六年级数学思维训练专项题25130.pdf

1 六年级数学思维训练专项 目 录 第 1 讲 定义新运算 第 2 讲 简单的二元一次不定方程 第 3 讲 分数乘除法计算 第 4 讲 分数四则混合运算 第 5 讲 估算 第 6 讲 分数乘除法的计算技巧 第 7 讲 简单的分数应用题（1）第 8 讲 较复杂的分数应用题（2）第 9 讲 阶段复习与测试（略）第 10 讲 简单的工程问题 第 11 讲 圆和扇形 第 12 讲 简单的百分数应用题 第 13 讲 分数应用题复习 第 14 讲 综合复习（略）第 15 讲 测试（略）第 16 讲 复杂的利润问题（2）第一讲 定义新运算 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“#”“*”“”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。2 例 1：如果 A*B=3A+2B，那么 7*5 的值是多少？例 2：如果 A#B 表示3BA 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？例 3：规定YXXYYX 求 21010 的值。例 4：设 M*N 表示 M 的 3 倍减去 N 的 2 倍，即 M*N=3M-2N（1）计算（14*10）*6（2）计算（58*43）*（1*21）例 5：如果任何数 A 和 B 有 AB=AB-（A+B）求（1）107 （2）（53）4（3）假设 2X=1 求 X 例 6：设 PQ=5P+4Q，当 X9=91 时，1/5（X 1/4）的值是多少？例 7：规定 X*Y=XYYAX，且 5*6=6*5 则（3*2）*（1*10）的值是多少？3 例 8：表示一种运算符号，它的意义是）（AYAXXYYX11 已知3211212112）（A 那么 200882009=？巩固练习 1、已知 23=2+22+222=246；34=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1）32 （2）53 （3）1X=123，求 X 的值 2、已知 14=1234；53=567 计算（1）（42）+（53）（2）（35）（44）3、如果 A*B=3A+2B，那么（1）7*5 的值是多少？（2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）4、如果 AB，那么A，B=A；如果 AB，那么A，B=B；试求（1）8，0.8 （2）1.9，1.9011.19 5、N 为自然数，规定 F（N）=3N-2 例如 F（4）=34-2=10 4 试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（100）的值 6、如果 1=1！12=2！123=3！1234100=100!那么 1！+2！+3！+100！的个位数字是几？（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）7、若“+、-、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。下面四个算式（1）87=8 （2）777=6 （3）（7+8+3）9=39 （4）33=3 那么应该是我们通常的哪四个算式？8、如果 2*4=2345 5*3=567，请按此规定计算（1）（3*4）-（5*3）（2）（4*4）（3*3）9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2 则计算（1）（56489）（2）（92045）+（905）（12）10、规定 64=222222 表示成 F（64）=6；243=33333 表示成 G（243）=5；试求下面各题的值（1）F（128）=()（2）F（16）=G（）（3）F（）+G(27)=6 11、如果 1=1！12=2！123=3！试计算（1）5！（2）X！=5040，求 X 5 12、有一种运算符号“”使下列算式成立 23=7 53=13 45=13 97=25 求 995 9=？13、A*B=BABA 在 X*（5*1）=6 中，X 的值是多少？14、对于任意的整数 X、Y 定义新运算“￥”X￥Y=YMXXY26（其中M 是一个固定的值）如果 1￥2=2，那么 2￥9=？第二讲 二元一次不定方程 一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例题解析：（一）基本方法 例 1、小明要买一只 4 元 9 角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各 10 枚，请问他可以怎样付钱？分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。设小明付了 X 枚贰角和 Y 枚伍角 列方程，得 2X+5Y=49 方法一 1、利用奇偶性。49 是奇数，2X 是偶数，那么 5Y 必定是奇数。这样，Y 只能取 1，3，5，7，9 这五个数。2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而 X 至多为 10，那么 5Y 不小于 49219=29，这样，可得 Y 大于 6。方法二 观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。6 由例 1 可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决 例 2、大汽车能容纳 54 人，小汽车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后，答案的变化。试一试：一个同学把他生日的月份乘以 31，日期乘以 12，然后加起来的和是 170，你知道他出生于几月几日？例 3、现有铁矿石 73 吨，计划用载重量分别为 7 吨和 5 吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量 7 吨的卡车每台车运费 65 元，载重量 5 吨的卡车每台车运费 50 元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。例 4、一个同学发现自己 1991 年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生 1991 年时多少岁？分析与解：设他出生于 19XY 年，那么 199119XY=1+9+X+Y 1991（1900+10X+Y）=10+X+Y 9110XY=10+X+Y（二）能力拓展 例 5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数 xy,过了一小时路标上的数字变为 yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数 x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。7 试一试：一个两位数，如果把数字 1 放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为 414，求原来的两位数。例 6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长宽高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到 9 个长方体，这 9 个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多 624 平方厘米，求原来长方体的体积。分析与解：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了 4ab 的面积，竖切两刀增加了 4ac 的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。练习 一、基本题 1、求方程 6x+9y=87的自然数解。2、求方程 2x+5y=24的自然数解 3、大客车有 48 个座位，小客车有 30 个座位。现在有 306 名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要 11 元，小盒每盒要 8 元，妈妈用了 89 元，问大小盒子各买了多少个？5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多 54，求原来的两位数。6、一个两位数，各位数字之和的 6 倍比原数大 3，求这个两位数。8 7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12 个，每个小盒子装 5 个，恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 10，问两种盒子各有多少个？二、综合题 8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字 6 以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足 70 人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐 1.35 个座位。求有多少个学生？思考题 10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？第三讲 分数乘除法计算 分数乘除法的计算方法用字母表示为：bdbdacac（a，c 都不等于 0）；bdbcbcacadad（a，c 都不等于 0）。一、课前准备：1、计算下列各题：9（1）3510361 （2）7353157 （3）185793527 （3）8219127 （4）254535 （6）52（41+53）2、在或里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？（1）25167 78=()（2）58 23 815=()（3）229(152931)=()（4）2534 4=+（5）778=（6）145 25=（7）54(89-56)=二、例题讲解 例 1：计算：443745；152726。【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的4445与 1 只相差145，如果把写成1(1)45的差与 37 相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第（2）题中的 27 可以写成（26+1）。1 0 练习：“挑战自己！”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？2623 15 3225 56 例 2：计算：13274155 分析仔细观察因数的特点可知，1275可转化为395，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。练习：计算：13471711613122374 例 3：计算：2255977979【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，把17与19的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。例 4：计算：11664120；2003200320032004。【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动一下脑筋，就会发现：可以把题(1)中的116620分成一个 41 的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（2)中的200320032004化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。例 5：计算：1011137109777 1 1 例 6：计算：一、基本练习 1、下面各题，怎样简便就怎样算。121198 4116154111615 ）（533215 ）（6825174 32212131 3954 2.“考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？710 101-710 89 89 89 89 35 99+35 345 25 363435 (56-59)185 (47+89)225 1521 34+1021 34-34 4.分数四则混合计算：（1）（1011001）1000 （2）536（4361）23 1 2 （3）875412165 （4）（0.19836+0.19853）0.05 二能力提高 （4）（5）200920082008 1 3 第四讲 分数四则混合运算 一、课前准备：35279999 91898062 （34516）1615 103743105334 （314161）24 二、例题讲解 例 1：计算：%2332360125.198888 练习：)872875.4(53246.5321329 例 2：计算：（598.1375259816.26）117131903017 例 3、766171655161544151433141322131 1 4 例 4；计算；25114373611125373185444.4 练习：1.下面各题怎样算简便就怎样算。（98352729）27 （3254）151 43254 54245 7413321332731332 2.用简便方法计算。11310013991131 1.1 4972140.951924.09979 3、计算下面各题。565555 555656 125287201715 54615121332）（87511434311）（655161544151433141 181916131）（1 5 52147214%311323.087.0113）（35.6 0.3755.43.75 108 13135115111110%5.12815368.15 97909.419259.40972141.1 25.1522546.79428.0955 第五讲 估 算 取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法）。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。一、去尾法和收尾法（进一法）例 1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行 4 时，飞去时速度为 900 千米/时，飞回时速度为 850 千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到 1 千米）解：设该飞机最远能飞出 x 小时，依题意有 此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到 x1749，当飞机真的飞出 1749 千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。1 6 例 2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往 70 米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为 7 米/秒。已知导火线燃烧的速度是 0.112 米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到 0.1 米）此题采用收尾法。如果你的答案是 1.1 米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法 例 3、有三十个数：1.64，1.64+301，1.64+302，1.64+30281.64+3029，如果取每个数的整数部分（例如：1.64 的整数部分是 1，1.64+3011的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其和是多少？分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2 例 4、A=1234567891011121331211101987654321，求 A 的小数点后前3 位数字。分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。方法一：放缩法：A12343122=0.3952 A123531210.3957 所以 0.3952A0.3957 方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去 13 位，各保留 4 位，则有 12343121 例 5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是 12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在 12.40与 12.50 之间。原来 13 个数的总和最小应该是 12.4013=161.2，最大应该是12.5013=162.5之间，从而可求出这 13 个自然数的总和，从而知道正确答案 1 7 例6、已知：S=199111982119811198011，求 S 的整数部分。分析与解：如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时，就容易判断出s 的整数部分了。设 A=说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大缩小”的方法，就是先把 s 的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。练一练：求)2000119991199811997119961(1A的整数部分。练习 一、基本题 1、（1+9219）+（1+92192）+（1+92193）+（1+921910）+（1+921911）的结果是 x，那么，与 x 最接近的整数是多少？2、求算式 0.1234 50510.5150 4321 的小数点后前二位数字是多少？3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300 米3石料，以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料 17.5 米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？1 8 4、用 5 米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布 2 米，求这块布料可以做几件上衣？5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是 21.83，正确答案应是多少？6、求下式中 S 的整数部分：二、综合题 7、计算：（提示：注意 385=5711，可以先用乘法分配律化简，再估算。）三、思考题：8、在 1，21，31，991，1001中选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选几个数？1 9 第六讲 分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。（一）一般分数乘除法的计算：（二）分数的简便计算 1.凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。2 0 例 3、计算：2.约分法：例 4、计算：分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出 123，分母的每一项都可以分解出 135。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。例 5、计算：362548 361362 548 186 分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数 362548 可以变形为：（3611)548=361548548，同时发现 548186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。例 6、计算：2 1 例 7、计算：2、分组法 例 8、计算：分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。4、代数法 例 9、2 2 2 3 练习：20032004 2005 2 4 2 5 第七讲 简单的分数应用题（一）2 6 一、基础知识：1、分数应用题的一般关系式是：表示单位“1”的量（标准量）分率=分率的对应量。2、解题思路：一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。）单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。表示单位“1”的量是已知的，则该题用“”。表示单位“1”的量是未知的，则该题用“”或方程。解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。二、例题解析：（一）基本方法 例 1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。一只鸡的重量是鸭的。把()平均分为 3 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的2 份，2/3对应的数量是（）。甲的相当于乙。把()平均分为5 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的 3 份，3/5 对应的数量是（）。现价是原价的。把()平均分为 40 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的 3 份，3/40 对应的数量是（）。现价比原价少的部分对应的分率是（）。小红的书比小明少。把()平均分为 8 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的 7 份，7/8 对应的数量是（）。小明的书对应的分率是（）。例 2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。（1）白兔只数的125是黑兔的只数。（2）已经修了公路全长的2110。（3）二班植树棵数相当于一班的2110。（4）今年棉花产量比去年增加85。2 7 （4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜517。（6）还剩这堆煤的157。例 3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是 1 元，钢笔的价格比本子的价格多，钢笔的价格是多少元？例 4、一条裤子比一件上衣便宜 25 元。一条裤子是一件上衣价格的 2/3，一件上衣多少元？例 5、商店运来一批水果，运来苹果 20 筐，梨的筐数是苹果的 3/4，梨的筐数同时又是桔子的 3/5。运来桔子多少筐？例 6、学校买来 54 本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占 1/3，文艺书比科技书多多少本？（二）能力拓展 例 7、小强看一本故事书，每天看 16 页,看了 5 天后，还剩全书的 3/5 没有看，这本故事书有多少页？分析：把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5 与没有看的页数相对应，看了的已知量165 与 13/5 相对应。例 8、客车由甲城开往乙城要 10 小时,货车由乙城开往甲城要 15 小时,两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了 600 千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离速度和，2 8 而本题要求的就是相遇距离，怎么办？可以假设全程为单位“1”。练一练：一项工作,由甲单独做需要 10 天；由乙单独做需要 12 天.如果两人合做,几天才能完成?练习：一、基本题 1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。白兔是黑兔的。把()平均分为 6 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的 5 份，对应的数量是（）。一种毛衣现价是原价的 4/7。把()平均分为 7 份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的4 份,4/7对应的数量是（）。现价比原价少的部分对应的分率是（）。九月份的产量比八月份增加了。单位“1”：（）。九月份的产量对应分率（）。2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。（1）妈妈年龄的125是女儿的年龄。（2）已经用这根绳子的119。（3）男生人数占总数的2120。（4）今年车祸比去年减少85。2 9 （4）现价比原价增加107。（6）没有看的占这本书的157。3、六年级有男生100人，女生有80 人。（1）男生人数是女生的几分之几？（2）女生是男生的几分之几？（3）女生是全年级学生的几分之几？（4）男生人数比女生多几分之几？3、某生产队挖一条长300 米的水渠，第一天挖了全长的1/4，挖了多少米？还剩多少米？4、某车间五月份生产零件 3000 个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件？分析：把（）看作单位“1”，是（）知的。可用（）方法计算。对应的数量是（），六月份生产的对应分率是（）。解答：5、某小学有学生若干人，其中女生占 3/8，还已知该校男生有 240 人，这所小学共有多少人？分析：把（）看作单位“1”，是（）知的。可用（）方法计算。男生的对应分率是（）。解答：6、小亮在银行存了 240 元，小华存的钱是小亮的 5/6，小华存的钱是小新的 2/3，小新存了多少元？3 0 7、某粮店共有大米 2800 千克，第一天卖了 4/7，粮店还有大米多少千克？8、商店有红气球和黄气球，共有 48 只，其中黄气球的只数是红气球的 3/5。红气球和黄气球各多少只?9、一只大雁由北方飞往南方要 6 天,一只野鸭由南方飞往北方要 8 天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?二、综合题：10、王琳看一本连环画共 80 页，第一天看了全书的 1/5，第二天看了全书的 1/4。还剩多少页没有看？11、本站有一批货物，上午运走了总数的 2/5，下午运走了总数的 3/8，还剩下2700 吨没有运，这批货物一共有多少吨？12、一袋大米吃了 1/3 后又加入 8 千克，这时袋里的大米恰好是 22 千克。这袋大米原来有多少千克？13、小刚读一本书，先读了全书的52，又读了全书的31，已读的比没读的多 70页，这本书共有多少页？14、根据算式写出问题。（说明：35%=7/20）3 1 还剩下全长的 1/3 没有修完，？（1）24001/4？（2）240035%？（3）2400（1/4+35%）？（4）24001/3？（5）2400（35%-1/4）？（6）2400（1/3-1/4）？（7）2400（1/4+35%-1/3）？第八讲 较复杂的分数应用题（二）本讲继续学习较复杂的应用题两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。例 1、一根 140 厘米长的绳子，第一次用去它的 4/7，第二次又用了余下的 3/5，两次共用去多少厘米？分析：本题有 2 个分率，相对应的有 2 个单位“1”。例 2、小红看一本书，第一天看了全书的 4/7，第二天又看了剩下的 3/5，还剩下 42 页没有看，这本书共有多少页？练一练：某生产队挖一条长 300 米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？3 2 例 3、一瓶油第一次吃了 1/5 千克，第二次吃了余下的 3/4，这时瓶内还有 1/5千克，问这瓶油原来有多少千克？分析：根据条件“第二次吃了余下的 3/4”，我们先确定“1”；再利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。例 4、某校男生人数比全校学生总数的 4/9 少 25 人，女生人数比全校学生总数的 4/7 多 15 人。求全校学生总人数。分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例 5、有一瓶酒精，第一次倒出 2/3 又 80 克，然后倒回 140 克；第二次再倒出瓶里酒精的 3/4，这时瓶里还剩下 90 克酒精。求原来瓶里有酒精多少克？分析：本题 2 个分率，相对应的有 2 个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的 3/5还多 300 吨，第二次运出的是第一次的 1/3，第三次运出的 450 吨，求这批化肥有多少吨？例 6、某工厂二月份比元月份增产 1/10，三月份比二月份减产 1/10问三月份比元月份增产了还是减产了？分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。3 3 练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大 2/5，老二比老三年龄大 2/5，老大的年龄是老三的几分之几？练习：1、某水泥厂第二个月生产水泥 2400 吨，比第一个月多生产 1/4，第一个月生产水泥多少吨？第三个月生产的水泥，比第一个月少生产 1/5，那么第三个月生产水泥多少吨？2、小红看一本 240 页的书，第一天看了全书的 1/4，第二天又看了剩下的 1/3，还剩下多少页没有看？3、某粮店，第一天卖了全部大米的 4/7，第二天又卖了余下的 3/5，这时还剩下420 千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克？4、某车间一月份生产了 1000 个零件，以后每个月都增产 1/10，三月份生产了多少个零件？5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低 1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几？6、某班学生中，男生人数比全班人数的 5/9 少 5 人，女生人数比全班人数的 3/7多 11 人，求全班人数。3 4 7、一桶柴油，第一次用了全桶的 2/5，第二次用去 20 千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩 8 千克油问这桶油有多少千克？二、综合题 8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的 1/2 还多 7.2 千米，乙队完成的相当于甲队的 1/3。这条水渠有多长？9、小王做零件，已经做了 240 个，比计划还少 20%，为了超额 25%，小王还应再做多少个？10、一袋大米第一周吃了 1/3 又 6 千克，后又加入 8 千克，第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是 24 千克。这袋大米原来有多少千克？11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的 1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕 30 公顷，问这个村共有多少公顷土地？12、一种商品，先提价51，再降价51，现价相当于原价的几分之几？第九讲 阶段复习与考试 第十讲 简单的工程问题（一）准备题：修建一条长 1200 米的公路，甲队需要 30 天，乙队需要 40 天，如 3 5 果两队合修需要多少天？在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量工作效率，工作效率=工作总量工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。工程问题中的本质关系为：工作效率工作时间=工作总量。分数工程问题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，工作效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。一、基本方法 例 1、加工一批零件，甲单独做 6 小时完成，乙单独做 9 小时完成。（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？（2）合做 3 小时完成这批零件的几分之几？（3）合做 3 小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？（4）如果合做 2 小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？练一练：现在打一份文稿，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作？例 2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要 10 小时，客车从乙地开往甲地需要 8 小时，现货车先行 2 小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇？分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1”，速度用 1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程速度和。例 3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管 12 小时可把空池注满，单开乙管 20 小时可把空池注满，单开丙管 15 小时可把满池水放空，三管同开，多少小时把空池注满水？3 6 分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。例 4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头 60 分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20 分钟可注满水池的 1/2，如果单开乙龙头需要多长时间注满水池？分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。二、能力拓展 例 5、一项工程，先由甲、乙合做 5 天完成了全部工程的 1/3，再由乙单独做了 2 天完成了全部工程的 1/30，然后由乙、丙二人合做 19 天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？例 6、一项工程，甲队独做需要 45 天完成，乙队独做需要 60 天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了 30 天，求乙队工作了几天？分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。例 7、某项工程，甲、乙两队合做，30 天可以完成。今两队合做 12 天后，剩下的由甲队独做，经过 24 天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成？分析：根据条件可以求出两队工效和。例 8、加工一批零件，甲独做 20 天完成，乙独做每天完成这件零件的 1/30，现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了 2.5 天，乙也休息了几天，这样用了15 天才全部完成，求乙休息了几天？分析：乙休息的天数可能 2.5 天多或少或同样多。解题方法多样：按前面例 3 7 题的思路，可用方程的方法，或假设方法。练习：一、基本题：1、修一栋楼房，甲公司单独做 5 个月完成，乙公司单独做 6 个月完成。（1）合做 2 个月完成这栋楼房的几分之几？（2）如果合做 2 个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？2、一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在两队合作，多少天可以完成？3、一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？4、做一批零件，甲单独做 12 天完成，乙单独做 16 天完成，现在两人合作 4 天后，余下的由乙独做多少天可以完成？5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管 30 分钟可以将水池注满，单开一根出水管 45 分钟可以将一池水放完。现在水池有 1/2 的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满？6、一只大雁从甲地飞向乙地需要 10 天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要 12 天，现野鸭先飞了 3 天后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇？3 8 7、一项工程，甲队单独做 5 天完成；乙队单独做 6 天完成，甲、乙两队合做 2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成？二、综合题 8、做一批零件，甲、乙两人合做 12 天完成，现在甲、乙合做 4 天后，余下的乙独做 20 天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天？9、有一项工程，甲队独做 40 天可完成，乙队独做 60 天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过 27 天才完成全部工作，甲队离开了几天？10、一件工程，甲 5 小时先完成了 1/4，乙接着用 9 小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？11、一项工程，先由甲做 10 天完成了全部工程的 1/6；再由乙做 5 天完成了全部工程的 1/4；然后由丙做 2 天完成了全部工程的 1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成？3 9 第十一讲：圆和扇形（一）（一）基本知识 1、圆：圆周长公式：C=d 或 C=2r。圆面积公式：2rS。圆环面积：)(22rRS环 图一 图二 图三 2、扇形。如上图二，连接两条半径 OA、OB，就可得到一个扇形 OAB，扇形面积公式是：S=3602rn。扇形的圆弧长=所在圆周长的。其中 r 是指扇形的在圆的面积，n 指的是圆心角的度数。例 1、图二中 n=60，半径为 6 厘米，扇形面积是多少？弧 AB 是多少？3、弓形。如上图三，S弓 AC=S扇 AOCSAOC 例 2、图三中，直角三角形 AOC 的直角边 OA=6 厘米，求弓形 AC 的面积。（二）基本运用 例 3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84 米。花坛的面积是多少平方米？4 0 例 4、计算下图阴影部分的面积(单位：厘米)例 5、在一块长 4.5 米，宽 2 米的长方形铁板上截下 2 个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米？例 6、从一块边长 10 厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的面积是多少？例 7、从一个直径为 10 厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少？4 1 例 8、求下图中阴影部分的面积和周长。练 习 一、基本题 1、一个圆形花坛的周长是 25.12 米。花坛的面积是多少平方米？2、已知一个圆的面积是 28.26 平方厘米，求这个圆的周长。3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是 10 厘米，外圆半径是 15 厘米，它的面积是多少？4、从一块边长 8 厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少？5、下图圆的半径为 6 厘米，圆心角为 45 度，扇形 AOC 的面积是多少？弧 AC是多少？4 2 6、下图是一个直角边长为 20 厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。7、求阴影部分的面积：(单位：分米)（=3）8、右图中直角三角形 ABC 的底 AB=20 厘米，以 AB 为直径画成一个圆，圆心为 O，CO 垂直于 AB，求弓形 A