必修五第一章第一节正弦定理和余弦定理5002.pdf

一、学习目标：1.通过实例，感受正弦定理、余弦定理来源于实际，服务于实际。2.掌握正、余弦定理，并会初步运用两个定理解三角形。3.理解两个定理的证明方法。4.认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形时产生多解的原因，并能准确判断解的情况，正确作答。5.通过对定理的探究，体会数形结合、分类讨论的思想，培养归纳概括的能力。二、重点、难点：重点：正、余弦定理的发现、证明及简单应用。本小节内容通过实例提出问题，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣；在探究过程中运用了由特殊到一般的方法，这种方法是数学发现的重要方法之一，要逐步学会善于运用这种方法去探索数学问题，提高创造能力。难点：公式的灵活运用以及解的讨论。在解三角形的过程中，一方面要认真分析题目的已知条件，另一方面要深刻理解两个定理的本质，才有可能合理选择定理；当已知两边及其中一边的对角解三角形时，可根据三角形的边角关系或几何方法对解进行讨论。三、考点分析：解三角形问题，可以较好地考查三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦、余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式等知识的交汇点，在高考中容易出综合题。一、正弦定理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC。2.正弦定理的变形 变形（1）：2 sin2 sin2 sinaRA bRBcRC，；变形（2）：sinsinsin222abcABCRRR，；变形（3）：sinsinsinsinbAcAaBC，sinsinsinsincBaBbCA，sinsinsinsinaCbCcAB；变形（4）：sinsinsina b cABC；变形（5）：RCcBbAaCBAcba2sinsinsinsinsinsin。3.正弦定理的应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角。二、余弦定理 1.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA 2222cosbcacaB 2222coscababC 2.余弦定理的变形（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式。主要有：22290cabC（勾股定理及其逆定理）；22260cababC；222c120ababC；222330cababC；2223150cababC；222245cababC；2222135cababC。（2）定理的推论：bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222。3.余弦定理的应用：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。知识点一：正弦定理 例 1：在ABC中，（1）已知4522Aab，求B；（2）已知3022Aab，求B；（3）已知13022Aab，求B。思路分析：这三个小题看似相同，其实大相径庭，虽然都是已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，但结果却是一个一解，一个两解，第（3）小题无解，下面我们来逐个分析。解答过程：（1）根据正弦定理sinsinabAB，得sin2sin451sin22bABa。ab，AB，而45A，30B。（2）根据正弦定理sinsinabAB，得sin2sin302sin22bABa。ab，AB，而30A，B为锐角或钝角，45B或135B。（3）根据正弦定理sinsinabAB，得sin2sin30sin212bABa，无解。解题后的思考：已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理，其结果可能有一解、两解或无解。例 2：在ABC 中，已知120,30,14BAb，求a，c及ABC 的面积 S。思路分析：已知两角实际上第三个角也是已知的，故用正弦定理可以很方便的求出其他边的值。解答过程：依正弦定理：AasinBbsin，BAbasinsin，代入已知条件，得3314120sin30sin14a 30)12030(180)(180BAC，又BbsinCcsin，3314120sin30sin14sinsinBCbc（或因为 CA，ABC 为等腰三角形，所以ca CabSABCsin21334930sin14331421。解题后的思考：三角形的面积公式（1）111222ABCabcSahbhch（abchhh，分别表示abc，上的高）。（2）111sinsinsin222ABCSabCbcAacB。（3）22sinsinsinABCSRABC。（R为外接圆半径）（4）)()(sin2121cpbpappprCabahSa。其中r为三角形的内切圆半径，p为三角形周长的一半。例 3：在ABC 中，若bAcosaBcos成立，试判断这个三角形的形状。思路分析：条件中既有边又有角，统一条件是首要任务。解答过程：由正弦定理，得：BRsin2AcosARsin2Bcos，BsinAcosAsinBcos，BBAAcossincossin，即BAtantan，根据三角形内角和定理，可知A、B必都为锐角。所以 AB，即ABC 是等腰三角形。解题后的思考：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。例 4：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，证明：222sin()sinabABcC。思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外ABC 中，内角和为180。解答过程：由正弦定理2sinsinsinabcRABC得：2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC。222222sinsinsinabABcC221 cos21 cos2cos2cos222sin2sinABBACC=2cos()cos()2sinBABABABAC=222sin()sin()sinsin()2sinsinBABACBACC=CBAsin)sin(。所以，222sin()sinabABcC。解题后的思考：由于不等式两边一边是代数式，一边是三角式，故通过正弦定理来把边全化为角，把证明转化为三角恒等变形的问题。知识点二：余弦定理 例 5：已知ABC中，3245abB，试求角A、C和边c。思路分析：已知两边及其中一边的对角解三角形可用正弦定理或余弦定理，现用余弦定理来解。解 答 过 程：设 边cx，由 余 弦 定 理2222cosbacacB，得222(2)(3)2 3 cos45xx。整理得2610 xx，622x。（1）当622x时，2221cos22bcaAbc，6075AC，。（2）当622x时，2221cos22bcaAbc，12015AC，。综合上两种情况：6260752ACc，或62120152ACc，。解题后的思考：用余弦定理解决此类问题，是设量解方程的思想，也是经常用的方法。例 6：已知ABC中，26(31)a b c ，求ABC中各角的度数。思路分析：虽然此题三边都不确定，但它们的比例一定，所以可设2ak，6bk，(31)ck，用余弦定理解决。解答过程：令2ak，6bk，(31)ck，利用余弦定理22226(31)42cos222(31)6bcaAbc，45A。用同样的方法可得，60B。因此，180456075C。解题后的思考：已知三角形三边的比，或已知三边的长度，都可用余弦定理解决，只是已知三边的比时，可引用参数k，但在解题时可将分子分母中的参数k约掉。例 7：在ABC中，BCaACbab，是方程22 320 xx的两个根，且2cos()1AB，试求边AB的长。思路分析：本题已知的是两边和它们所对的两角的关系，在这种情况下往往可能不需要求出它们各自的值，通常可以考虑整体代入的方法。解答过程：由题意，得2 32.abab，CBCACBCACABcos2222 222212()(2 3)2102baababab。10AB。解题后的思考：因为解方程组分别求出a和b的值比较麻烦，所以将2 32abab的值直接代入，巧妙而简洁，通常称为整体代入法，要注意这种解题技巧的运用。解三角形的几种基本类型（1）已知一边和两角（设为A Bb，），求另一角及两边，求解步骤：180()CAB；由正弦定理得：sinsinbAaB；由正弦定理得：sinsinbCcB。（2）已知两边及其夹角（设为abC，），解三角形的步骤：由余弦定理得：222coscababC；由正弦定理求ab，中较小边所对的锐角；利用内角和定理求第三个角。（3）已知两边及一边的对角（设为abA，），解三角形的步骤：先判定解的情况；由正弦定理sinsinbABa，求B；由内角和定理180()CAB，求C；由正弦定理或余弦定理求边c。注：已知ab，和A，用正弦定理求B时解的各种情况：（4）已知三边abc，解三角形的步骤：由余弦定理求最大边所对的角；由正弦定理求其余两个锐角。一、预习新知 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，下面介绍它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。在这些应用问题中，测量者借助于经纬仪与钢尺等测量角和距离的工具进行测量。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件应该注意到，例题及习题中的一组已知条件，常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案。在这种情境与条件限制下，别的方案中的量可能无法测量出来，因而不能实施别的测量方案。请同学们预习必修 5 第一章 第二节 应用举例。二、预习点拨 通过预习，请总结正余弦定理可以解决现实生活中的哪些问题。（答题时间：60 分钟）一、选择题 1.在ABC 中，若30,6,90BaC，则bc等于（）A.1 B.1 C.32 D.32 2.若A为ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A.Asin B.cos A C.Atan D.Atan1 3.在ABC 中，角,A B均为锐角，且cossinAB，则ABC 的形状是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A.2 B.23 C.3 D.32 5.在ABC中，若Babsin2，则A等于（）A.6030 或 B.6045 或 C.60120 或 D.15030 或 6.边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90 B.120 C.135 D.150 二、填空题 7.在RtABC 中，90C，则sinsinAB的最大值是_ 8.在ABC 中，若Acbcba则,222_ 9.在ABC 中，若aCBb则,135,30,2_ 10.在ABC 中，若sin AsinBsinC 7813，则C _ 11.在ABC 中，,26 AB30C，则ACBC的最大值是_ 三、解答题 12.在ABC 中，若,coscoscosCcBbAa则ABC 的形状是什么 13.在ABC 中，求证：)coscos(aAbBcabba 14.在锐角ABC 中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。一、选择题 1.C 解析：30tanab，3230tanab，342 bc，32bc 2.A 解析：0,sin0AA 3.C 解析：cossin()sin,22AABA B都是锐角，则,222AB ABC 4.D 解析：作出图形即可得解 5.D 解析：Babsin2，BABsinsin2sin，21sinA，30A或 150 6.B 解析：设中间角为，则21852785cos222，60，12060180为所求 二、填空题 7.12 解析：11sinsinsincossin222ABAAA 8.120 解析：120,212cos22AbcacbA 9.26 解析：15A，BbAasinsin，15sin4sin4sinsinABAba 4264 10.120 解析：abc sin AsinBsinC 7813，令ka7，kckb13,8，120,212cos222CabcbaC 11.4 解析：,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBAC ACBC2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABAB max4cos4,()42ABACBC 三、解答题 12.解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sincosABCABABCC cos()cos(),2coscos0ABABAB cos0A或cos0B，得2A或2B 所以ABC 是直角三角形。13.证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边 得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab 22abababba左边，)coscos(aAbBcabba 14.证明：ABC 是锐角三角形，,2AB即022AB sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA CBACBAcoscoscossinsinsin