江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：中点四大模型16863.pdf

1如图，在ABC 中，AB12，AC20，求 BC 边上中线 AD 的范围DCBA解：延长 AD 到 E，使 ADDE，连接 BE，AD 是ABC 的中线，BDCD，在ADC 与EDB 中，DEADBDEADCCDBDADCEDB（SAS），EBAC20，根据三角形的三边关系定理：2012AE2012，4AD16，故 AD 的取值范围为 4AD162如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DMDN，如果 BM2CN2DM2DN2求证：AD2(AB2AC2)41NMDCBA证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E，连 MEBDDC，EDDN在BED 与CND 中，DNEDCDNBDEDCBDBEDCND（SAS）BENCMDN90，MD 为 EN 的中垂线EMMNBM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2，BEM 为直角三角形，MBE90ABCACBABCEBC90BAC90AD2(BC)2（AB2AC2）2141模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”一 一 一 一ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”模型实例如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，求 MN 的长度NMCBA ABCMN解答：连接 AMABAC5，BC6，点 M 为 BC 中点，AMBC，BMCMBC321AB5，AM4352222 BMABMNAC，SANCMCAMACMN2121即：345MN2121MN512跟踪练习1如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，AEDE，AFDF，且 AEAF，求证：EDBFDCFEDCBA证明：连结 AD，ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，ADBADC90在 RtAED 与 RtAFD 中，ADADAFABRtAEDRtAFD（HL）ADEADF，ADBADC90，EDBFDC2已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F（1）当EDF 绕 D 点旋转到 DFAC 于 E 时（如图），求证：SDEFSCEFSABC；21（2）当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF、SCEF、SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明21ABCDEF 模型 3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理一 一 一 一 一一 一 一 一 一 一EABCDDCBA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且 DEBC 来解题中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以21解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题模型实例如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点 M，N求证：BMECNENMFEDCBA解答如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE、HFE、F 分别是 BC、AD 的中点，FHAB，FHAB，HEDC，HENC2121又ABCD，HEHFHFEHEFFHMB，HENC，BMEHFE，CNEFEHBMECNE 练习：1.（1）如图 1，BD，CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 ADBD，AECE，垂足分别为D，E，连接 DE，求证：DEBC，DE=12（AB+BC+AC）；（2）如图 2，BD，CE 分别是ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图 3，BD 是ABC 的内角平分线，CE 是ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与 BC 还平行吗？它与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.EDCBA一 1GFEDCBA一 2FEDCBA一 31.解答（1）如图，分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K.在BAD 和BKD 中，ABDDBKBDBDBDABDK BAD BKD（ASA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=12HK.又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.DE=12（AB+AC+BC）.（2）猜想结果：图结论为 DE=12（AB+AC-BC）证明：分别延长 AE，AD 交 BC 于 H，K.在BAD 和BKD 中ABDDBKBDBDBDABDK BADBKD（ASA）AD=KD，AB=KB同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=12HK.又HK=BK+CH-BC=AB+AC-BCDE=12（AB+AC-BC）GABCDEKHF一 2（3）图的结论为 DE=12（BC+AC-AB）证明：分别延长 AE，AD 交 BC 或延长线于 H，K.在BAD 和BKD 中，ABDDBKBDBDBDABDK BAD BKD（ASA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=12KH.又HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-ABDE=12（BC+AC-AB）.ABCDEKHF一 32.问题一：如图，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 EF，分别交 DC，AB 于点 M，N，判断OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图，在ABC 中，ACAB，D 点在 AC 上，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若EFC=60，连接 GD，判断AGD 的形状并证明.一 1NMOFEDCBAE一 2GABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取 AC 中点 H，连接 FH，EH，如图）（2）AGD 是直角三角形如图，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF，HE.F 是 AD 的中点，HFAB，HF=12AB.1=3.同理，HECD，HE=12CD，2=EFC，AB=CD，HF=HE.1=2.EFC=60，3=EFC=AFG=60.AGF 是等边三角形.AF=FG.GF=FD.FGD=FDG=30.AGD=90，即AGD 是直角三角形.一 2321GABCDFEH模型 4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一DCBADCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 CD=12AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD 和BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.模型实例如图，在ABC 中，BE，CF 分别为 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，DM EF 于点 M，求证：FM=EM.MFEDCBA证明连接 DE，DF.BE，CF 分别为边 AC，AB 上的高，D 为 BC 的中点，DF=12BC，DE=12BC.DF=DE，即DEF 是等腰三角形.DMEF，点 M 是 EF 的中点，即 FM=EM.ABCDEFM练习：1.如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 为 BC 的中点，AB=10，求 DM 的长度.MDCBA1.解答取 AB 中点 N，连接 DN，MN.在 RtADB 中，N 是斜边 AB 上的中点，DN=12AB=BN=5.NDB=B.在ABC 中，M，N 分别是 BC，AB 的中点，MNACNMB=C，又NDB 是NDM 的外角，NDB=NMD+DNM.即B=NMD+DNM=C+DNM.又B=2C，DNM=C=NMD.DM=DN.DM=5.NMDCBA2.已知，ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 MB，MC，求证：MB=MC.MEDCBA2.证明延长 BM 交 CE 于 G，ABD 和ACE 都是直角三角形，CEBD.BDM=GEM.又M 是 DE 中点，即 DM=EM，且BMD=GME，BMD GME.BM=MG.M 是 BG 的中点，在 RtCBG 中，BM=CM.3.问题 1：如图，三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AE BC，BF AC，垂足分别为点E，F.AE、BF 交于点 M，连接 DE，DF，若 DE=kDF，则 k 的值为 .问题 2：如图，三角形 ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在三角形 ABC 内部，且MAC=MBC，过点 M 分别作 ME BC，MF AC，垂足分别为点 E，F，连接 DE，DF，求证：DE=DF.问题 3：如图，若将上面问题 2 中的条件“CB=CA”变为“CB CA”，其他 条件不变，试探究DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论.一 1MFEDCBA一 2ABCDEFM一 3ABCDEFM3.解答（1）AEBC，BFAC，AEB 和AFB 都是直角三角形，一 1MFEDCBAD 是 AB 的中点，DE=12AB，DF=12AB.DE=DF.DE=KDF，k=1.（2）CB=CA，CBA=CAB.MAC=MBC，CBA-MBC=CAB-MAC，即ABM=BAM.AM=BM.MEBC，MFAC，MEB=MFA=90.又MBE=MAF，MEB MFA（AAS）BE=AF.D 是 AB 的中点，即 BD=AD，又DBE=DAF，DBE DAF（SAS）DE=DF.（3）DE=DF.如图，作 AM 的中点 G，BM 的中点 H，连 DG，FG，DH，EH.点 D 是边 AB 的中点，DGBM，DG=12BM.同理可得：DHAM，DH=12AM.MEBC 于 E，H 是 BM 的中点.在 RtBEM 中，HE=12BM=BH.HBE=HEB.MHE=2HBE.又DG=12BM，HE=12BM，DG=HE.同理可得：DH=FG.MGF=2MAC.DGBM，DHGM，四边形 DHMG 是平行四边形.DGM=DHM.MGF=2MAC，MHE=2MBC，MBC=MAC，一 2ABCDEFMMGF=MHE.DGM+MGF=DHM+MHE.DGF=DHE.在DHE 与FGD 中DGHEDGFDHEDHFG DHE FGD（SAS）DE=DF.