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24 任意角的三角函数教案设计 北京二十二中 刘 青 教学目标 1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义.2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法.3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号.4.使学生掌握诱导公式一.教学重点与难点 教学难点为：任意角三角函数的定义.教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.教学过程设计 师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中，A 是锐角，C 是直角，那么(板书)师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角，那么任意的三角函数是怎么定义的呢?直角三角形显然不能包含所有的角.生：借助平面直角坐标系来定义.师：好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.设角 是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为 x 轴的正半轴 Ox，建立直角坐标系(图 2)，在角 的终边任取一点 P，它的横坐标是 x,纵坐标是 y,点 P 和原点O(0，0)的距离 r=22yx (r总是正的)，然后把角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)25 师：以前我们就知道，图 1 中的四个比值的大小仅与角 A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图 2 中，六个比值的大小也仅与角 的大小有关，而与点 P 在角 的终边上的位置无关.师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么?是 x?是 y？是 r?还是角 a?大家讨论一下.生：师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角 确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定 x，y，计算出 r 的值，所以自变量应是角.这些函数的函数值是什么呢?生：两个量的比值.师：也就是说是个实数.由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即 实数 角(其弧度数等于这个实数)三角函数值(实数)也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.(这几函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角.定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结.)26 师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了.请看例1.(板书)例 1 已知角 的终边经过点 P(2，3)，求 的六个三角函数值.师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量?生：x,y,r.师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了?生：只需知道其中的两个量.师：例 1 中是否有咱们所需要的两个量?生：有.x=2,y=3.师：好的.这道题就由你来解，你说我往黑板上写.(板书)解 师：由三角函数的定义，我们知道，已知角 终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?下面看例 2.(板书)例 2 求下例各角的六个三角函数值.师：咱们先看角 0 的六个三角函数值怎么求.生：没想好.师：你觉得为什么不好求呢?生：题目里没给出 x,y的值.27 师：x,y的值与所给出的角有什么关系?生：x,y是角的终边上一点的坐标.师：角的终边上的哪点?生：可以任意选取.师：那当然要使所取点的坐越简单越好了，你打算取哪点?生：取(1，0)点.师：现在这道题目你会做了吗?生：会了.师：你说我来写在黑板上.(板书)解 在角 0 的终边上取一点(1，0)，所以 x=1,y=0,r=x2+y2=1因此 师：这道从题会做了，下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案.(2)在角 的终边上任取一点(1，0)，x=1,y=0,r=1,sin =0,cos=-1,tan =0 cot 不存在，sce =1,csc 不存在；(3)在 角23的 终 边 上 任 取 一 点(0，1)，x=0,y=1,r=1,sin 23=1,cos23=0,tan23不存在，cot23=0,sec23不存在，csc23=1.师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答)生：对于 sin ，当角 在第一象限内时，它的符号是正的，当角 在第二象限时，师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?(尽量突出这节课的主要内容.)生：根据三角函数的定义，sin =ry，当角 a是第一象限角时，也就是说，角 的终 28 边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以 sin 0.师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切.咱们看这样说是不是更好些?前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为正数，也就是 y 0,而 r=22yx，也一定大于零，所以得出结论，sin 0，符号为“+”.师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下.生：正弦函数 sin =yr，当角 a在第二象限时，sin 的符号为“+”；当角 在第三象限时，sin 的符号为“”；当角 在第四象时，sin 的符号也为“”.师：完全正确.由于 r=22yx 0，所以我们可以看出，sin 的符号与谁的符号一致?生：与 y 的符号一致.师：好的.现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了.我想，得出正确结论已经不是什么难事了.只是如果请你说，你能叙述得完整 吗?另外，你还有没有别的办法解决这个问题?生：余弦函数 cos =xr,我们知道 r=22yx 0，它的值永远是正的，所以 cos a 的符号是由 x 确定的，而且与 x 的符号相同.x 是角 所在象限内的点的横坐标，所以当角 a 在第一象限内时，cos 的符号为“+”，当角 在第二或第三象限时，cos a的符号为“”，而当角 在第四象限时，cos 的符号为“+”.师：回答得很好.各个量之间的关系都说得非常清楚、准确.生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与 x 的符号一致.师：也对.只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚.正切函数 tan =xy在各个象限内的符号又是怎样的?生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时 x,y同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时 x,y异号.师：完全正确.我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了.为什么?生：因为余切值(yx)与正切值(xy)互为倒数，所以它们的符号一致，同理，正割值(xr)与余弦值(rx)的符号一致，而余割值(yr)与正弦值(ry)的符号一致.师：很好.为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你?(板书)29 师：现在我们知道了三角函数的数值是由角的终边的位置决定的.显然，当两个角相差 360的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一).(板书)师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为 0 360(或 0 2 )间的角的三角函数值的问题.(板书)例 3 确定下列各三角函数值的符号.(1)cos 250；(2)sin(4)；(3)tan(67210)(教师边分析边板书)解 (1)因为 250是第三象限的角，所以 cos 2500.(2)(由学生口述完成)因为4是第四象限角，所以 sin（-4）0.(3)(由学生解)因为 tan(67210)=tan(2 360+4750)=tan 4750，又因为 4750是第一象限角，所以 tan(67210)0.师：下面咱们接着做例 4.(板书)例 4 根据条件 sin0 且 tan0，确定是第几象限角.(教师边讲边写)解 为 sin0，所以在第三象限或第四象限，或的终边落在 y 轴的负半轴上.因为 tan0.所以在第一象限或第三象限.由于 sin 0 与 tan0 同时成立，所以在第三象限.师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论.要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌 30 握公式一.作业：课本 P138练习一第 1，2，3，4，5，6 题.其中第 2，3 题写在书上，其余的写在本上.课堂教学设计说明 1.复习锐角三角函数.2.讲解任意角三角函数的定义.3.用列表的形式总结出各个三角函数的定义域.4.例 1 是三角函数定义的最简单、直接的应用.例 2 是应用任意角三角函数的定义解题.5.利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号.6.诱导公式一 7.例 3 和例 4.8.小结、作业.为什么要采取以上步骤呢?因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例 1 和例 2.此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域.应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号.对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的.诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求 0 360(或 0 2 )间角的三角函数值的问题了.板书设计 31