2023年高考数学二轮复习讲练测专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(原卷版)43753.pdf

专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用 核心考点三：已知()f x 奇函数M 核心考点四：利用轴对称解决函数问题 核心考点五：利用中心对称解决函数问题 核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题 核心考点七：类周期函数 核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 核心考点九：函数性质的综合 【真题回归】1（2022全国统考高考真题）已知函数()f x的定义域为 R，且()()()(),(1)1f xyf xyf x f yf，则221()kf k（）A3 B2 C0 D1 2（2022全国统考高考真题）已知函数(),()f xg x的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x若()yg x的图像关于直线2x 对称，(2)4g，则 221kf k（）A21 B22 C23 D24 3（多选题）（2022全国统考高考真题）已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A(0)0f B102g C(1)(4)ff D(1)(2)gg 4（2022全国统考高考真题）若 1ln1f xabx是奇函数，则a_，b _【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤 取值：设1x，2x是()f x定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；定号：判断差的正负或商与1的大小关系；得出结论（2）函数单调性的判断方法 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结论”进行判断 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间（3）记住几条常用的结论：若()f x是增函数，则()f x为减函数；若()f x是减函数，则()f x为增函数；若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x为增（或减）函数；若()0f x 且()f x为增函数，则函数()f x为增函数，1()f x为减函数；若()0f x 且()f x为减函数，则函数()f x为减函数，1()f x为增函数 2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（2）奇偶函数的图象特征 函数()f x是偶函数函数()f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数函数()f x的图象关于原点中心对称（3）若奇函数()yf x在0 x 处有意义，则有(0)0f；偶函数()yf x必满足()(|)f xfx（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记1()()()2g xf xfx，1()()()2h xf xfx，则()()()f xg xh x（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg xf xg xf xg xf xg x 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶（7）复合函数()yf g x的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇（8）常见奇偶性函数模型 奇函数：函数1()()01xxaf xmxa()或函数1()()1xxaf xma 函数()()xxf xaa 函数2()loglog(1)aaxmmf xxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmf xxmxm 函数2()log(1)af xxx或函数2()log(1)af xxx 注意：关于式，可以写成函数2()(0)1xmf xmxa或函数2()()1xmf xmmRa 偶函数：函数()()xxf xaa 函数()log(1)2mxamxf xa 函数(|)fx类型的一切函数 常数函数 3、周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRf xTf xTf xTf xTf xTf xTTf xf xf xTf xTTf xTf xTTf axf axbaf bxf bxf axf axaf xf axf axbaf bxf bxf a 函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xf axaf xf axf axbaf bxf bxf axf axaf xf axf axaf x 为奇函数为奇函数为偶函数 4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yf x有两条对称轴xa，()xb ab，则函数()f x是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yf x的图象有两个对称中心(,),(,)()a cb c ab，则函数()yf x是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yf x有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yf x是周期函数，且4()Tba 5、对称性技巧（1）若函数()yf x关于直线xa对称，则()()f axf ax（2）若函数()yf x关于点()a b，对称，则()()2f axf axb（3）函数()yf ax与()yf ax关于y轴对称，函数()yf ax与()yf ax 关于原点对称【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例 1（2023 春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 224,1,1,1xaxxf xxx是1,2上的减函数，则a的取值范围是（）A11,2 B,1 C11,2 D,1 例 2（2023全国高三专题练习）设函数 11sin1ee4xxf xxx，则满足 3 26f xfx的x的取值范围是（）A3,B1,C,3 D,1 例 3（2023全国高三专题练习）已知02,1,1bab ab，且满足logbaab，则下列正确的是（）A1ab B1(1)baab C11ababaabb D52ab 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例 4（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x在,3上单调递增，且3f x为偶函数，则不等式 12f xfx的解集为（）A51,3 B5,1,3 C,1 D1,例 5（2023全国高三专题练习）设 f x是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2f xx，不等式 24f xf x的解集为（）A,04,B0,4 C,02,D0,2 例 6（2023全国高三专题练习）已知偶函数 f x的定义域为R，且当0 x 时，11xf xx，则使不等式2122f aa成立的实数a的取值范围是（）A1,3 B3,3 C1,1 D,3 例 7（2023全国高三专题练习）定义在R上的奇函数()f x在(,0上单调递增，且(2)2f ，则不等式1(lg)lg4fxfx的解集为（）A10,100 B1,100 C(0,100)D(100,)例 8（2023 春广西高三期末）f x是定义在 R 上的函数，1122fx为奇函数，则20232022ff（）A1 B12 C12 D1 例 9（2023 春甘肃兰州高三兰化一中校考阶段练习）若函数 f（x）=eesinxxxx，则满足22ln102xf axf恒成立的实数 a 的取值范围为（）A12ln2,2 B1(ln2,)4 C7,)4 D3,)2 核心考点三：已知()f x 奇函数+M【典型例题】例 10（2022重庆一中高三阶段练习）已知 334fxaxb x（a，b 为实数），3lglog 102022f，则lglg3f_ 例 11（2022河南西平县高级中学模拟预测（理）已知函数 2sin414xxfxx，且 5f a，则fa（）A2 B3 C2 D3 例 12（2022福建省福州第一中学高二期末）若对,x yR，有()()()4f xyf xf y，函数2sin()()cos1xg xf xx在区间 2021,2021上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A4 B8 C12 D16 核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例 13（2022全国高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A2 B3 C4 D5 例 14（2021 春高一单元测试）设函数 21228log(1)31f xxx，则不等式212(log)(log)2fxfx的解集为（）A（0，2 B1,22 C2，）D10,22，）例 15（2021 春西藏拉萨高三校考阶段练习）已知函数 11332cos1xxxf x，则0.52310.5log 9log2fff、的大小关系（）A0.5231log 9log0.52fff B0.5321(log)(0.5)(log 9)2fff C0.5321(0.5)(log)(log 9)2fff D0.5231(log 9)(0.5)(log)2fff 核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例 16（2023全国高三专题练习）已知函数 f x是R上的偶函数，且 f x的图象关于点1,0对称，当 0,1x时，22xf x，则 0122022ffff的值为（）A2 B1 C0 D1 例 17（2021 春安徽六安高三校考阶段练习）已知函数 33sincostan1221sin2sinxxxf xxx，函数 1yg x为奇函数，若函数 yf x与 yg x图象共有6个交点为11,x y、22,x y、66,x y，则61iiixy（）A0 B6 C12 D24 例 18（2021 春贵州黔东南高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x 是奇函数，若函数11yx 与()yf x图象的交点分别为11,x y，22,x y，66,x y，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A12 B10 C8 D6 例 19（2022 春湖北恩施高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的奇函数()f x的图象与x轴交点的横坐标分别为1x，2x，3x，2023x，且122023xxxm，则不等式23(2)1xmxm 的解集为（）A1,13 B0,3 C,0 D 例 20（2021 春四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 32sinln1f xxxxxxR，函数 g x满足 20g xgxxR，若函数 1h xf xg x恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A2018 B2019 C2020 D2021 核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例 21（2023全国高三专题练习）已知函数 f x的定义域为R，22fx为偶函数，1f x为奇函数，且当 0,1x时，f xaxb若 41f，则3112ifi（）A12 B0 C12 D1 例 22（2023四川资阳统考模拟预测）已知函数 f x的定义域为 R，2f x为偶函数，20f xfx，当2,1x 时，14xfxaxa（0a 且1a），且 24f 则 131kf k（）A16 B20 C24 D28 例 23（2023山东济宁高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，且当01x时，21f xx 若直线yxa与曲线 yf x恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（）A51,4kk（Zk）B521,24kk（Zk）C52,214kk（Zk）D5,14kk（Zk）例 24（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x满足 2f xf x，且当1,1x 时，2f xx，若函数 log1ag xx图象与 fx的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（）A4,B6,C1,4 D4,6 例 25（2023 春 江西鹰潭 高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，x R，恒有(4)()f xf x，且当 2,0)x 时，()f xx 1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)fffff（）A1 B-1 C0 D2 例 26（2023山东济宁高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，且当01x时，21f xx 若直线yxa与曲线 yf x恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（）A51,4kk（Zk）B521,24kk（Zk）C52,214kk（Zk）D5,14kk（Zk）例 27（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 fx满足 2f xf x，且当1,1x 时，2f xx，若函数 log1ag xx图象与 fx的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（）A4,B6,C1,4 D4,6 例 28（2023 春 江西鹰潭 高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，x R，恒有(4)()f xf x，且当 2,0)x 时，()f xx 1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)fffff（）A1 B-1 C0 D2 核心考点七：类周期函数【典型例题】例 29（2022天津一中高三月考）定义域为R的函数 fx满足 22f xf x，当0,2x时，232,0,11,1,22xxx xf xx，若当4,2x 时，不等式 2142mf xm恒成立，则实数m的取值范围是（）A2,3 B 1,3 C 1,4 D2,4 例 30（2022浙江杭州高级中学高三期中）定义域为R的函数()f x满足(2)3()f xf x，当0,2x时，2()2f xxx，若 4,2x 时，13()()18f xtt恒成立，则实数t的取值范围是（）A,10,3 B,30,3 C1,03,D3,03,例 31（2022 山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R的函数 f x满足 22f xf x，当0,2x时，2213,0,1ln,1,2xxxf xxx x，若当4,2x 时，函数 22f xtt恒成立，则实数t的取值范围为 A30t B31t C20t D01t 核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例 32（2023 广东 高三统考学业考试）已知函数 f x对任意,Rx y，都有 f xyf xf y成立 有以下结论：00f；f x是R上的偶函数；若 22f，则 11f；当0 x 时，恒有 0f x，则函数 f x在R上单调递增 则上述所有正确结论的编号是_ 例 33（2022山东聊城二模）已知 f x为R上的奇函数，22f，若对1x，20,x，当12xx时，都有 1212210fxfxxxxx，则不等式 114xf x的解集为（）A3,1 B 3,11,1 C,11,1 D,31,例34（2022全国模拟预测（理）已知定义在R上的奇函数 f x的图象关于直线1x 对称，且 yf x在 0,1上单调递增，若 3af，12bf，2cf，则a，b，c的大小关系为（）Acba Bbac Cbca Dcab 例 35（2022黑龙江大庆三模（理）已知定义域为 R 的偶函数满足 2fxf x，当01x时，1e1xf x，则方程 11f xx在区间3,5上所有解的和为（）A8 B7 C6 D5【典型例题】例 36（2023上海高三专题练习）已知函数()f x是定义在R上的偶函数，在0,)上是增函数，且 22241f xaxbfxx恒成立，则不等式sin0abxbx的解集为_ 例 37（2023 春山东济南高三统考期中）已知 f x是定义域为 R 的奇函数，21f x为奇函数，则161()if i_ 例 38（2023 春重庆璧山高三校联考阶段练习）设 a0，b0，若关于 x 的方程|xaxab恰有三个不同的实数解 x1，x2，x3，且 x1x2x3b，则 a+b 的值为_ 例 39（2023 全国 高三专题练习）已知 yf x是R上的偶函数，对于任意的xR，均有 2f xfx，当 0,1x时，21fxx，则函数 2022log1g xf xx的所有零点之和为_；【新题速递】一、单选题 1（2023 春江西高三校联考阶段练习）己知函数 sinf xx，0g xkx k，若 f x与 g x图像的公共点个数为 n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，nx，则下列说法正确的有（）个 若1n，则1k 若3n，则33321sin2xxx 若4n，则1423xxxx 若22023k，则2024n A1 B2 C3 D4 2（2023青海海东统考一模）已知函数 12xxf xaa(0a，且1)a，则下列结论正确的是（）A当1a 时，f x在,0上是增函数 B当01a时，f x在0,上是增函数 C f x的单调性与a有关 D若不等式 92f x 的解集是1,1，则2a 3（2023青海海东统考一模）已知定义在R上的函数 f x的导函数为 fx，若 exfx，且 22e2f，则不等式ln2fxx的解集是（）A20,e B0,2 C2,e D,2 4（2023 春重庆高三统考阶段练习）已知函数2()ln11f xxx，正实数 a，b 满足(2)(4)2faf b，则242baaabb的最小值为（）A1 B2 C4 D658 5（2023 春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数,a b满足 2411log22log22abab，则（）A2ab B2ab C2ab D2ab 6（2023 春江西高三校联考阶段练习）已知 f（x），g（x）分别为定义域为 R 的偶函数和奇函数，且()()exf xg x，若关于 x 的不等式22()()0f xagx在（0，ln 2）上恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A40,9 B40,9 C40,9 D40,09 7（2023 春江苏南京高三统考阶段练习）设*nN，函数 f x是定义在 R 上的奇函数，且22110fxfx，f x在 0,1单调递增，11f，则（）A 11f B 40nf C211fn D211nf 8（2023 春辽宁高三校联考期中）已知偶函数 f x在区间(,0上单调递减，则满足1(21)3fxf的x 的取值范围是（）A1 2,3 3 B1 2,3 3 C1 2,2 3 D1 2,2 3 二、多选题 9（2023 春福建宁德高三校考阶段练习）已知函数(),()f xg x的定义域为 R，()g x为()g x的导函数，且()()100f xg x，()(4)100f xgx，若()g x为偶函数，则下列一定成立的有（）A(1)(3)20ff B(4)20f C(1)(3)ff D(2022)10f 10（2023 春广东广州高三统考阶段练习）已知函数 f x、g x的定义域均为R，f x为偶函数，且 21f xgx，43g xf x，下列说法正确的有（）A函数 g x的图象关于1x 对称 B函数 f x的图象关于1,1 对称 C函数 f x是以4为周期的周期函数 D函数 g x是以6为周期的周期函数 11（2023全国高三专题练习）已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，若2fx，522fx均为奇函数，则（）A 20f B 10ff C 32ff D 20221ff 12（2023全国高三专题练习）已知函数 f x为R上的奇函数，1g xf x为偶函数，下列说法正确 的有（）A f x图象关于(10)，对称 B20230g C g x的最小正周期为 4 D对任意Rx都有11fxfx 13（2023全国高三专题练习）已知 f x为偶函数，且1f x为奇函数，若 00f，则（）A 30f B 35ff C31f xf x D211f xf x 三、填空题 14（2023 春江苏南京高三统考阶段练习）已知函数 1ln1xf xx，则满足 ln30f x 的 x 的取值范围是_ 15（2023全国高三专题练习）已知定义域为R的函数 f x存在导函数 fx，且满足 ,4fxf xfxfx，则曲线 yf x在点2022,2022f处的切线方程可以是_（写出一个即可）16（2023全国高三专题练习）定义在 R 上的奇函数()f x满足 2f xf x，且 f x在10，上是增函数，给出下列几个命题：f x是周期函数；f x的图象关于直线1x 对称；f x在1,2上是减函数；(2)(0)ff 其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）17（2023全国高三专题练习）已知函数 32394f xxxx，若 7,15f af b，则ab_ 18（2023全国高三专题练习）函数26()lg1e1xf xxx 的极大值为M，极小值为N，则MN_ 19（2023全国高三专题练习）设 f x的定义域为R，且满足 11,2fxfxf xfx，若 13f，则 1232022202320282030fffffff_ 20（2023全国高三专题练习）已知函数 f x的定义域为 R，且 f x为奇函数，其图象关于直线2x 对称当0,4x时，24f xxx，则2022f_