理数答案THUSSAT2018年9月测试5499.pdf

第 1 页 共 6 页 BC 7 13 2 理科数学试卷 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1C 2B 3A 4D 5C 6B 7B 8A 9D 10C 11D 12A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.132 14n2+n 1530 16,1三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分。17（12 分）（1）AB 3，AC 1，A 60，所以由余弦定理可知，BC2，.3 分.根据正弦定理，3 sinACB 7,sin ACB 3 14 2 .6 分 （2）AB2 AC2 BC2，ACB 为钝角，则 7 cosACB 8 分 14 ，在ACD 中，根据余弦定理，AD2.10 分 求得 AD.12 分 32 12-2 3 1 cos60 3 21 1 3 21 2 14 AC 1,CD 7 2 12 7 2 2-2 1 7 2-7 14 第 2 页 共 6 页 18.（12 分）（1）取 PC 中点 F，E 是 PD 的中点，EF/CD，又由题意知Q 是 FC 的中点，M 是 EC 的中点，EF/QM，.2 分 QM/CD/AB.又QM 平面PAB,AB 平面PAB，QM/平面PAB.4 分 方法一：（2）当PBA 45 时，存在线段 PC 上的中点 F，使得 EF/平面 PAD，且 EF 与平面 PBC 所成角为 45同时成立。.5 分 理由如下：由（1）知，当 F 为 PC 中点时，EF/AB.PA 平面ABCD,PA AB.又四边形 ABCD为矩形，AB AD，AB 平面PAD，EF 平面PAD.8 分 PA BC，AB BC，BC 平面PAB，平面PBC 平面PAB，PBA 为 AB 与平面 PBC 所成角，.12 分 方法二：（2）当PBA 45 时，存在线段 PC 上的中点 F，使得 EF/平面 PAD，且 EF 与平面 PBC 所成角为 45同时成立。.5 分 理由如下：由（1）知，当 F 为 PC 中点时，EF/CD.PA 平面ABCD且CD 平面 ABCD PA CD ABCD 为矩形且 PA AD A CD AD CD 平面 PAD EF 平面 PAD.8 分 另一方面：过点 A 作 AG PB 于 G PA BC 由上理 AB BC BC 平面 PAB PA AD AAG 平面 PAB PB BC B AG 平面 PBC AG BC PBA 45 第 3 页 共 6 页 AB 在平面 PBC 内的射影为 PB ABP 就是直线 AB 与平面 PBC 所成的角 PBA 45 且 EF/CD，CD/AB EF/AB 且 EF 与平面 PBC 成角 45.12 分（其他方法酌情给分）19（12 分）（1）由题意得 2,3,4,5,6 故 P(2)66 1212 1，P(3)4 26 4 1212 1，P(4)3 26 2 4 4 1212 5，18 P(5)2 4 2 1212 1，P(6)9 2 2 1212 1.36 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36.6 分 （2）由题意知 的分布列为 1 b c P 1 2 1 3 1 6 E 1 1 b 1 c 5，D()(1 5)2 1(b 5)2 1(c 5)2 1 5.10 分 2 3 6 3 3 2 3 3 3 6 9 解得b 2，c 3.12 分 20.(12 分）3 0 3 0（1）焦点 F(3,0)，当 m 1时，直线l:x 1，点 A(1,)，kAF 2 或 2 2 1 3 1 3 直线 AF 的方程为：y 3 3(x 4 3)或 y 3 3(x 4 3).3 分 3 第 4 页 共 6 页 3 2 3t t 2 2 3t 6 2 8mk 3（2）当直线l 的斜率不存在时，m 1，SABF 2 3 3 或 2 3.4 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l：y k(x m)，联立方程 x2 y2 1，得(1 4k 2)x2 8mk2x 4m2k 2 4 0.设 A(x,y)，B(x,y)，则 y4 1 1 2 2 k(x m)2 x1 x2 1 4k 2，x1 x2 4m2k 2 4 1 4k 2.由题意知|km|1，即k2m2 k2 1 .6 分|y1 y2|k|x1 x2|k|k|，利用 式，消去k，得|y1 y2|m2 3，S ABF 1|m 2|y1 y2|m2 3 当 m 1 或 1 m 时，S ABF m2 3，令 t m，t(0,1)(1,)，则 S 2 3 3 3；.8 分 ABF t 6 2 2 t 当 m 时，S ABF m2 3，令 t m，t(0，)，则 S 2 3 1；.10 分 ABF t 6 2 t 当 m 1时，ABF 面积的最大值为 3 2 3.12 分 21（12 分）（1）f(x)a ax 1 4a(x 2)2 ax(x 4a 4)(ax 1)(x 2)2 当0 a 1时，4a 4 0，x(0,)时，f(x)0，f(x)单调递增；4 3 1 k 2(x x)2 4x x 1 2 1 2(8mk2 1 4k 2)2 16(m2k 2 1)1 4k 2 3 2 3|m 3|3 2 3(3 m)3 3 3 2 3t t 2 2 3t 6 3 2 3(m 3)3 3 第 5 页 共 6 页 2 2 8a2 32a 当 a 1 时，4a 4 0，x(0,4a 4)时，f(x)0，x(4a 4,)，f(x)0，f(x)单调递增。.4 分 f(x)单调递减；（2）由（1）讨论知，当 0 a 1 时，f(x)在 x(0,)时，f(x)单调递增，3 f(x)f(0)2ln 2 2 3 0，.6 分 4a(a 1)3 当1 a 时，f(x)f(4a 4)2ln(2a 1)2 1 2a 1 2ln 2 2 令t 2a 1，t(1,2，g(t)2ln t(t )，t 则 g(t)2 (1 1)1 1)2 0，.10 分 t t2(t 则 g(t)单调递减，g(t)g(2)2ln 2 3，f(x)0。2 综上所述，f(x)0.12 分（其它方法酌情给分）（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 2.【选修 44：坐标系与参数方程】（10 分）（1）曲线C:y2 2x.4 分 （2）曲线C:y2 2ax，直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，t2(8 2 2a)t 8a 32 0，设交点 A，B 所对参数分别为t1，t2，则t1 t2 8 2 2a，t1 t2 8a 32，.6 分|AB|t1 t2|，.8 分|AB|2|MA|MB|得 a 1.10 分 8a2 32a 8a 32 2 3.【选修 45：不等式选讲】（10 分）(t t)2 4t t 1 2 1 2 第 6 页 共 6 页 3x 2 5-x x 3 2 3（1）f(x)|x 2|2x 3|1 2 x.2 分 2 x 5 当 x 3 时，5-x 2,x 3,3x 2 2 2 当 2 x 3 时，3x 1 2,x 1,3 2 当 x 2 时，x 5 2,x综上可知，所求不等式的解集为1,3.5 分 （2）要证：f(x)x 1，即证：|x 2|ax3|x 1 x(0,2)，即证：x 2|ax3|x 1，即证：ax 3 3.7 分 0 a 3且 x(0,2)，0 ax 6.8 分 则-3 ax-3 3，即 ax 3 3，则 f(x)x 1成立.10 分