A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法5034.pdf
手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180 （3）OA 平分BOC 变形：例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2)DCAE (3)AE与DC之间的夹角为60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)BH平分AHC(7)ACGF/变式精练 1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE（2）DCAE （3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 变式精练 2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2）DCAE (3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 例 2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,二者相交于点H 问：（1）CDEADG是否成立（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE 例 3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,二者相交于点H 问：（1）CDEADG是否成立（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE 例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,EBCB CBEABD,连结AE与CD，问：（1）DBCABE是否成立（2）AE是否与CD相等（3）AE与CD之间的夹角为多少度（4）HB是否平分AHC 例 5：如图，点 A.B.C 在同一条直线上，分别以 AB、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形ABD、BCE.连接 AE、DC，AE 与 DC 所在直线相交于 F，连接 FB.判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你的结论。【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62，求角 AEB 的度数 倍长与中点有关的线段 倍长中线类 考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线 ABC 中 方式 1：延长 AD 到 E，AD 是 BC 边中线 使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于 F，延长 MD 到 N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD DABCEDABCFEDCBANDCBAM 【例1】已知：ABC中，AM是中线求证：1()2AMABAC MCBA 【练 1】在ABC中，59ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么 【练 2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBC ECFC FECBA 【练 3】如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，F 是AC 延长线上的一点，且 BD=CF，连结 DF 交 BC 于 E求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE FEDCBA 【练 1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF FEDCBA 【练 2】如图，在ABC 中，ABAC，E 为 BC 边的中点，AD 为BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB于 F，交 CA 的延长线于 G.求证：BF=CG.【练 3】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线 GFEDCBA 【练 4】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DECD，EFAC 求证：EFAB FACDEB 【例 3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BECFEF FEMCBA 【练 1】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE若3AD，4BE，则线段DE的长度为_ FEDCBA【练 2】如图，ABC 中，AB=2AC，AD 平分 BC 且 ADAC，则BAC=_.【练 3】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形（2）如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC MNDABC 【例 4】如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（证角相等方法）【练 1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练 2】如图，在ABC中，ABCD，BDABAD，AE是BD边的中线.求证：AEAC2 【例 5】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC EDCBA【练 1】已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线 求证：2CDCE EDCBA 【练 2】如图,CB、CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 中线,且 AC=AB,ACB=ABC.求证 CE=2CD.【例 16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练 1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段ME与MC数量关系和关系.如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.DOECBA全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等)【例10】如图所示，ABC中，0045,90BC，AD 平分BAC交 BC于 D。求证：AB=AC+CD。【练 1】如图所示，在ABC中，060B，ABC的角平分线 AD、CE 相交于点 O。求证：AE+CD=AC。【练 2】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 【练 2】如图,在四边形 ABCD 中,ADBC，AE 平分BAD 交 DC 于点 E，连接 BE，且 AEBE，求证：AB=AD+BC.DACBOEDABCNMDCBA 【练 3】已知：如图,在ABC 中,A=90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线。求证：BC=AB+AD.【练 4】点 M，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证 MN=MB+NC 【例 11】已知如图所示，在ABC 中,AD 是角平分线,且 AC=AB+BD,试说明B=2C（不只是边，倍角也适用）【练 1】如图，在ABC 中，ABAC，BDAC 交 AC 于点 D求证：DBC21BAC DCBA 【例 12】如图所示，已知21，P 为 BN 上一点，且BCPD 于 D，AB+BC=2BD，求证：0180BCPBAP。【练 1】如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA 【例 13】如图所示，在ABCRt中，AB=AC，090BAC，CBDABD，CE 垂直于 BD 的延长线于E。求证：BD=2CE。【练 1】已知：如图示，在 RtABC 中，A=90，ABC=2C，BD 是DACEB21DMBCPNACEDBCAABC 的平分线求证：CD=2AD 【练 2】如图所示，在ABC中，090ABC，AD为BAC的平分线，C=300，ADBE 于 E 点，求证：AC-AB=2BE。【练 3】正方形 ABCD,E 是 BC 上一点,AEEF,交DCH 的平分线于点 F，求证 AE=EF 【练 4】已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE FECABD 【例 14】如图所示，已知ABBCDABC,探求 ED、AE 和 BC 之间有何数量关系 【练 5】在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 【例 15】如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证：AB-ACPB-PC A 12 P B C EDBACD FEABCDPEDCBA【练 1】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F 求证：BECFEF MFECBA 如图，E 是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。构造等边三角形 1、如图,已知ABC 中,AB=AC,D 是 CB 延长线上一点,ADB=60，E 是 AD 上一点，且有 DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.FDCAOBE DCBA 练习 1、如图,在ABC 中,ACB=90,BE 平分ABC,DEAB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm 练习 2、在ABC 和ABC中,AB=AB,AC=AC,点 D,D分别是 BC,BC的中点,且 AD=AD,证眀：CBAABC.（倍长中线）A B C D A B C D 练习 3、如图，在ABC 中，BE 是ABC 的角平分线，ADBE，垂足为 D，求证：2=1+C 练习 4、如图（1），已知ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B、C 在 A、E 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何请直接写出结果；（3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图（3）位置时（BDCE），其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何请直接写出结果，不需说明理由 如图所示，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，有过 A 的任一条直线 AN，BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DEBDCE（思路：截长补短法）如图,在ABC 中,AB=AC,D 是三角形外一点,且ABD=60,BD+DC=AB.求证：ACD=60.（截长补短）1、如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）MFECBA 2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F 求证：BECFEF（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，B=90，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D求证：AC=AB+BD证明：如图 1，在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AED=B=90，DE=DB 又C=45，DEC 是等腰直角三角形 DE=EC AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图 2，等腰直角三角形 ABC 中，B=90，AD 是BAC 的平分线，交 BC 边于点 D，DEAC，垂足为 E，若 AB=2，则三角形 DEC 的周长为 【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交 BC 边于点 D”换成“AD 是外角平分线，交 BC 边的延长线于点 D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段 AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形 ABC，ABC=2C，AD 是BAC 的外角平分线，交 CB 边的延长线于点 D，如图 4，请你写出线段 AC、AB、BD 之间的数量关系 如图,已知B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC.（1）求证：AM 平分DAB（2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系（3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系直接写出结果。
