2020年高考数学(理)函数与导数专题10函数与方程(解析版)11909.pdf

1 函数与导数 10 函数 函数与方程 一、具体目标：了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与 x 轴交点的横坐标之间的关系；掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间；2.二分法求相应方程的近似解；3.备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.4.函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法 二、知识概述：1.函数的零点：(1)函数零点的概念 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点.2.零点存在性定理：如果函数()yf x在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b，那么，函数()yf x在区间（a，b）内有零点，即存在(,)ca b，使得()0f c，这个c也就是方程()0f x 的根.3.“二分法”的基本内涵是：把函数 f(x)的零点所在的区间a，b（满足 f(a)f(b)0）“一分为二”：a，m、m，b，根据“f(a)f(m)0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为a，b；将所得的区间 a，b重复上述的步骤，直到含零点的区间a，b“足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给【考点讲解】2 定的精确度 d(即abd)4.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程 f(x)a 在区间 I 上有解ay|yf(x)，xI yf(x)与 ya 的图象在区间 I 上有交点 (2)方程 f(x)a 在区间I上有几个解yf(x)与 ya 的图象在区间 I 上有几个交点 一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答 5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 1.【2019年高考全国卷文数】函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）A2 B3 C4 D5【解析】由()2sinsin 22sin2sincos2sin(1cos)0f xxxxxxxx，得sin0 x 或cos1x，0,2x，0 x、或2()f x在0,2的零点个数是 3.故选 B【答案】B 2【2019 年高考天津文数】已知函数2,01,()1,1.xxf xxx若关于 x 的方程1()()4f xxa a R恰 有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为（）【真题分析】3 A5 9,4 4 B5 9,4 4 C5 9,14 4 D5 9,14 4 【解析】作出函数2,01,()1,1xxf xxx的图象，以及直线14yx，如图，关于 x 的方程1()()4f xxa a R恰有两个互异的实数解，即为()yf x和1()4yxa a R的图象有两个交点，平移直线14yx，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a 或54a，考虑直线1()4yxa a R与1yx在1x 时相切，2114axx，由210a，解得1a（1舍去），所以a的取值范围是5 9,14 9.故选 D.【答案】D 3.【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x 若函数()yf xaxb 恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x，则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，4 则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：0 且32011(1)1(1)032baaab，解得 b0，1a0，b（a+1）3，则 a1，b0.若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 .【解析】作出函数()f x，()g x的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f xx的图象与1()(12,34,56,78)2g xxxxx 的图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 2 个不同的实数根，要使关于x的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则2()1(1),(0,2f xxx与()(2),(0,1g xk xx的图象有2 个不同的交点，由(1,0)到直线20kxyk的距离为 1，可得2|3|11kk，解得2(0)4kk，两点(2,0),(1,1)连线的斜率13k，1234k，综上可知，满足()()f xg x在(0,9上有 8个不同的实数根的 k 的取值范围为1234，.【答案】12,34 8.【2018 年浙江卷】已知 R，函数 xxxxxxf,34.42，当2时，不等式 0 xf的解 7 集是_若函数 xf恰有 2 个零点，则的取值范围是_【解析】本题考点是不等式组的求解以及分段函数的零点问题.由题意可得：042xx或03422xxx解得2142xx或，所以不等式 0 xf的解集为41，.当4时，04 xxf，此时 3,1,0342xxxxf，即在，上有两个零点；当4时，404xxxf，由 342xxxf在，上只能有一个零点得31.综上，的取值范围为，431.【答案】41，431 9.【2018 年江苏卷】若函数 Raaxxxf1223在，0内有且只有一个零点，则 xf在11，上的最大值与最小值的和为_【解析】本题考点是利用函数零点的条件，确定参数及函数的最值，完成题的要求.由题意可知：axxxf262，由 3,00262axxaxxxf可得，因为函数在，0内有且只有一个零点，并且 10 f，,03a所以有03af，因此有0133223aaa，可得3a，从而函数 xf在01，上单调递增，在 10，上单调递减，所以 0maxfxf，01,41ff，310minmaxffxfxf.【答案】3 10.【2018 年天津卷】已知0a，函数 0,220,222xaaxxxaaxxxf，若关于x的方程 axxf恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是_.【解析】法一：由题意可用分类讨论的方法，即讨论0 x和0 x两种情况.8 当0 x时，方程 axxf，也就是axaaxx 22，整理可得12xax，很明显可知1x不是方程的实数解，有12xxa.当0 x时，方程 axxf，也就是axaaxx222，整理可得22xax，很明显可知2x不是方程的实数解，有22xxa，设 0,20,122xxxxxxxg，其中 211112xxxx，424222xxxx，原问题等价于函数 xg与函数ay 有两个不同的的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 xg的图 象，同时绘制函数ay 的图象如图所示，考查临界条件，结合0a观察可得，实数a的取值范围是8,4.【答案】8,4 法二：当0 x时，方程 axxf，也就是axaaxx 22，整理可得12xax，很明显可知1x不是方程的实数解，有12xxa.设 12xxxg，则 2212xxxxg，由 0 xg可得0112xx或，函数递增，0 xg可得2x，函数递减，所以当 9 2x时，xg取得极小值为42 g.当0 x时，方程 axxf，也就是axaaxx222，整理可得22xax，很明显可 知2x不是方程的实数解，有22xxa，设 222xxxxh，则 2224xxxxh，由 0 xh可得4x，函数递增，0 xh可得4220 xx或，函数递减，所以当4x 时，xh取得极小值为 84 h.要使 axxf恰有 2 个互异的实数解，结合图象则a的取值范围是 8,4.【答案】8,4 1.若关于 x 的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_【解析】当 x0 时，显然是方程的一个实数解；当 x0 时，方程|x|x4kx2可化为1k(x4)|x|(x4)，设 f(x)(x4)|x|(x4 且 x0)，y1k，原题可以转化为两函数有三个非零交点 则 f(x)(x4)|x|x24x，x0，x24x，x0且x4的大致图象如图所示，由图，易得 01k14.所以 k 的取值范围为14，.【答案】14，【模拟考场】10 2.若函数错误!未找到引用源。有两个零点，则实数错误!未找到引用源。的取值范围是_.【解析】由函数错误!未找到引用源。有两个零点，可得错误!未找到引用源。有两个不等的根，从而可得函数错误!未找到引用源。函数错误!未找到引用源。的图象有两个交点，结合函数的图象可得，错误!未找到引用源。，故答案为：错误!未找到引用源。.【答案】错误!未找到引用源。3.函数错误!未找到引用源。的零点个数是_.【解析】本题考点是分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.令错误!未找到引用源。得，错误!未找到引用源。，只有错误!未找到引用源。符合题意；令错误!未找到引用源。得，错误!未找到引用源。，在同一坐标系内，画出错误!未找到引用源。的图象，观察知交点有错误!未找到引用源。，所以零点个数是错误!未找到引用源。.【答案】错误!未找到引用源。4.【2018 年全国卷理】函数 63cosxxf在，0的零点个数为_【解析】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，由题意可知619,663,0 xx，则有25632363263xxx，可得97,94,9x此时都有 0 xf，11 所以函数 63cosxxf在，0的零点个数有 3 个.【答案】3 5.函数错误!未找到引用源。的零点个数为_.【解析】本题考查函数与方程，涉及常见函数图象绘画问题，函数错误!未找到引用源。的零点个数等价于方程错误!未找到引用源。的根的个数，即函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象交点个数.于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象有 2 个交点.【答案】错误!未找到引用源。.6.已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx，若 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12 B.12，1 C(1,2)D(2，)【解析】由题意得函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象有两个不同的交点，分别画出函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示直线 g(x)kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数 f(x)|x2|1 只有一个交点，此时 k102012，然 后直线绕着原点逆时针旋转，当与 yf(x)在 x2 时的图象平行时，就只有一个交点，所以12k0,且 a1）在R上单调递减，且关于 x的方程f(x)=2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）A.（0，23 B.23，34 C.13，2334 D.13，23）34 12【解析】本题考点是函数性质综合应用，由()f x在R上单调递减可知34013313401aaaa，由方程|()|2f xx恰好有两个不相等的实数解，可知32,a，1233a，又34a 时，抛物线2(43)3yxaxa与直线2yx相切，也符合题意，实数a的取值范围是1 23,3 34，故选 C.【答案】C 8.【2016 届宁夏银川一中】已知函数 f(x)的图象是连续不断的，有如下的 x，f(x)的对应表 x 1 2 3 4 5 6 f(x)136.13 15.552 3.92 10.88 52.488 232.064 则函数 f(x)存在零点的区间有()A区间1,2和2,3 B区间2,3和3,4 C区间2,3、3,4和4,5 D区间3,4、4,5和5,6【解析】本题考点是零点存在问题，因为 f(2)0，f(3)0，f(5)2，函数 g(x)3f(2x)，则函数 yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3 C4 D5【解析】函数 yf(x)g(x)的零点个数即为函数 f(x)与函数 g(x)图像交点的个数 当 x0 时，f(x)2x；当 02 时，f(x)(x2)2，在坐标系内作出 f(x)的图像，如图所示 g(x)3f(2x)，函数 f(x)与函数 g(x)的图像关于点1，32对称，根据对称关系在同一坐标系内作出 g(x)的图像，如图所示 由图像可知，函数 f(x)与函数 g(x)的图像有 2 个交点，函数 yf(x)g(x)的零点个数为 2.13【答案】A 10.函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3【解析】因为 f(x)2xln23x20，所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增，且 f(0)10210，所以有 1 个零点【答案】B 11.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A.xyln B.错误!未找到引用源。C.xysin D.xycos【解析】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.选项 A：错误!未找到引用源。的定义域为（0,+），故错误!未找到引用源。不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B：错误!未找到引用源。是偶函数，但错误!未找到引用源。无解，即不存在零点，故 B 错误；选项 C：错误!未找到引用源。是奇函数，故 C 错；选项 D：错误!未找到引用源。是偶函数，且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，故 D 项正确.【答案】D 12.函数错误!未找到引用源。的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a0，b0，d0 B.a0，b0，c0 C.a0，b0，c0 D.a0，b0，c0，d0【解析】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.由函数错误!未找到引用源。的图象可知错误!未找到引用源。，令错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。，可知错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的两根 由图可知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。；故 A 正确.14【答案】A 13.已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，则函数错误!未找到引用源。的零点的集合为（）A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。【解析】因为错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，所以当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。；由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。，所以函数错误!未找到引用源。的零点的集合为错误!未找到引用源。，故选 D.【答案】D 14.【2014 山东高考】已知函数()21,().f xxg xkx若方程 ()()f xg x有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.(1,2)D.(2,)【解析】由已知，函数()|2|1,()f xxg xkx 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于121:,:2lyx lyx之间时，符合题意，故选 B.【答案】B