线性代数练习题及答案5481.pdf
线性代数期中练习 一、单项选择题。112021kk的充分必要条件是()。(A)1k (B)3k (C)1k 且3k (D)1k 或3k 2若 ABAC，当（）时，有 BC。(A)A 为 n 阶方阵 (B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵 (D)A 为对称矩阵 3若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211，则333231232221131211222222222aaaaaaaaa（）。(A)6M (B)6M (C)8M (D)8M 4齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx有非零解，则a应满足（）。(A)0a；(B)0a；(C)1a；(D)1a 5设12,是Axb的两个不同的解，12,是0Ax的基础解系，则Axb 的通解是（）。(A)11212121()()2cc (B)11212121()()2cc (C)11212121()()2cc (D)11212121()()2cc 二填空题。6A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则 ABT=。7已知A、B为 4 阶方阵，且A2，B3，则|5AB|=。|(AB)-1|=。8.在分块矩阵 A=BOOC中，已知1B、1C存在，而O是零矩阵，则 1A 。9设D=7345327254321111,则44434241AAAA 。10设矩阵 A=123235471，则 A 的秩 R(A)=。三计算题（要求写清计算过程）11.设111111111A，123124051B，求32ABA。12计算行列式 121212123xnxnDxnx。13解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0 xxxxxxxxxxxx。14解矩阵方程AXBX，其中01011111,2010153AB。15a取何值时，线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax有解,并求其解。四证明题（每题 5 分，共 10 分）16.设向量组321,线性无关，证明以下向量组线性无关：112，322，313。17设n阶矩阵A满足224AAIO.证明：A可逆并求1A。线性代数参考答案 一、单项选择题。112021kk的充分必要条件是(C )。(A)1k (B)3k (C)1k 且3k (D)1k 或3k 2若 ABAC，当（B ）时，有 BC。(A)A 为 n 阶方阵 (B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵 (D)A 为对称矩阵 3若三阶行列式Maaaaaaaaa333231232221131211，则333231232221131211222222222aaaaaaaaa（D ）。(A)6M (B)6M (C)8M (D)8M 4齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxx有非零解，则a应满足（D ）。(A)0a；(B)0a；(C)1a；(D)1a 5设12,是Axb的两个不同的解，12,是0Ax的基础解系，则Axb的通解是（A ）。(A)11212121()()2cc (B)11212121()()2cc (C)11212121()()2cc (D)11212121()()2cc 二填空题。6A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，则 ABT=28。7已知A、B为 4 阶方阵，且A2，B3，则|5AB|=-3750 。|(AB)-1|=-1/6 。(答对其中一空给 2 分)8.在分块矩阵 A=BOOC中，已知1B、1C存在，而O是零矩阵，则 1A 11BOOC 。9设D=7345327254321111,则44434241AAAA 0 。10设矩阵 A=123235471，则 A 的秩 R(A)=2 。三计算题（要求写清计算过程）11.设111111111A，123124051B，求32ABA。解：1111230152433 111124015181110516270AB 0152422232015 182226270222ABA=21322217204292。12计算行列式 121212123xnxnDxnx。解：1(1)122121(1)2122121(1)221231(1)232xn nnxnxn nxnxnDxnxn nxnxxn nx 112121(1)122123nxnxn nxnx 11201001(1)01202011nxxn nxxn=1(1)(1)(2)()2xn nxxxn。13解齐次线性方程组123412341234 5 0 2303 8 0 xxxxxxxxxxxx 解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换 115111233181A31012701220000 得出原方程组的同解方程组 1342343 027 202xxxxxx 设314212,xc xc c c为任意常数.得到方程组的全部解为 123412123 7(,)(,1,0)(1,2,0,1),2 2 TTTx x x xccc c 为任意常数。14解矩阵方程AXBX，其中01011111,2010153AB。解：由AXBX得()IA XB。因为0IA所以1()XIAB。1111002/31/3()10112/31/310201/31/3IA 因而102/31/311()12/31/32001/31/353XIAB=312011 15a取何值时，线性方程组12312312311xxxaaxxxxxax有解,并求其解。解：2111111()11 10111111001 1aaA baaaaaaa 当1231()(|)3,1,2,1;ar Ar A bxxax 时，有唯一解：当1a 时，111 1(|)000 0000 0A b即原方程组与下面方程 1231xxx 同解,其中23,xx是自由变量.23(,)(0,0)TTxx取得到一个特解为(1,0,0).T 原方程组的导出组与方程123xxx 同解.23(,)(1,0),(0,1)TTTxx分别取得到一个基础解系为:(1,1,0),(1,0,1)TT 因此,当1a 时，方程组的通解为:1212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1),.TTTccc c，为任意常数 四证明题（每题 5 分，共 10 分）16.设向量组321,线性无关，证明以下向量组线性无关：112，322，313。证明:设0332211kkk，所以 131122233()()()0kkkkkk，因为321,线性无关，所以131223000kkkkkk，系数行列式1011100011，所以方程只有零解，即0321kkk，故321,无关。17设n阶矩阵A满足224AAIO.证明：A可逆并求1A。证明:由224AAIO可得 224AAI，进一步(2)/4A AII，因此,A可逆且1(2)/4AAI。
