2017-2018学年江苏省南京市秦淮区九年级(上)期末数学试卷23455.pdf

第 1 页（共 20 页）2017-2018 学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1（2 分）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2x2a=0 的一个解，则 a 的值为（）A0 B1 C1 D2 2（2 分）连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是（）A1 B C D 3（2 分）抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（）Ay=2（x1）2+3 By=2（x+1）23 Cy=2（x1）21 Dy=3（x1）2+1 4（2 分）如图，O 中，直径 CD=10cm，弦 ABCD 于点 M，OM：MD=3：2，则 AB 的长是（）A4cm B5cm C6cm D8cm 5（2 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当1x5 时，y0 其中正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6（2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分别沿 ABC和 ADC的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ 的面积为y（单位：cm2），则 y 与 x（0 x8）之间函数关系可以用图象表示为（）A B C D 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）第 2 页（共 20 页）7（2 分）已知=，则=8（2 分）已知方程 x2+mx3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 9（2 分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为 100 分，其中早操及体育课外活动占 20%，期中考试成绩占 30%，期末考试成绩占 50%，小惠的三项成绩依次是 95 分，90 分，85 分，小惠这学期的体育成绩为 分 10（2 分）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适因此夏天使用空调时，如果人的体温按 36.5 度算，那么室内温度约调到 最适合（结果保留到个位数字）11（2 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，若ABD=62，则BCD=12（2 分）2014 年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为 24cm 的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸的面积是 cm2 13（2 分）抛物线的部分图象如图所示，则当 y0 时，x 的取值范围是 14（2 分）如表是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的自变量 x 与函数值 y 的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a0）的一个解 x 的取值范围是 x 6.1 6.2 6.3 6.4 y=ax2+bx+c 0.3 0.1 0.2 0.4 15（2 分）如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m 时，拱顶离水面 4m，当水面下降 3m 时，水面的宽为 m 16（2 分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=3，EF=4，FC=5，则正方形 ABCD 的外接圆的半径是 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8 分）解下列方程：（1）x24x1=0（2）x（2x3）=32x 18（6 分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入第 3 页（共 20 页）韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选 5 名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表：平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 乙班 8.5 10 1.6（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好 19（8 分）不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的 4 个小球，分别标有数字 1，2，3，4（）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为 2 的概率；（）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 y，这样就确定点 E 的一个坐标为（x，y），求点 E 落在直线 y=x+1 上的概率 20（6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C的坐标为（0，1）（1）在如图的方格纸中把ABC 以点 O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1：2，画出A1B1C1（ABC 与A1B1C1在位似中心 O 点的两侧，A，B，C 的对应点分别是 A1，B1，C1）（2）利用方格纸标出A1B1C1外接圆的圆心 P，P 点坐标是 ，P 的半径=（保留根号）21（6 分）已知二次函数 y=ax2+bx3 的图象经过点 A（2，3），B（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 个单位 22（8 分）如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BP=1，CD=（1）求证：ABPPCD；（2）求ABC 的边长 23（6 分）某学习小组在研究函数 y=x32x 的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分 x 4 3.5 3 2 1 0 1 2 3 3.5 4 y 0 （1）请补全函数图象；第 4 页（共 20 页）（2）方程x32x=2 实数根的个数为 ；（3）观察图象，写出该函数的两条性质 24（8 分）如图，身高 1.6 米的小明站在距路灯底部 O 点 10 米的点 A 处，他的身高（线段 AB）在路灯下的影子为线段 AM，已知路灯灯杆 OQ 垂直于路面（1）在 OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点 P；（2）小明沿 AO 方向前进到点 C，请画出此时表示小明影子的线段 CN；（3）若 AM=2.5 米，求路灯灯泡 P 到地面的距离 25（10 分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y=2x+80（20 x40），设这种健身球每天的销售利润为 w 元（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于 28 元，该商店销售这种健身球每天要获得150 元的销售利润，销售单价应定为多少元？26（10 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO 交 PO延长线于点 E，连接 PB，EDB=EPB（1）求证：PB 是O 的切线（2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长 27（12 分）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与坐标轴交于 A，B，C 三点，点 A 的横坐标为1，过点 C（0，3）的直线 y=x+3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，PHOB 于点 H若 PB=5t，且 0t1（1）确定 b，c 的值；（2）写出点 B，Q，P 的坐标（其中 Q，P 用含 t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由 2017-2018学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1（2 分）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2x2a=0 的一个解，则 a 的值为（）第 5 页（共 20 页）A0 B1 C1 D2【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数 a 的值【解答】解：x=2 是方程的解，422a=0 a=1 故选：C【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值 2（2 分）连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是（）A1 B C D【分析】运用列举法，把所有的可能都列举出来，注意按顺序列举出所有可能，即可得出答案【解答】解：如图所示，正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 所有的可能为：正正，正反，反正，反反；第一次正面朝上，第二次也正面朝上的概率是：，故选：B【点评】此题主要考查了用列举法求概率，只要按顺序，依次列举出所有可能是解决问题的关键 3（2 分）抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（）Ay=2（x1）2+3 By=2（x+1）23 Cy=2（x1）21 Dy=3（x1）2+1【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是 y=2（x1）21 故选：C【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 4（2 分）如图，O 中，直径 CD=10cm，弦 ABCD 于点 M，OM：MD=3：2，则 AB 的长是（）A4cm B5cm C6cm D8cm【分析】连接 OA，由垂径定理得出 AM=BM=AB，由已知条件得出 OA=OD=5cm，OM=3cm，由勾股定理求出 AM，即可得出结果 第 6 页（共 20 页）【解答】解：连接 OA，如图所示：ABCD，OMA=90，AM=BM=AB，CD=10cm，OM：MD=3：2，OA=OD=5cm，OM=3cm，AM=4（cm），AB=2AM=8cm 故选：D【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出 AM 是解决问题的突破口 5（2 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当1x5 时，y0 其中正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a0，b0，即可判断，根据对称轴为 x=2，即可判断；由对称轴 x=2，即可判断；求得抛物线的另一个交点即可判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，对称轴 x=2，=2，b=4a0，a、b 异号，故错误；对称轴 x=2，x=1 和 x=3 时，函数值相等，故正确；对称轴 x=2，=2，b=4a，第 7 页（共 20 页）4a+b=0，故正确；抛物线与 x 轴交于（1，0），对称轴为 x=2，抛物线与 x 轴的另一个交点为（5，0），当1x5 时，y0，故正确；故正确的结论为三个，故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由决定，=b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 6（2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分别沿 ABC和 ADC的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ 的面积为y（单位：cm2），则 y 与 x（0 x8）之间函数关系可以用图象表示为（）A B C D【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：0 x4 时，根据四边形 PBDQ 的面积=ABD 的面积APQ 的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；4x8 时，根据四边形 PBDQ 的面积=BCD 的面积CPQ 的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解【解答】解：0 x4 时，正方形的边长为 4cm，y=SABDSAPQ，第 8 页（共 20 页）=44 xx，=x2+8，4x8 时，y=SBCDSCPQ，=44 （8x）（8x），=（8x）2+8，所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 B 选项图象符合 故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7（2 分）已知=，则=4 【分析】根据等式的性质，可用 y 表示 x，根据等式的性质，可得答案【解答】解：x=y=4，故答案为：4【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键 8（2 分）已知方程 x2+mx3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 3 【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算【解答】解：设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系可得：x11=3，解得 x1=3 故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两根为 x1，x2，则 x1+x2=，x1x2=第 9 页（共 20 页）9（2 分）晨光中学规定学生的体育成绩满分为 100 分，其中早操及体育课外活动占 20%，期中考试成绩占 30%，期末考试成绩占 50%，小惠的三项成绩依次是 95 分，90 分，85 分，小惠这学期的体育成绩为 88.5 分【分析】利用加权平均数的公式直接计算用 95 分，90 分，85 分别乘以它们的百分比，再求和即可【解答】解：小惠这学期的体育成绩=（9520%+9030%+8550%）=88.5（分）故答案为 88.5【点评】本题考查了加权成绩的计算 10（2 分）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适因此夏天使用空调时，如果人的体温按 36.5 度算，那么室内温度约调到 23 最适合（结果保留到个位数字）【分析】利用黄金分割的定义用 36.5C 乘以 0.618 即可【解答】解：36.5C0.618=23C 所以如果人的体温按 36.5 度算，那么室内温度约调到 23最适合 故答案为 23【点评】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC），且使 AC 是 AB 和 BC的比例中项（即 AB：AC=AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 其中 AC=AB0.618AB，并且线段 AB 的黄金分割点有两个 11（2 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，若ABD=62，则BCD=28 【分析】根据圆周角定理的推论由 AB 是O 的直径得ADB=90，再利用互余计算出A=90ABD=28，然后再根据圆周角定理求BCD 的度数【解答】解：AB 是O 的直径，ADB=90，ABD=62，A=90ABD=28，BCD=A=28 故答案为 28【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 12（2 分）2014 年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为 24cm 的扇形纸做一个如图所示的第 10 页（共 20 页）圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为 10cm，那么这张扇形纸的面积是 240 cm2【分析】易得圆锥的底面周长，利用侧面积公式可得扇形纸片的面积【解答】解：圆锥的底面周长为 20，扇形纸片的面积=20 24=240cm2 故答案为 240 【点评】此题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积=LR 13（2 分）抛物线的部分图象如图所示，则当 y0 时，x 的取值范围是 x3 或 x1 【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为 x=1，从而可得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），y0，找出抛物线位于 x 轴下方部分 x 的取值范围即可【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴一个交点的坐标为（1，0），由抛物线的对称性可知：抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0）y0，x3 或 x1 故答案为：x3 或 x1【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与 x 轴两个交点的坐标是解题的关键 14（2 分）如表是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的自变量 x 与函数值 y 的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a0）的一个解 x 的取值范围是 6.3x6.4 x 6.1 6.2 6.3 6.4 y=ax2+bx+c 0.3 0.1 0.2 0.4【分析】观察表格可知，y 随 x 的值逐渐增大，ax2+bx+c 的值在 6.26.3 之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=时，对应的 x 的值在 6.36.4 之间【解答】解：由表格中的数据看出0.1 和 0.2 更接近于 0，故一元二次方程 ax2+bx+c=（a0）第 11 页（共 20 页）的一个解 x 的取值范围是 6：3x6.4 故答案为：6.3x6.4【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 y 由正变为负时，自变量的取值即可 15（2 分）如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m 时，拱顶离水面 4m，当水面下降 3m 时，水面的宽为 6 m【分析】根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降 3m 时，水面的宽【解答】解：以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如右图所示，设抛物线的解析式为 y=ax2，点（6，4）在函数图象上，4=a62，得 a=，y=，当 y=7 时，7=，得，当水面下降 3m 时，水面的宽为：m，故答案为：6【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答 16（2 分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE 丄 EF，EF 丄 FC，并且 AE=3，EF=4，FC=5，则正方形 ABCD 的外接圆的半径是 2 【分析】首先连接 AC，则可证得AEMCFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EM与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长，进而得到 AC 的长，在 RtABC 中，由AB=ACsin45，即可求出正方形的边长【解答】解：连接 AC，AE 丄 EF，EF 丄 FC，E=F=90，AME=CMF，第 12 页（共 20 页）AEMCFM，=，AE=3，EF=4，FC=5，=，EM=1.5，FM=2.5，在 RtAEM 中，AM=，在 RtFCM 中，CM=，AC=4，正方形 ABCD 的外接圆的半径是 2，故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8 分）解下列方程：（1）x24x1=0（2）x（2x3）=32x【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：x24x=1，配方得：x24x+4=5，即（x2）2=5，开方得：x2=，解得：x1=2+，x2=2；（2）方程整理得：x（2x3）+（2x3）=0，分解因式得：（2x3）（x+1）=0，解得：x1=1.5，x2=1【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，以及因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键 18（6 分）中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展第 13 页（共 20 页）国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选 5 名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表：平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 8.5 0.7 乙班 8.5 8 10 1.6（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好【分析】（1）利用条形统计图，结合众数、方差、中位数的定义分别求出答案；（2）利用平均数、众数、方差、中位数的定义分析得出答案【解答】解：（1）甲的众数为：8.5 分，方差为：（8.58.5）2+（7.58.5）2+（88.5）2+（8.58.5）2+（108.5）2=0.7 分，乙的中位数是：8 分；故答案为：8.5，0.7，8；（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定【点评】此题主要考查了平均数、众数、方差、中位数的定义，正确把握相关定义是解题关键 19（8 分）不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的 4 个小球，分别标有数字 1，2，3，4（）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为 2 的概率；（）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 y，这样就确定点 E 的一个坐标为（x，y），求点 E 落在直线 y=x+1 上的概率【分析】（）让不是 2 的情况数除以总情况数即为小球上所标的数字不为 2 的概率；（）列举出所有情况，看点 E 落在直线 y=x+1 上的情况数占所有情况数的多少即可【解答】解：（）P=（3 分）（）满足条件的点有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共 12 个，（5 分）其中落在直线 y=x+1 上的有（1，2），（2，3），（3，4）三个，（7 分）第 14 页（共 20 页）P=（8 分）【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到点 E 落在直线 y=x+1 上的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 20（6 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C的坐标为（0，1）（1）在如图的方格纸中把ABC 以点 O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1：2，画出A1B1C1（ABC 与A1B1C1在位似中心 O 点的两侧，A，B，C 的对应点分别是 A1，B1，C1）（2）利用方格纸标出A1B1C1外接圆的圆心 P，P 点坐标是（3，1），P 的半径=（保留根号）【分析】（1）延长 BO 到 B1，使 B1O=2BO，则点 B1为点 B 的对应点，同样方法作出点 A 和 C 的对应点 A1、C1，则A1B1C1满足条件；（2）利用网格特点，作 A1C1和 C1B1的垂值平分线得到A1B1C1外接圆的圆心 P，然后写出 P 点坐标和计算 PA1【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）点 P 的坐标为（3，1），PA1=，即P 的半径为，故答案为：（3，1）、【点评】本题考查了作图位似变换：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了三角形的外心 21（6 分）已知二次函数 y=ax2+bx3 的图象经过点 A（2，3），B（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位【分析】（1）将 A（2，3），B（1，0）代入 y=ax2+bx3，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）利用顶点坐标公式可求出图象沿 y 轴向上平移的单位【解答】解：（1）由已知，有，即，解得 所求的二次函数的解析式为 y=x22x3 第 15 页（共 20 页）（2）=1，=4 顶点坐标为（1，4）二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位【点评】考查利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，即顶点的纵坐标为 0 22（8 分）如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BP=1，CD=（1）求证：ABPPCD；（2）求ABC 的边长【分析】（1）根据等边三角形性质求出 AB=BC=AC，B=C=60，推出BAP=DPC，即可得出结论；（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出 AB 即可【解答】（1）证明：ABC 是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60，BAP+APB=18060=120，APD=60，APB+DPC=18060=120，BAP=DPC，即B=C，BAP=DPC，ABPPCD；（2）解：ABPPCD，CD=，CP=BCBP=x1，BP=1，即，解得：AB=3 即ABC 的边长为 3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出ABPPCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力 第 16 页（共 20 页）23（6 分）某学习小组在研究函数 y=x32x 的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分 x 4 3.5 3 2 1 0 1 2 3 3.5 4 y 0 （1）请补全函数图象；（2）方程x32x=2 实数根的个数为 3；（3）观察图象，写出该函数的两条性质【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；（2）根据函数 y=x32x 和直线 y=2 的交点的个数即可得出结论；（3）根据函数图象即可得出结论【解答】解：（1）补全函数图象如图所示，（2）如图 1，作出直线 y=2 的图象，由图象知，函数 y=x32x 的图象和直线 y=2 有三个交点，方程x32x=2 实数根的个数为 3，故答案为 3；（3）由图象知，1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，2、此函数在 x2 和 x2，y 随 x 的增大而增大，3、此函数图象过原点，4、此函数图象关于原点对称【点评】此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方法，解本题的关键是补全函数图象 24（8 分）如图，身高 1.6 米的小明站在距路灯底部 O 点 10 米的点 A 处，他的身高（线段 AB）在路灯下的影子为线段 AM，已知路灯灯杆 OQ 垂直于路面（1）在 OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点 P；（2）小明沿 AO 方向前进到点 C，请画出此时表示小明影子的线段 CN；（3）若 AM=2.5 米，求路灯灯泡 P 到地面的距离【分析】（1）MB 的延长线与 OQ 的交点为 P；第 17 页（共 20 页）（2）连接 PD 并延长交路面于点 N；（3）利用相似三角形对应边成比例列式列式即可得解【解答】解：（1）如图：（2）如图：（3）ABOP，MABMOP，=，即=，解得 OP=8 即路灯灯泡 P 到地面的距离是 8 米【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键 25（10 分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y=2x+80（20 x40），设这种健身球每天的销售利润为 w 元（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于 28 元，该商店销售这种健身球每天要获得150 元的销售利润，销售单价应定为多少元？【分析】（1）根据“每天的销售利润=每个球的利润每天的销售量”可得函数解析式；（2）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得；（3）根据题意列出 w=150 时关于 x 的一元二次方程，解之得出 x 的值，再根据“销售单价不高于28 元”取舍即可得【解答】解：（1）根据题意可得：w=（x20）y=（x20）（2x+80）=2x2+120 x1600，w 与 x 之间的函数关系为：w=2x2+120 x1600；（2）根据题意可得：w=2x2+120 x1600=2（x30）2+200，20，当 x=30 时，w 有最大值，w 最大值为 200 答：销售单价定为 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元（3）当 w=150 时，可得方程2（x30）2+200=150 解得 x1=25，x2=35，第 18 页（共 20 页）3528，x2=35 不符合题意，应舍去 答：该商店销售这种健身球每天想要获得 150 元的销售利润，销售单价定为 25 元【点评】本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题 解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围 26（10 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO 交 PO延长线于点 E，连接 PB，EDB=EPB（1）求证：PB 是O 的切线（2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE 与三角形 POB 相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP 为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由 PDPC 求出 CD 的长，在直角三角形 OCD 中，设 OC=r，则有 OD=8r，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解得到 r 的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：在DEO 和PBO 中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB 为圆的半径，PB 为圆 O 的切线；（2）解：在 RtPBD 中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD=5，PD 与 PB 都为圆的切线，PC=PB=3，DC=PDPC=53=2，在 RtCDO 中，设 OC=r，则有 DO=4r，根据勾股定理得：（4r）2=r2+22，解得：r=，OP=，E=PBO，DPE=OPB，第 19 页（共 20 页）DEPOBP，DE=【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 27（12 分）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与坐标轴交于 A，B，C 三点，点 A 的横坐标为1，过点 C（0，3）的直线 y=x+3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，PHOB 于点 H若 PB=5t，且 0t1（1）确定 b，c 的值；（2）写出点 B，Q，P 的坐标（其中 Q，P 用含 t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由【分析】（1）将 A、C 的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值（2）根据抛物线的解析式可求得 B 点的坐标，即可求出 OB，BC 的长，在直角三角形 BPH 中，可根据 BP 的长和CBO 三角函数求出 PH，BH 的长，进而可求出 OH 的长，也就求出了 P 点的坐标Q 点的坐标，可直接由直线 CQ 的解析式求得（3）本题要分情况讨论：PQ=PB，此时 BH=QH=BQ，在（2）中已经求得了 BH 的长，BQ 的长可根据 B、Q 点的坐标求得，据此可求出 t 的值 PB=BQ，那么 BQ=BP=5t，由此可求出 t 的值 PQ=BQ，已经求得了 BH 的长，可表示出 QH 的长，然后在直角三角形 PQH 中，用 BQ 的表达式表示出 PQ，即可用勾股定理求出 t 的值【解答】解：（1）已知抛物线过 A（1，0）、C（0，3），则有：，解得，因此 b=，c=3；（2）令抛物线的解析式中 y=0，则有x2+x+3=0，第 20 页（共 20 页）解得 x=1，x=4；B（4，0），OB=4，因此 BC=5，在直角三角形 OBC 中，OB=4，OC=3，BC=5，sinCBO=，cosCBO=，在直角三角形 BHP 中，BP=5t，因此 PH=3t，BH=4t；OH=OBBH=44t，因此 P（44t，3t）令直线的解析式中 y=0，则有 0=x+3，x=4t，Q（4t，0）（3）存在 t 的值，有以下三种情况 如图 1，当 PQ=PB 时，PHOB，则 QH=HB，44t4t=4（44t），t=，当 PB=QB 得 44t=5t，t=，当 PQ=QB 时，在 RtPHQ 中有 QH2+PH2=PQ2，（8t4）2+（3t）2=（44t）2，57t232t=0，t=，t=0（舍去），又0t1，当或或时，PQB 为等腰三角形【点评】本题考查了二次函数的确定以及等腰三角形的判定等知识点要注意的是（3）题中在不确定等腰三角形的腰和底的情况下腰分类讨论，不要漏解