()sinxf ttdt是0()xtt dt的 ()(A)低阶无穷小 (B)高阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小(2)若()()()fxf xx ,在(,0)内()0,()0fxfx,则()f x在(0,)内 有 ()(A)()0fx,()0fx (B)()0fx,()0fx(C)()0fx,()0fx (D)()0fx,()0fx(3)设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ()(A)12,23,31 Born to win 2(B)12,23,1232(C)122,2323,313(D)123,1232322,123355(4)非 齐 次 线 性 方 程 组Axb中 未 知 量 个 数 为n,方 程 个 数 为m,系 数 矩 阵A的 秩 为r,则 ()(A)rm时,方程组Axb有解(B)rn时,方程组Axb有惟一解(C)mn时,方程组Axb有惟一解(D)rn时,方程组Axb有无穷多解(5)设X是一随机变量,()E X,2()(,0)D X 常数,则对任意常数c,必有 ()(A)222()()E XcE Xc (B)22()()E XcE X (C)22()()E XcE X (D)22()()E XcE X 三、(本题满分6 分)求极限2201lim()ln(1)(0)xaaaxaxx.四、(本题满分6 分)设(,)uf x y z有连续偏导数,()yy x和()zz x分别由方程0 xyey和0zexz所确定,求dudx.五、(本题满分6 分)假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：1200080Qp,商品的总成本C是需求量Q的函数：2500050CQ；每单位商品需要纳税 2 元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.六、(本题满分7 分)求曲线22yxx,0y,1x,3x 所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.七、(本题满分7 分)Born to win 3 设函数()f x在(,)内连续,且0()(2)()xF xxt f t dt,试证：(1)若()f x为偶函数,则()F x也是偶函数.(2)若()f x为单调不增,则()F x单调不减.八、(本题满分6 分)设D是以点(0,0)O,(1,2)A和(2,1)B为顶点的三角形区域,求Dxdxdy.九、(本题满分7 分)设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数.设分块矩阵 其中A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb.十、(本题满分9 分)设矩阵A与B相似,且(1)求,a b的值；(2)求可逆矩阵1,PP APB使.十一、(本题满分8 分)假设随机变量X的绝对值不大于 1；111,184P XP X；在事件 11X 出现的条件下,X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求：(1)X的分布函数()F xP Xx；(2)X取负值的概率p.十二、(本题满分8 分)假设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量(1)求12XX和的联合概率分布；Born to win 4(2)求12()E XX.1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、填空题(本题共5 分,每小题3 分,满分15 分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()1lnlnf xefxfx fx dxx【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln)f xyfx e 可知(2)【答案】3【分析】注意本题要求的10()f x dx是个常数.【解析】令10()f x dxA,则321()1f xAxx,两边从 0 到 1 作定积分,得 11113420000arctan1444dxAAAAx dxxxx3A.(3)【答案】111nn【解析】把第2 3,n各行均加至第 1 行,则第 1 行为1n,提取公因式1n后,再把第 1 行的-1 倍加至第2 3,n各行,可化为上三角行列式,即 1011111111110111010001101100100(1)(1)(1)11101000101111000001nAnn.(4)【答案】0【解析】根据事件间运算的分配律,有()()AB CBACB,故 如果将()()ABAB直接展开也是一样的,()()ABABAAABBABBB.所以()()()()0.PABABABABP BBP (5)【答案】1927 Born to win 5【解析】由于两个二项分布服从的参数p相等,所以只需通过其中一个条件确定参数p,则另一个二项分布的参数就可以确定.因(2,)XBp,所以002 0221101(1)1(1)P XP XC ppp .(通常在求一个事件概率比较复杂时,往往我们都考虑通过它的对立事件来求)又519P X,故 2254211(1)(1)19933pppp.(由于概率是必需小于等于的,所以开根号时,只能取正)因此,1(3,)3YB,故【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.二、选择题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】由无穷小阶的比较的概念可知,只要考察极限000()sinlim()xxxf ttdttt dt即可.【解析】由于 000000()sin()sinsin()limlimlimlim0()()()xxxxxxf ttdtf xxxf xxxxxtt dt,因此,当0 x 时,0()sinxf ttdt是0()xtt dt的高阶无穷小.故应选(B).(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法 1：由()()fxf x(,)知,()f x的图形关于y轴对称.由在(,0)内,Born to win 6 0fx且()0fx知,()f x的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)内,()f x的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法 2：由()()fxf x可知()(),()()fxfxfxfx.当(0,)x时,(,0)x ,此时由题设知0fx,()0fx,则()0,()0,(0,)fxfxx,故应选(C).方法 3：排除法.取2()f xx,易验证()f x符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法 4：由题设可知()f x是一个二阶可导的偶函数,则()fx为奇函数,()fx为偶函数,又在(,0)内()0,()0fxfx,则在(0,)内()0,()0fxfx,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,)(,)C 技巧相结合.【解析】对于(A),1223310,即存在一组不全为零的数 1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,线性相关,排除(A)；对于(B),122312320,即存在一组不全为零的数 1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,2 线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k,k,k,使得 11222331322330kkk,整理得 13112223322330.kkkkkka 已知1,2,3线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330kkkkkk 因 的 系 数 行 列 式101220120033,故 有 唯 一 零 解,即1230kkk.故 原 向 量 组 Born to win 7 122,2323,313线性无关.应选(C).或 者 也 可 以 将122,2323,313用123,线 性 表 出,且 写 成 矩 阵 形 式,有 1223311231231012,23,3,220,033C 记,120C,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由1,2,3线性无关知122,2323,313线性无关.(4)【答案】(A)【解析】因A是mn矩阵,若 r Am,增广矩阵A,b也只有m行,则 mr Ar A,bm,故有 r Ar A,b,故Axb有解.应选(A)；或,由 r Am知A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵A,b的m个行向量也是线性无关的,亦即 r Ar A,b；关于(B)(D)不正确的原因是：由rn不能推出 r Ar A,b,(注意：A是mn矩阵,m可能大于n),Axb无解.故(B)(D)不成立.至于(C),当mn时,Axb还可能无解,及无穷多解,(只有当rmn时,Axb才有唯一解),故(C)不成立.(5)【答案】(D)【解 析】首 先 看A选 项：由 于22222()(2)2E XcE XcXcEXcEXc,如 果222()()EXcEXc成立,则有 22222222EXcEXcEXccEXc.若0c,则等式成立.若0c,即有EXc,而()E X,与c为任意常数矛盾.故 A 错.再看 B 选项：22222()(2)2E XcE XcXcEXcEXc,Born to win 8 而 22222()(2)2E XE XXEXEX,若22()()E XcE X成立,则 22222()()()EXcEXcc EXcc.若c,与c为任意常数矛盾.若c,则()/2EXc,与()E X矛盾(因为c为任意常数),故 B 错.再来看选项：由于要比较22()()E XcE X和,所以直接的想法是在左边构造出右边项来.在数学计算中经常用到的加一项减一项的技巧.2222()()()2()()()E XcE XcE XE XEcEc,由()0E XEXE 所以22222()()()()()E XcE XcE XEcE X,故(D)正确,(C)错.【相关知识点】1.随机变量数学期望的性质：若随机变量XY和的期望存在,则()E aXbYaEXbEY(其中,a b为常数),Ecc(其中c为常数).三、(本题满分6 分.)【分析】注意本题中有一项2ln(1)aax,当0 x 时,此项极限存在且为 0,所以此项应单独提出来,剩余两项为 型未定式,应先通分然后用洛必达法则.【解析】原式220ln(1)lim()ln(1)xaaxaaxxx 四、(本题满分6 分.)【解析】由题设有 duff dyf dzdxxy dxz dx.(*)Born to win 9 在0 xyey中,将y视为x的函数,两边对x求导,得 2()011xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy.(1)在0zexz中,将z视为x的函数,两边对x求导,得 0zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxyx.(2)将(1)、(2)两式代入()式,得 21dufyfzfdxxxyyxyxz.【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)uu x y和(,)vv x y在点(,)x y处偏导数存在,函数(,)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在点(,)x y处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxvxyuyvy .五、(本题满分6 分)【解析】以表示销售利润额,则()16016160pp,令0,得101p.由于1011600p,可见,101p 时,有极大值,也是最大值(因为101p 是惟一驻点).最大利润额101167080p(元).六、(本题满分7 分)【解析】如右图所示,所求面积12SSS,1S表示该平面图形在x轴下方的部分,2S表示该平面图形在x轴上方的部分.易见,222223111112(2)33Sxxdxxx,333232222214(2)33Sxx dxxx.1 2 3 O Born to win 10 故所求图形的面积122SSS.平面图形1S绕y轴旋转一周所得的旋转体体积 021111(11)6Vydy；平面图形2S绕y轴旋转一周所得的旋转体体积 32204327(11)6Vydy.故所求旋转体体积129VVV.七、(本题满分7 分)【分析】证明()F x是偶函数要用定义；证明()F x单调不减,只需证明()0F x.【解析】(1)因为 则()F x为偶函数.(2)由00()()2()xxF xxf t dttf t dt可知(其中介于 0 与x之间)若0 x,则x,从而()()0ff x,于是()0F x；若0 x,则x,从而()()0ff x,于是()0F x,即对一切的(,)x ,有()0F x.原题得证.八、(本题满分6 分)【解析】直线OA,OB和AB的方程相应为 2yx,12yx和3yx.过点A向x轴做垂线AP,它将D分成1D和2D两个区域(如右图所示),其中点P的横坐标为 1.因此,有 1(,)01,22xDx yxyx；2(,)12,32xDx yxyx.O 1 x P y 2 1 A B Born to win 11 故 1212230122xxxxDDDxdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy 2121223230011331313(3)222222x dxxx dxxxx.九、(本题满分7 分)【解析】(1)由*AAA AA E及1*AA A,有(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 0TEPAAA,又因A是非奇异矩阵,所以0A,故1TQA bA.由此可知Q可逆的充要条件是0Q,即10TbA,亦即1TAb.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA是 1 阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 *,*AOAABBOB *1*mnOAAABBBO.2.行列式乘积公式：设,A B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即ABA B.十、(本题满分9 分)【分析】B是对角矩阵,那么A与B相似时的矩阵P就是由A的线性无关的特征向量所构成的,求矩阵P也就是求A的特征向量.【解析】(1)因为AB ,则3311iiiiia,AB,即(2)由题设条件AB ,由相似矩阵的性质,A有特征值12326,.当122,由20EA x,21 231(3)2111111111222422220002335333000EA ,Born to win 12 得到基础解系为1211 01 0 1TT,即为矩阵A的属于特征值122的线性无关的特征向量；当36,由60EA x,其基础解系为31 2 3T,即为矩阵A的属于特征值36的特征向量.那么,令123111102013P,则有1P APB.【相关知识点】1.相似矩阵的性质：相似矩阵的特征值相同.十一、(本题满分8 分)【解析】(1)求分布函数()F xP Xx实质上是求Xx的概率.由X的绝对值不大于 1,可得 当1x 时,()0F xP Xx；当1x 时,()1F xP Xx；又111,184P XP X,则 115 111111848PxP XP X ；由题意X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X的值属于(1,1)的条件下,事件1Xx 的条件概率为：(1)11|111(1)2xxPXxXkk (其中k为比例正常数),又 11|111PXX ,而 1 111|112PXXkk ,所以1k,故11|112xPXxX ；当11x 时,1111XxXxX ,所以11,11PXxPXxX .由条件概率公式,有 Born to win 13()11F xP XxP XPXx ,而 11111088P XP XP X ,所以 15557()1181616xxF xP XxP XPXx ,故 0,157(),11161,1xxF xxx .(2)X取负值的概率 而 5 0770(0)1616P XF,又随机变量的密度函数在(1,1)内是连续的,所以在(1,1)内随机变量在一点处的概率为,即00P X,所以7700001616pP XP XP X.【相关知识点】1.条件概率公式：|P ABP B P A B.十二、(本题满分8 分)【解析】(1)要求12XX和的联合概率分布,其中12XX和都是与Y相关,所以通过求Y的概率来求12XX和的概率.因Y服从参数为1的指数分布,则其分布函数为：10,()0yeyF y 其它,由0,(1,2)1,kYkXkYk若若,知12(,)XX只有四种可能取值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).因事件10X 相当于事件1Y；事件20X 相当于事件2Y；事件11X 相当于事件1Y；事件21X 相当于事件2Y.所以 1120,01,21(1)1P XXP YYP YFe,120,11,20P XXP YY,(Y既要小于等于,又要大于是不可能的,所以概率为)Born to win 14 1221121,01,212(2)(1)(1)(1),P XXP YYPYFFeeee 12221,11,22121(2)1(1),P XXP YYP YP YFee 即有(2)由期望的性质和离散型随机变量期望的定义,有：所以 121212()E XXEXEXee.【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aXbYcaE XbE Yc,其中,a b c为常数.2.离散型随机变量数学期望的定义：1()nkkkE XxP Xx.0 1 1