2019年湖北省荆门市中考数学试卷.doc

2019年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1（3分）（2019荆门）的倒数的平方是（）A2BC2D2（3分）（2019荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）A3.1536×106B3.1536×107C31.536×106D0.31536×1083（3分）（2019荆门）已知实数x，y满足方程组则x22y2的值为（）A1B1C3D34（3分）（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是（）A95°B100°C105°D110°5（3分）（2019荆门）抛物线yx2+4x4与坐标轴的交点个数为（）A0B1C2D36（3分）（2019荆门）不等式组的解集为（）Ax0Bx0Cx0Dx07（3分）（2019荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b那么方程x2+ax+b0有解的概率是（）ABCD8（3分）（2019荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）A盈利B亏损C不盈不亏D与售价a有关9（3分）（2019荆门）如果函数ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）Ak0且b0Bk0且b0Ck0且b0Dk0且b010（3分）（2019荆门）如图，RtOCB的斜边在y轴上，OC，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将RtOCB绕原点顺时针旋转120°后得到OCB'，则B点的对应点B的坐标是（）A（，1）B（1，）C（2，0）D（，0）11（3分）（2019荆门）下列运算不正确的是（）Axy+xy1（x1）（y+1）Bx2+y2+z2+xy+yz+zx（x+y+z）2C（x+y）（x2xy+y2）x3+y3D（xy）3x33x2y+3xy2y312（3分）（2019荆门）如图，ABC内心为I，连接AI并延长交ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）ADIDBBDIDBCDIDBD不确定二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13（3分）（2019荆门）计算+|sin30°0|+ 14（3分）（2019荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，且满足（x11）（x21）8k2，则k的值为 15（3分）（2019荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y（k0，x0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM2MA，若AB3，那么点N的横坐标为 16（3分）（2019荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 17（3分）（2019荆门）抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（1，0），B（m，0），C（2，n）（1m3，n0），下列结论：abc0，3a+c0，a（m1）+2b0，a1时，存在点P使PAB为直角三角形其中正确结论的序号为 三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（8分）（2019荆门）先化简，再求值：（）2÷，其中a，b19（9分）（2019荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BDBC20（10分）（2019荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？21（10分）（2019荆门）已知锐角ABC的外接圆圆心为O，半径为R（1）求证：2R；（2）若ABC中A45°，B60°，AC，求BC的长及sinC的值22（10分）（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE23（10分）（2019荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润日销售额日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x24（12分）（2019荆门）已知抛物线yax2+bx+c顶点（2，1），经过点（0，3），且与直线yx1交于A，B两点（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足SQABSMABSNABS，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足APB90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN）2019年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1（3分）（2019荆门）的倒数的平方是（）A2BC2D【考点】算术平方根；实数的性质菁优网版权所有【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可【解答】解：的倒数的平方为：故选：B2（3分）（2019荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）A3.1536×106B3.1536×107C31.536×106D0.31536×108【考点】科学记数法表示较大的数菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107故选：B3（3分）（2019荆门）已知实数x，y满足方程组则x22y2的值为（）A1B1C3D3【考点】97：二元一次方程组的解；98：解二元一次方程组菁优网版权所有【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可【解答】解：，+×2，得5x5，解得x1，把x1代入得，1+y2，解得y1，x22y2122×12121故选：A4（3分）（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是（）A95°B100°C105°D110°【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角菁优网版权所有【分析】根据题意求出2、4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可【解答】解：由题意得，245°，490°30°60°，3245°，由三角形的外角性质可知，13+4105°，故选：C5（3分）（2019荆门）抛物线yx2+4x4与坐标轴的交点个数为（）A0B1C2D3【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点菁优网版权所有【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程x2+4x40得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断【解答】解：当x0时，yx2+4x44，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），当y0时，x2+4x40，解得x1x22，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有2个交点故选：C6（3分）（2019荆门）不等式组的解集为（）Ax0Bx0Cx0Dx0【考点】CB：解一元一次不等式组菁优网版权所有【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：，解得：x，解得x0，则不等式组的解集为x0故选：C7（3分）（2019荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b那么方程x2+ax+b0有解的概率是（）ABCD【考点】根的判别式；列表法与树状图法菁优网版权所有【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a24b0，即a24b的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中使a24b0，即a24b的有19种，方程x2+ax+b0有解的概率是，故选：D8（3分）（2019荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）A盈利B亏损C不盈不亏D与售价a有关【考点】一元一次方程的应用菁优网版权所有【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（120%）a，得出x（1+20%）y（120%），整理得：3x2y，则两件衣服总的盈亏就可求出【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（120%）a，x（1+20%）y（120%），整理得：3x2y，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x0.2y0.2x0.3x0.1x，即赔了0.1x元，故选：B9（3分）（2019荆门）如果函数ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）Ak0且b0Bk0且b0Ck0且b0Dk0且b0【考点】一次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【分析】结合题意，分k0和k0两种情况讨论，即可求解；【解答】解：ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，当k0，b0时成立；当k0，b0时成立；综上所述，k0，b0；故选：A10（3分）（2019荆门）如图，RtOCB的斜边在y轴上，OC，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将RtOCB绕原点顺时针旋转120°后得到OCB'，则B点的对应点B的坐标是（）A（，1）B（1，）C（2，0）D（，0）【考点】坐标与图形变化旋转菁优网版权所有【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC1，再利用旋转的性质得到OCOC，BCBC1，BCOBCO90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B的坐标【解答】解：如图，在RtOCB中，BOC30°，BCOC×1，RtOCB绕原点顺时针旋转120°后得到OCB'，OCOC，BCBC1，BCOBCO90°，点B的坐标为（，1）故选：A11（3分）（2019荆门）下列运算不正确的是（）Axy+xy1（x1）（y+1）Bx2+y2+z2+xy+yz+zx（x+y+z）2C（x+y）（x2xy+y2）x3+y3D（xy）3x33x2y+3xy2y3【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；因式分解分组分解法菁优网版权所有【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可【解答】解：xy+xy1x（y+1）（y+1）（x1）（y+1），A正确，不符合题意；x2+y2+z2+xy+yz+zx（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2，B错误，符合题意；（x+y）（x2xy+y2）x3+y3，C正确，不符合题意；（xy）3x33x2y+3xy2y3，D正确，不符合题意；故选：B12（3分）（2019荆门）如图，ABC内心为I，连接AI并延长交ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）ADIDBBDIDBCDIDBD不确定【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心菁优网版权所有【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得12，56，再根据圆周角定理得到31，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明4DBI，从而可判断DIDB【解答】解：连接BI，如图，ABC内心为I，12，56，31，32，42+63+5，即4DBI，DIDB故选：A二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13（3分）（2019荆门）计算+|sin30°0|+1【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值菁优网版权所有【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2+11故答案为：114（3分）（2019荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，且满足（x11）（x21）8k2，则k的值为1【考点】根与系数的关系菁优网版权所有【分析】根据根与系数的关系结合（x11）（x21）8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解【解答】解：x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个实数根，x1+x2（3k+1），x1x22k2+1（x11）（x21）8k2，即x1x2（x1+x2）+18k2，2k2+1+3k+1+18k2，整理，得：2k2k10，解得：k1，k21关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，（3k+1）24×1×（2k2+1）0，解得：k32或k3+2，k1故答案为：115（3分）（2019荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y（k0，x0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM2MA，若AB3，那么点N的横坐标为【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可【解答】解：过点A、M分别作ACOB，MDOB，垂足为C、D，AOB是等边三角形，ABOAOB3，AOB60°又OM2MA，OM2，MA1，在RtMOD中，ODOM1，MD，M（1，）；反比例函数的关系式为：y在RtMOD中，OCOA，AC，A（，），设直线AB的关系式为ykx+b，把A（，），B（3，0）代入得： 解得：k，b，yx+；由题意得： 解得：x，x，x，故点N的横坐标为：16（3分）（2019荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+【考点】等边三角形的性质；扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】过A作AMBC于M，ENBC于N，根据等边三角形的性质得到AMBC×2，求得ENAM，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：过A作AMBC于M，ENBC于N，等边三角形ABC的边长为2，BACBACB60°，AMBC×2，ADAE1，ADBD，AECE，ENAM，图中阴影部分的面积SABCS扇形ADESCEF（SBCDS扇形DCF）×2××（×）+，故答案为：+17（3分）（2019荆门）抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（1，0），B（m，0），C（2，n）（1m3，n0），下列结论：abc0，3a+c0，a（m1）+2b0，a1时，存在点P使PAB为直角三角形其中正确结论的序号为【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【分析】由已知可以确定a0，b0，cba0；abc0；当x3时，y0，即9a+3b+c9a+3（a+c）+c12a+4c4（3a+c）0；a（m1）+2bb+2bb0；a1时，P（，b+1+），则PAB为等腰直角三角形，b+1+1，求出k2不合题意；【解答】解：将A（1，0），B（m，0），C（2，n）代入解析式yax2+bx+c，对称轴x，m1，1m3，ab0，n0，a0，b0，ab+c0，cba0abc0；错误；当x3时，y0，9a+3b+c9a+3（a+c）+c12a+4c4（3a+c）0，正确；a（m1）+2bb+2bb0，正确；a1时，yx2+bx+c，P（，b+1+），若PAB为直角三角形，则PAB为等腰直角三角形，AP的直线解析式的k1，b+1+1，b2，b0，不存在点P使PAB为直角三角形错误；故答案为；三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（8分）（2019荆门）先化简，再求值：（）2÷，其中a，b【考点】分式的化简求值菁优网版权所有【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可【解答】解：原式，当a，b时，原式19（9分）（2019荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BDBC【考点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】（1）作CEAB交AB的延长线于点E，设BEx，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；（2）利用全等三角形的判定与性质得出AFBE，BF5，DFCE，从而求出BD的长，在BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直【解答】解：（1）作CEAB交AB的延长线于点E，如图：设BEx，CEh在RtCEB中：x2+h29在RtCEA中：（5+x）2+h252联立解得：x，h平行四边形ABCD的面积ABh12；（2）作DFAB，垂足为FDFACEB90°平行四边形ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90°，ADBCADFBCE（AAS）AFBE，BF5，DFCE在RtDFB中：BD2DF2+BF2（）2+（）216BD4BC3，DC5CD2DB2+BC2BDBC20（10分）（2019荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数菁优网版权所有【分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论【解答】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：30%，x14，条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×420（人），答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；（3）设补查了y人，根据题意得，12+6+y8+14，y4，最多补查了3人21（10分）（2019荆门）已知锐角ABC的外接圆圆心为O，半径为R（1）求证：2R；（2）若ABC中A45°，B60°，AC，求BC的长及sinC的值【考点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）如图1，连接AO并延长交O于D，连接CD，于是得到CD90°，ABCADC，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由2R，同理可得：2R，于是得到2R2，即可得到BC2RsinA2sin45°，如图2，过C作CEAB于E，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交O于D，连接CD，则CD90°，ABCADC，sinABCsinADC，2R；（2）2R，同理可得：2R，2R2，BC2RsinA2sin45°，如图2，过C作CEAB于E，BEBCcosBcos60°，AEACcos45°，ABAE+BE，ABARsinC，sinC22（10分）（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GFAC得到MACMFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，GFAC，MACMFG，即：，OE32，答：楼的高度OE为32米23（10分）（2019荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润日销售额日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，（2）然后根据销售利润销售量×（售价进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（3）再依据函数的增减性求得最大利润【解答】解：（1）当1x10时，设nkx+b，由图知可知，解得n2x+10同理得，当10x30时，n1.4x+44销售量n与第x天之间的函数关系式：n（2）ymn80y整理得，y（3）当1x10时，y6x2+60x+70的对称轴x5此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大x10时，y取最大值，则y101270当10x15时y4.2x2+111x+580的对称轴是x13.213.5x在x13时，y取得最大值，此时y1313.2当15x30时y1.4x2149x+3220的对称轴为x30此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小x15时，y取最大值，y的最大值是y151300综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元24（12分）（2019荆门）已知抛物线yax2+bx+c顶点（2，1），经过点（0，3），且与直线yx1交于A，B两点（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足SQABSMABSNABS，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足APB90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN）【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为ya（x2）21，再把点C（0，3）代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式（2）把抛物线解析式与直线yx1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线和直线草图由图可知，QAB、MAB、NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等假设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MNAB，根据平行线间距离处处相等，则一定有SMABSNABS；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足SQABS，则Q到AB距离取最大值过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证CDQ为等腰直角三角形，故CQ取得最大值时，DQ也最大设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，进而求得DQ最大值，再用SSQABABDQ求得S的值（3）由APB90°，根据勾股定理有AP2+BP2AB2，设点P横坐标为p，根据两点间距离公式用p表示AP2、BP2，列得关于p的一元四次方程化简并对式子进行因式分解，由1p4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于p的一元二次方程，求得的解有一个满足p的范围，即存在满足的点P【解答】解：（1）抛物线的顶点为（2，1）顶点式为ya（x2）21抛物线经过点C（0，3）4a13解得：a1抛物线的解析式为y（x2）21x24x+3（2） 解得：，A（1，0），B（4，3）AB设直线yx1与y轴交于点E，则E（0，1）OAOE1AEO45°SQABSMABSNABS点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方MNAB时，总有SMABSNABS要使只有一个点Q在直线AB下方满足SQABS，则Q到AB距离必须最大过点Q作QCy轴交AB于点C，QDAB于点DCDQ90°，DCQAEO45°CDQ是等腰直角三角形DQCQ设Q（t，t24t+3）（1t4），则C（t，t1）CQt1（t24t+3）t2+5t4（t）2+t时，CQ最大值为DQ最大值为SSQABABDQ（3）存在点P满足APB90°APB90°，AB3AP2+BP2AB2设P（p，p24p+3）（1p4）AP2（p1）2+（p24p+3）2p48p3+23p226p+10，BP2（p4）2+（p24p+33）2p48p3+17p28p+16p48p3+23p226p+10+p48p3+17p28p+16（3）2整理得：p48p3+20p217p+40p2（p28p+16）+4p217p+40p2（p4）2+（4p1）（p4）0（p4）p2（p4）+（4p1）0p4p40p2（p4）+（4p1）0展开得：p34p2+4p10（p31）（4p24p）0（p1）（p2+p+1）4p（p1）0（p1）（p2+p+14p）0p1p10p2+p+14p0解得：p1，p2（舍去）点P横坐标为时，满足APB90°声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/10 9:53:45；用户：数学；邮箱：85886818-2；学号：27755521第27页（共27页）