三垂线求二面角1326.pdf
三垂线专题 例 1如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证：B1D平面A1BC 练习：1.在三棱锥 P-ABC 中，点 P 在平面 ABC 上的射影 O是ABC 的 垂 心。求 证：PABC 2.如图，已知BAC在平面内，P，PAB=PAC。求证：点 P 在平面上的射影在BAC的平分线上。jD1OC1B1A1BACDACBPOACBPO 3.P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在ABC 上的射影。（1）若 P 到ABC 的三边距离相等，且O在ABC的内部，则O是ABC的_心。（2）若 P 到ABC 的三个顶点距离相等，则 O 是ABC 的_心,又 若ACB=090，则O在_.（3）若PABC，PBAC，则O是ABC的_心。（4）若 PA，PB，PC 两两垂直，则 O是ABC 的_心。例 2.已知 A，B 是0120的二面角-l-棱l上的两点，线段AC，BD 分别在面，内，且 ACl，BDl。已知 AC=2，BD=1，AB=3，求线段 CD 之长。lCDAB三垂线定理的应用 例1 如图：在三棱 S-ABC中，SA=AB=BC=1，SA平 面 ABC，ABBC，求二面角B-SC-A 的大小。例 2.四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，AB/CD，AD=CD=1，BAD=120，PA=3，ACB=90。（1）求证：BC平面 PAC；（2）求二面角 DPCA 的余弦值；（3）求点 B 到平面 PCD 的距离。例 2 解法一：证明：（1）PA底面 ABCD，BC平面 ABCD，PABC.ACB=90，BCAC.又 PAAC=A，BC平面 PAC.解：（2）ABCD，DAB=120，ADC=60.又 AD=CD=1，ADC 为等边三角形，且 AC=1.取 AC 的中点 O，则 DOAC，PA底面 ABCD，PADO，DO平面 PAC 过 O 作 OHPC，垂足为 H，连 DH，由三垂线定理知 DHPC.DHO 为二面角 DPCA 的平面角.由.23,43DOOH tan2,DODHOOH 故所求二面角的余弦值为55.（3）设点 B 到平面 PCD 的距离为 d.ABCD，AB平面 PCD，CD平面 PCD，AB平面 PCD.点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离.343415,dVVACDPPCDA，.515d 例 3如图，在直三棱柱111ABCABC中，14,4 2,2,90ACABBBBMBAC，点 N 在1CA上，且113CNNA。(1)求证:111/MNABC平面;(2)求点1A到平面 AMC 的距离;(3)求二面角1CAMB的大小.例3.（1）过N作ACNC 交AC于E，则AANC1/，11141,41AANCCACNAANE，而114141AABBMB，NCAB四边形 BMNC 为平行四边形，MNEB/，EB平面ACA1MN/平面 ABC，而平面 ABC/平面111CBA，111/CBAMN平面。（2）ACAMACMAVV11,而26ACMS，3162332424421311hVACAM。（3）AC平面ABA1，过 A 作MAAF1连 CF，则MACF1，AFC为二面角BMAC1的平面角，且47tanAFC。例 4.(2008广东理)如图 5 所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,ABD=60，BDC=45o.PD垂直底面 ABCD，PD=R22.E,F分别是 PB,CD上的点,且FCDFEBPE,过点 E 作 BC 的平行线交PC 于 G.(1)求 BD 与平面 ABP所成角的正切值;(2)证明:EFG是直角三角形;(3)当21EBPE时,求EFG的面积.2.解法 1：PD底面 ABCD PDAB，BD 是圆的直径,AD AB，又 PDAD=D AB平面 ADP 又 AB平面 ABP 平面 ABP平面 ADP，且平面 ABP平面 ADP=PA.在平面 ADP内作 DHPA,垂足为 H,则 DH平面 ABP,连结 BH,则DBH 就是 BD 与平面 ABP所成角,即DBH=.在 RtABD中，BD=2R，所以 AD=3R.在 RtADP中，DHPA,PD=22R，AD=3R,则 AP=R11 DH=RAPDPAD1162,在 RtBHD中，BD=2R，DH=R1162,所以 BH=RRRDHBD1152112442222 530tanBHDH.(2)证明:EGBC,GCPGEBPE,又已知FCDFEBPE FCDFGCPG GFPD 又由 PD底面 ABCD,可知 PDBC，EGGF EFG是直角三角形.(3)当21EBPE时,由平行线截割定理可知,31PBPEBCEG,32BPBECPCGPDGF,在BCD中,BDC=45o BD=2R,所以 BC=2R,又 PD=22R，EG=32R,GF=324R.所以EFG的面积为294324322121RRRGFEGSEFG.解法 2：以 A 为原点，分别以 AB、AD 所在的直线为 x、y 轴，建立空间直角坐标系.(略)作业：1.如图，三棱锥 V-ABC 中，VA=VB=AC=BC2，AB=2 3,VC=1,试画出二面角 V-AB-C 的平面角，并求它的度数。6如图，ABCD 是正方形，PA 平面 AC，且 PA=AB，（1）求二面角 B-PA-D 的度数；（2）求二面角 B-PA-C 的度数；（3）求二面角 A-BD-P 的度数；（4）求二面角 A-PD-P 的度数；（5）求二面角 B-PC-D 的度数.例 21A1B1C-ABC 是直棱柱，BCA=90，点11,D F分别是1A1B，1A1C的中点，若 BC=CA=C1C，求 B1D与 A1F所成角的余弦值。
