数学建模A题太阳影子定位论文4288.pdf
太阳影子定位 摘 要 本文主要讨论分析并建立太阳影子定位的数学模型，利用所建模型及所给数据确定事件发生的位置，运用多种数学方法研究物体影子长度与当地经纬度、时间及日期之间的联系，具有一定的实际意义。主要利用MATLAB 对数据进行分析和处理。针对问题一：利用日期求出当天太阳直射点的纬度，然后利用太阳直射点的纬度，当地的纬度及时角求出太阳高度角，由三角函数关系得直杆影子长度，利用 MATLAB 对所求数据曲线拟合构建影子长度变化模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。利用所求模型求出问题一中直杆的影子长度及其变化曲线见图。针对问题二：建立时间与影子长度之间的模型，利用MATLAB 曲线拟合并对求出的曲线函数分析，由时间差得出当地的经度。方法一根据相似三角形求出直杆高度，通过三角函数关系以及求太阳直射点纬度模型得直杆所在地的经纬度 1824107,4670东经北纬或 1824107,484420东经北纬。方法二利用太阳方位角和太阳高度角模型求出直杆所在地的经纬度 1824107,1628东经南纬。针对问题三：利用相似三角形求出直杆的长度，通过曲线拟合求出正午最短的影子长度，根据三角函数关系求出正午太阳高度角和太阳高度角的方程计算当地纬度和太阳直射点的纬度，再利用问题二构建的模型求经度，最后求出附件二直杆所在地的经纬度为（北纬 221668,485239东经），日期为 5 月 24 日，附件三直杆所在地的经纬度为（南纬 151051，东经 2519105），日期为 3 月 24 日。针对问题四：利用 MATLAB 对视频进行处理，求出任意时刻影子长度，通过时间差求出视频拍摄位置的经度。利用问题一求出太阳直射点的纬度和太阳高度角随时间的变化，继 而 求 出 直 杆 所 在 地 可 能 的 经 纬 度），东经（北纬 2923218626.38或 29231213626.38，东经北纬。通过曲线拟合出当地正午时最短的影子长度，利用三角函数求出正午太阳高度角和求太阳高度角的方程，计算当地纬度、太阳直射点的经纬度（南纬 151051，东经 2519105），日期为 3 月 24 日。关键词：太阳高度角 太阳方位角 太阳直射点 曲线拟合 相似三角形 MATLAB 一 问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。请分析题目，试建立数学模型讨论下列问题：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4.附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二 问题分析 问题一中，由地理知识可知直杆高度、影子长度与太阳高度角存在三角函数关系，因此要求出太阳高度角随时刻的变化就能求出影子长度的变化。而太阳高度角的变化与太阳直射纬度、当地纬度和时角有关，因此要先求出该日期的太阳直射纬度。依次求解建立模型，并利用 MATLAB 进行数据拟合求出直杆影子变化曲线。最后利用建立的模型求出直杆的影子长度及变化曲线。问题二中，法一利用附件 1 所给的影子顶点坐标位置以及北京时间和日期，建立影子长度 L 与时间 M 之间的数学模型，运用 MATLAB 对影子长度和北京时间进行曲线拟合并对拟合出来的曲线进行求导，得出当地正午太阳高度时直杆的最短影子长度及此时的北京时间。利用地理知识根据北京时间与当地正午十二点之间的时间差值得出当地的经度。接下来求纬度，利用相似三角形求出直杆的高度为米，利用影长与直杆之间的三角函数关系求出正午太阳高度角 H，根据问题一中的模型求太阳直射纬度，利用正午太阳高度角计算公式计算当地纬度,从而得出可能的经纬度位置。法二中利用太阳高度角和太阳方位角避开直杆高度，并利用问题一求太阳高度角的模型求出所在地的纬度。问题三中利用问题二中求经度的模型来对附件 2、3 中所给的影子长度和时间对所在位置的经度进行求解，利用相似三角形求出直杆的高度。将附件中的数据使用 MATLAB 进行曲线拟合得出当地正午时最短的影子长度，根据三角函数关系求出某一时刻的太阳高度角，利用问题一中建立的太阳高度角模型和正午太阳高度角计算公式求出当地的纬度和太阳直射点的纬度。利用问题一求太阳直射点的纬度模型求当天的日期。问题四中，第一小问，首先利用视频中所给的日期，利用问题一建立的模型求出太阳直射点的纬度，再利用 MATLAB 对所给视频进行灰度处理，求出影长，利用三角函数关系，将影长数据代入求出太阳高度角随时间的变化，最后利用问题一中建立的太阳高度角模型的公式求得当地的纬度。第二小问，用 MATLAB 进行曲线拟合得出当地正午时最短的影子长度，根据三角函数关系求出某一时刻的太阳高度角，利用问题一中建立的太阳高度角模型和正午太阳高度角计算公式求出当地的纬度和太阳直射点的纬度，并通过问题一求太阳直射点的纬度模型求当天的日期。另外本文以北京时间为标准，利用当地与北京的时间差确定视频拍摄的经度。三、模型假设 1.假设模型中一天中太阳直射纬度的变化忽略不计；2.假设不考虑固定直杆的海拔高度；3.假设地球自转时全球各地线速度一致；四、符号说明 h 太阳高度角；H 正午太阳高度角；l 直杆杆长；L 直杆影子的长度；地理纬度；t 时角；太阳直射点的纬度；A 太阳方位角。五、模型的建立与求解 问题一：模型的建立与求解 太阳直射点纬度1 如图O为地球,S为太阳,为太阳直射点纬度,SOC;是黄经度(太阳在黄道上由春分点自西向东运行到S点所转过的角度,即SOA);O是黄道平面和天赤道平面的交线(棱),OSASOD、在黄道面内,OCACOEOASOOD、;,分别是OSASOD、在天赤道面的射影,它们的垂足分别是;CCE、AOE是黄赤交角(二面角的平面角),212623SACDOE。在SAORt中,sinOSAS;在OCSRt中，sin OSSC，在ACSRt中，212623sinsin212623sinOSASSC 232623sinsinsinOSOS，所以，232623sinsinsin，得到太阳直射点纬度的计算公式：图地球公转的周期是一个回归年（），现行公历的历年是历日的整数倍，它和回归年并不精准相等；另外由于复杂的历史演变过程，以及一些人为的原因，上半年和下半年、冬半年和夏半年以及各季、各月之间的天数也并不完全相同，因此用日期来推算太阳直射点纬度(天文上称赤纬,一年中变动在2623范围内)时，需按季节分段时行计算，以确保推算的相对精确。因此，把全年的日期分成夏半年、冬半年以及自冬至日到春分日三个阶段来进行推导太阳直射点纬度。1.夏半年：从春分日（3 月 21 日前后）到秋分日（9 月 23 日前后）约 186 天，在此时段内视太阳在黄道上运转180。设从春分日开始，视太阳运行了 d 天，则 d 天运行了经度：把上式带入sin397775.0arcsin中得：d186180sin39775.0arcsin 1862,1,0d；2.冬半年：自秋分日到冬至日（12 月 22 日）前后总计 90 天，在此阶段上运行了90，设从春分开始，视太阳运行了 d 天，则 d 天运行了经度：把上式带入sin39775.0arcsin中得：186sin39775.0arcsind 276187,186d；3.自冬至日到次年春分日总计 89 天，在此阶段内也假设运转了90。设从春分日开始，假设太阳运转了 d 天，则 d 天运行了经度：把上式带入sin39775.0arcsin中得：2768990cos39775.0arcsinn 365277,276n；所以：太阳高度角 h2 我们知道中午太阳高度角最高;在北半球夏季比冬季的太阳高度角要高;低纬度地区要比中、高纬度地区的太阳高度角高。说明太阳高度角的变化是随时间、地理纬度和太阳直射点而变化的。太阳高度角计算公式是一个多元函数方程。首先研究真太阳时(真太阳时=地方平均太阳时+时差)正午的太阳高度角计算,见图表示以 M 为测站中心的南北天子午圈,ME为赤道截面,F 为天顶。图在真太阳时正午时,太阳正位于当地子午面上(即O),90h，由此式可见,在固定的测站上,为常数,真太阳时正午的太阳高度角只决定于太阳倾角的变化,在一年内真太阳时正午的太阳高度角变化在2623之内。计算任意时刻的太阳高度角,见图因为是任意时刻,太阳不恰好处在当地子午面上,O 为太阳移动的位置,AGFED 为天子午圈,BE 为赤道截面,BF 为天顶距,LG 为赤道天顶距。赤道截面与天顶的交角为纬度角,故有 FE,则 GF 90。太阳与赤道截面的交角为太阳倾角则 OL=,故 OG=90。太阳与地平面的交角为太阳高度角,则 OB=h,FO=90-h。在 GOF球面三角形中,根据球面三角公式：则有：将此式简化得出：t是太阳位置与当地子午面的偏角,即时角(所谓时角,是指太阳所在的时圈与通过南点的时圈构成的夹角,单位为度。自天球北极看,顺时针方向为正,逆时针方向为负。时角表示太阳的方位,因为天球在一天 24h内旋转 360,所以每小时旋转 15，当地时间 12 点时的时角为零）。图求影子长度变化 如图，利用三角函数，根据Lltanh 即可求出指定时刻直杆的影子长度。图影子长度与太阳高度角的关系 由上述求解过程分析得出影子长度的变化规律：1)与经纬度有关：就某一天来看，太阳直射纬度所在的位置，日影最短，为一圆点。在直射纬度以北、以南的地区，正午日影随着正午太阳高度缩小而逐渐变长。2)与时间有关：就某个地点来看，一年中正午太阳高度增大时，日影逐渐缩短；正午太阳高度达最大时，日影最短；正午太阳高度减小时，日影逐渐增长；正午太阳高度达最小时，日影最长。例如：6 月 22 日，太阳直射北回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度达到全年最大，其日影也达到全年最短；6 月 22 日12 月 22 日，在太阳直射点向南移动过程中，北回归线及其以北各地的正午太阳高度逐渐减小，那么其日影逐渐增长；12 月 22 日，太阳直射南回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度达到全年最小，其日影也达到全年最长。12 月 22 日6 月 22 日，在太阳直射点向北移动过程中，北回归线及其以北各地的正午太阳高度逐渐增大，那么其日影逐渐缩短。利用模型求解 通过上述模型来对 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化进行求解。每过 15分钟计算一下本时刻的太阳高度角，数据见表。时刻 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 太阳高度角 此时影子长度（米）时刻 12:30 13:00 13:30 14:00 14：30 15:00 太阳高度角 此时影子长度（米）表太阳高度角随时刻的变化 利用 MATLAB 对表中的数据进行拟合求出直杆的影子长度的曲线变化见图，详细代码见附录 1。图时刻与直杆影长之间的关系 问题二：模型的建立与求解 所在地经度的求解 本文首先利用附件一中所给的影子顶点坐标求出影子长度，建立横坐标为时间 M 与纵坐标为影子长度 L 之间的函数关系，利用 MATLAB 整合出曲线方程以及曲线拟合图像，如图：图曲线方程为：正午太阳高度最大，直杆影子长度最短，由于图像横坐标为北京时间，因此曲线最低点对应的北京时间为当地正午十二时。对所求曲线方程进行求导，求出最低点的北京时间和最短的影子长度：令0L,得出 M=，0.4952l。利用地理知识经度每相差15在时间上相差1小时得出当地的经度与北京的经度相差9865.8，由求导得出的结果可知北京时间比当地时间快，因此该地应在北京的西面，所以得出当地经度为：所在地纬度的求解 法一：由于直杆高度和地球最外层距离地面的距离都是固定的，利用直杆影长的变化和经过相同时间地球自转距离的差值，进而用相似三角形求出直杆的高度，原理如图。图相似三角形的比值公式如下：21LL 为确定时间内影子变化长度；21PP 为确定时间内地球自转距离的差值4；X为地球最外层距离地球表面的距离5 。根据比值求出固定直杆的高度ml7226.260346510306.06。利用直角三角形的角度关系LlH tan求出当地正午太阳高度角H，代入正午最短的直杆影子长度，由LH3arctan最终求得正午太阳高度角6914.79H。通过问题一中求太阳高度角的计算公式tcoscoscossinsinsinh，将正午的时角 0 代入，利用三角函数和角公式BABABAossinsincoscos)(c可推导出正午太阳高度角计算公式纬差 90H，纬差即为当地纬度与太阳直射点纬度之差，从而求出纬度位置，利用题目一所建立的日期与太阳直射点纬度之间的关系模型来求出4 月 18 日太阳直射点纬度，最终求得当地纬度:最后得出直杆两个可能的位置:1824107,4670东经北纬，1824107,484420东经北纬 法二：利用太阳高度角求出所在地的纬度3 太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方位角以目标物正北方向为零，顺时针方向逐渐变大，其取值范围是 0-360。因此太阳方位角一般是以目标物的北方向为起始方向，以太阳光的入射方向为终止方向，按顺时针方向所的角度，如图：图根据“天球理论”，可以导出太阳方位角与太阳直射点纬度、太阳高度角以及观测时刻的关系如下:由图可以得出：由上述方程组可知：又有tcoscoscossinsinsinh，将附件一中的北京时间转化为当地的时角代入方程，并利用题目一所建立的日期与太阳直射点纬度之间的关系模型来求出 4 月 18 日太阳直射点的纬度，最后由 MATLAB 解得：0378.8，所以求出直杆所在位置为 1824107,1628东经南纬。问题三：模型的建立与求解 所在地经度的求解 本文首先利用附件 2 和附件 3 中所给的影子顶点坐标求出影子长度，建立横坐标为时间 M 与纵坐标为影子长度 L 之间的函数关系，利用 MATLAB 分别拟合出附件 2、附件 3数据的曲线方程以及图像，如图和，代码见附录 2：图图附件 2 拟合出来的曲线方程为：附件 3 拟合出来的曲线方程为：正午太阳高度最大，直杆影子长度最短，由于图像横坐标为北京时间，因此曲线最低点对应的北京时间为当地正午十二时。对上述所求曲线方程分别进行求导，求出最低点的北京时间和最短的影子长度：令01L,得出2079.151M，0.6223L1。令02L,得出7379.122M，3.4809L2。利用地理知识经度每相差15在时间上相差1小时得出当地的经度与北京的经度分别相差 7748和 4411，由求导得出的结果可知北京时间比当地时间快，因此两地都应在北京的西面，所以得出两地经度分别为：所在地纬度与日期的求解 对附件 2，利用问题二的相似三角形模型求出固定直杆的长度，所以ml5.260346510306.06。利用直杆的高度与当地最短的影子长度的比值得出正午太阳高度角LH5.2arctan，求得02.76H。取附件二中某一时刻的影子顶点的坐标并求出影子长度，运用三角函数公式求出该时刻的太阳高度角，联立方程组：分两种情况讨论：若当地纬度与太阳直射点的纬度在同一半球，纬差为-；若当地纬度与太阳直射点的纬度在不同半球，纬差为。用 MATLAB 求解得当地纬度87.39，根据问题一建立的求太阳直射点的纬度的模型将代入三个阶段，筛选出符合条件的日期为 5 月 24 日。当地的经纬度为（北纬 221668,485239东经）。同理，对附件三进行求解得，太阳直射点的纬度为3.1430，当地经纬度为（南纬 151051，东经 2519105），日期为 3 月 24 日。问题四：模型的建立与求解 模型假设 1)假设直杆底座厚度忽略不计；2)假设忽略风速对直杆高度、影子长度的影响；3)假设拍摄过程中摄像头位置及角度的变化忽略不计。第一小问模型的建立与求解 1)所在地纬度的求解 本文首先利用视频中所给的日期，利用问题一中建立的求太阳直射点纬度的模型进行求解，根据公式d186180sin39775.0arcsin求出太阳直射点的纬度 364943。对用 MATLAB 进行灰度处理的 21 张图片进行影子长度的测量，测量数据见表，利用影子的长度变化数据根据三角函数求出对应时刻的太阳高度角，根据问题一建立的求太阳高度角的数学公式tcoscoscossinsinsinh，利用 MATLAB6 对数据进行求解得出当地的纬度8626.38。时刻 8:54 8:56 8:58 9:00 9:02 9:04 影子长度 时刻 9:06 9:08 9:10 9:12 9:14 9:16 影子长度 时刻 9:18 9:20 9:22 9:24 9:26 9:28 影子长度 时刻 9:30 9:32 9:34 影子长度 2)表所在地经度的求解 我们以北京时间为标准，求出北京与当地的时间差，从而根据两地的经度差求出当地的经度。假设将此 2m 的直杆放在北京，利用达到相同影子长度的时刻求时间差，选取某一时刻的影子长度，求出该时刻的太阳高度角，再利用视频中已知的日期求出当天太阳直射点的纬度，利用问题一建立的模型tcoscoscossinsinsinh求出时角2.50t，由两地的时角差计算出两地的时间差，继而根据经度每隔15时间相差一小时可求出分别位于北京东面和西面的两地经度为 2923121292321和。因 此，得 出 视 频 大 体 拍 摄 位 置 为），东经（北纬 2923218626.38和 29231213626.38，东经北纬。问题模型的建立与求解 利用 MATLAB 对上述影长与时间进行曲线拟合，图像如图得出的表达式如下：16.16201.207359.02MML；图当地正午十二时时，直杆影子的长度最短，根据曲线求得最短影长 L=。利用三角函数关系，求出影子最短时的正午太阳高度角2127.80H。再联立方程组：筛选出合适的9779.47651.14，。将太阳直射点的纬度代入问题一建立的模型中，得出日期为 3 月 26 日。经度的求解同问题四第一小问中的求法，可得两地经度为 2923121292321和。因此，视频中直杆的拍摄位置为（南纬 544514，东经 292321）和（南纬 544514，东经 2923121）。综上所述，如果拍摄日期未知，可以根据视频确定出若干地点与日期，不同的一个日期能够确定一个不同的经纬度位置满足视频中时间与影子长度的对应关系。六、模型的评价 模型评价 问题一模型评价 问题一建立的几何模型，运用三角函数的数学知识和地理知识，用简单的方法去解决复杂的问题，简明易懂。本模型主要解决了物体影子长度与所在地的经纬度、时间以及日期之间的关系，该模型基于严密的数学推导，求解过程严谨，结果可信度高，说服力强。问题二模型评价 问题二模型是基于问题一的进一步理论推导，模型理论严谨。问题三模型平价 问题三是在第二问的基础上进一步研究，频繁利用一二题中建立的模型，利用 MATLAB等软件进行求解。问题四模型评价 问题四模型综合了问题二、三模型中的情况，利用前三问的结论进行求解。模型改进 由于利用相似三角形进行求解采用地球的自转与距离有所误差，对视频进行处理时因为摄像机角度原因和直杆底座厚度引起测量数据的不准，以及忽略了风速对影子长度的影响，需要改进。七 参考文献 1 蒋洪力.太阳直射点纬度的数学推导和分析.数学通报.2007 2 李玉海.太阳高度角及其计算.气象.贺晓类.太阳方位角的公式求解及其应用.太阳能学报.2008 年 01 期 4 百度百科.地球自转的速度.百度百科.地球最外表距离地球表面的距离.张志涌.MATLAB 教程.北京航空航天大学出版社.
