北师大版八年级上册第二章实数导学案20472.pdf

第 5 页 2.1 认识无理数 学习目标、重点、难点【学习目标】1、能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由 2、借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动 中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力【重点难点】1、无理数概念的探索过程 2、用计算器进行无理数的估算 3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断 知识概览图 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数 估计无理数的范围 新课导引 【问题链接】我们知道中国象棋历史悠长，它不仅是一些专业人士的体育运动项目，也是老百姓茶余饭后、街头巷尾的一种娱乐活动，尤其是老年人的一项必不可少的休闲活动。我们知道中国象棋是马走日，象走田，那么我们观察棋盘(如右图所示)，若每个小正方形的边长为 1，那么士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少?它们走过的距离是整数吗?是分数吗?是有理数吗?【点拨】士走一步的距离是2，马走一步的距离是5，象走一步的距离是 22它们走过的距离既不是整数，也不是分数，当然不是有理数 教材精华 知识点 1 体验现实生活中确实存在不是有理数的数 实际问题无理数 第 5 页 例如，圆的面积公式 SR2中，不能表示成有理数的形式，它是一个无限不循环小数我国南北朝时期的祖冲之得到 3141592631415927，日本数学家利用计算机算得的近似值竟精确到 2061 亿多位，可见，的小数点后面的数字无限不循环 又如，在等式 x2a(a0)中，数 x 确实存在，它既可以是有理数(有限小数和无限循环小数)，也可以是一个无限不循环小数当 a9 时，x3；当 a5 时，|x|是介于 223606223607之间的无限不循环小数 知识点 2 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数 无理数的特征 无理数的小数部分位数无限 无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 小数的分类 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数无理数 知识点 3 确定 x2=a(ao)中的正数 x 的近似值的方法 确定正数 x 的整数部分 根据平方的定义，把 x 夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分例如：求 x25 中的正数 x 的整数部分，22532，即 22x233，2x3，因此 x 的整数部分为 2 确定 x 的小数部分十分位上的数字 将这两个整数平方和的平均数与 a 比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数 2 和 3的平方和的平均数为：22232655，x 的十分位上的数字一定比 3 小，不妨设 x22 设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，则x2 2+k，(2 2+k)25，4 84+4 4k+k25，k 是小数，k2很小，把它舍去，4 84+4 4k5，k0 036，x2 2+k2 2+0 0362236 拓展 实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即 212441，222484，232529，4845529，222x2232，22x23，十分位上的数字为2 小数 有理数 第 5 页 规律方法小结 逐次逼近的极限思想：在实际估算时，通常采用试验的方法逐次逼近进行估算 课堂检测 基本概念题 1、下列说法：有限小数和无限循环小数都是有理数；分数是有理数；无限小数是无理数；5是分数其中正确的有 ()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2、下列各数中，无理数有 ()4，3，0，2121021002100021(小数点后 1 和 2 之间 0 的个数逐次加1)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 基础知识应用题 3、若正三角形的边长为4，高为 h，则 h 是介于正整数 和 之间的无理数 综合应用题 4、若 a，b 都是无理数，且 a+b2，则 a，b 的值可以是 .(填上一组满足条件的值即可)探索创新题 5、利用方程的知识把 023化为分数的形式 体验中考 1、估算 27-2 的值 ()A在 1 到 2 之间 B在 2 到 3 之间 C在 3 到 4 之间 D在 4 到 5 之间 第 5 页 2、实数-2，0.3，17，2，-中，无理数的个数是 ()A2 B3 C4 D5 学后反思 附：课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析 有理数包括有限小数和无限循环小数，因此正确；有理数都可以用分数来表示，反之，凡是能表示成分数的数都一定是有理数，因此正确；无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两大类，因此不正确；5看似分数，实质是无理数，因此不正确故选 B 2、分析 因为 4是循环小数，0 是整数，所以 4和 0 是有理数因为是无理数，所以3是无理数因为 2121021002100021是无限不循环小数，所以它是无理数故选 B 3、分析 正三角形的边长为 4，内角为 60，运用直角三角形中含 30角的性质及勾股定理，得 h212，321242，32h242，h 介于 3 和 4 之间 答案：3 4 4、分析 此题较开放，答案也不唯一，只要两个无理数相加，和为 2 即可可填-1，3-5、分析 因为 0.23是无限循环小数，也是有理数，所以要把它化为分数的形式，就要想办法把它的循环节去掉，因为 0231002323，小数部分也为 023，两式相减，就可以把小数部分的循环节去掉了 解：设 x0.，则 l00 x1000.23.，100 x-x=23-0.，99x=23，x=【解题策略】利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数 第 5 页 体验中考 1、分析 522762，5 6，3-24故选 C 2、分析 由无理数的概念可知，-为无理数故选 A 2.2 平方根 学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解平方根的概念、开平方的概念 2、明确算术平方根与平方根的区别与联系 3、进一步明确平方与开方是互为逆运算【重点难点】1、平方根的概念、性质、运算 2、平方根与算术平方根的区别和联系 知识概览图 概念：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(也叫做二次方根)性质 概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“”，读作“根号 a”性质 新课导引【问题链接】某农场有一块长 30 米、宽 20 米的长方形场地，现要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，这样的正方形鱼池能否建成?若能建成，鱼池的边长为多少米?【点拨】要判断鱼池能否建成，就要看鱼池的边长与场地的宽的大小关系因此需要先求出平方根 算术平方根 第 5 页 符合题意的鱼池的边长再进行比较，在解答这种能否建成(或是否存在等)的问题时，我们可先假设能建成，在此假设之下求出所需的数据，再看求得的数据是否符合题意若符合，则说明能建成，反之则不能假设鱼池能建成，且边长为 x 米，根据题意，得 x2 3020 x2300，x 1732因为鱼池的边长为正数，所以只取 x1732因为 173220，所以鱼池能建成，且边长约为 1732 米 教材精华 知识点 1 算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“”，读作“根号 a”特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即 0 拓展 算术千方根有如下性质：(1)一个正数 a 有一个算术平方根，就是 (2)0 有一个算术平方根，就是 0(3)负数没有算术平方根(4)只要有意义，就表示一个非负数，即 o(5)中的 a 是一个非负数，即 a0 知识点 2 平方根 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(也叫做二次方根)拓展 平方根的性质：(1)一个正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根“”，另一个是“-”，它们互为相反数，合起来记作“”，读作“正、负根号 a”例如：5 的平方根是 (2)0 的平方根是 0(3)负数没有平方根 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方 知识点 3 平方根与算术平方根的区别与联系 (1)区别 定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数 a 的平方根表示为，正数 a 的算术平方根表示为；取 第 5 页 值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负 (2)联系 具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；o 的平方根与算术平方根都是 0 拓展 必须明确，当 a0 时,-，的区别，表示一个非负数的算术平方根，-表示一个非负数算术平方根的相反数，表示一个非负数的平方根 知识点 4 两个重要公式(1)|a|，即当 a0 时，a，当 a0 时，-a(2)()2=a(a0)拓展 两个重要公式的区别：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中 a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是 0而公式(2)中 a 的取值是非负数 (2)运算顺序不同，公式(1)是 a 先平方再开平方，而公式(2)中是 a 先开平方再平方 课堂检测 基本概念题 1、判断下列说法是否正确(对的打“”，错的打“”)(1)5 是(-5)2的算术平方根 ()(2)4 是 2 的算术平方根 ()(3)6 是 的算术平方根 ()(4)49 的平方根是 7 ()(5)的平方根是3 ()(6)平方根等于本身的数是 0 和 1 ()基础知识应用题 2、求下列各数的平方根与算术平方根 (1)；(2)104；(3)|-169|；(4)(3-)2 第 5 页 3、求下列各式中的 x.(1)x2225；(2)9(x2+1)10；(3)25(x+2)2-360 综合应用题 4、已知 y=+2x，求 xy的值 5、已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a，b 满足+b2-6b+90，求 c 的取值范围 6、为了美化校园，学校购进 200 盆(盆的规格、大小一样，盆为正方形)鲜花，并决定将其摆放成一个长度为宽度的 2 倍的矩形，且相邻盆间无空隙，则应该摆放成多少行、多少列(行数大于列数)?第 5 页 探索创新题 7、求使等式 x 0 成立的 x 的值王强同学的解答过程如下：解：要使 x 0，则 x0，或 0，即 x0，或 x1 当 x0，或 x1 时，原式成立 该同学的解答过程是否正确?如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的过程 体验中考 1、|a-2|+(c-4)20，则 a-b+c 2、已知一个正数的平方根是 3x-2 和 5x+6，则这个数是 .学后反思 附：课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析 此题要用算术平方根、平方根的定义及性质去判断，注意区别以下三句舌：(1)a的算术平方根；(2)(a0)的算术平方根；(3)a2的算术平方根 答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、分析 前三个是以不同形式告诉的几个数，必须先化简，如(1)中 4，(2)中 104=10000，(3)中|-169|169，然后再求它们的平方根，(4)题中特别注意判断与 3 的大小 第 5 页 解：(1)4，的平方根是2，算术平方根是 2.(2)10410000，104的平方根为100，算术平方根为 100 (3)|-169|169，|-169|的平方根为13，算术平方根为 13 (4)3，-30 (3-)2的平方根为(3-)，算术平方根为-3【解题策略】出现求类似(3-)2形式的数的算术平方根时，注意判断括号内数的正负求一个式子的平方根与算术平方根时，应先求出这个式子的值，然后再求这个值的平方根或算术平方根 3、分析 要求出各题中的 x，其实就是求一个数的平方根的问题，注意(2)(3)中需先把等式化成 x2a 的形式 解：(1)(15)2225，x15 (2)9(x2+1)=10，x2+1=,x2=.又()2=，x=.(3)25(x+2)2-360，25(x+2)236，(x+2)2 又()2，x+2.当 x+2=时，x=-；当 x+2=-时，x=-.【解题策略】在第(3)小题中，由(x+2)2 得到的是 x+2，不要误认为是 x 4、分析 要想求出 x，y 的值，可考虑由已知出发，因为，有意义，所以 x-20，且 2-x0，得出 x 的值后，代入原式即可求出 y 的值 解：，有意义，x-20，2-x0，x2，且 x2，x=2，y4，xy=2416 5、分析 本题考查的是非负数的性质、算术平方根的意义及三角形三边关系定理 解：+b2-6b+90，+(b-3)20 又 0，(b-3)20，0，(b-3)20，a2，b3，c 的取值范围是 1c5 规律方法 若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零 第 5 页 6、分析 要读懂题意，把实际问题转化成数学问题“相邻盆间无空隙”且“花盆大小一样”，可见横、竖所放花盆个数关系即为长度与宽度的关系 解：设摆放成 x 行、y 列，则 x2y 总数为 200 盆，且各盆规格一样，相邻盆间无空隙，xy2yy2y2200，即 y2100，y10 又x0，y0,y=10,x=2y=20.即应摆放成 20 行、10 列.【解题策略】解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，解方程过程中，要把二次方程用求平方根的方法来解决，所得解要符合题意 7、分析 此题中的 x 的取值必须同时符合两个条件：一是 x 和 中的某一个为零，二是使 x和 都有意义显然x1 符合这两个条件，当x0 时，没有意义 解：该同学的解答过程不正确，错误的原因是忽略了“负数没有算术平方根”要使 x 0 成立，则 x0，或 0，即 x0，或 x1，但当 x0 时，无意义，使 x 0 成立的 x 的值为 1 【解题策略】具有双重非负性：被开方数 a 是非负数，即 a0；本身是非负数，即 0 体验中考 1、分析 几个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0，所以|a-2|0，=0，(c-4)20，解得 a2，b3，c4，所以 a-b+c3故填 3 2、分析 正数有两个平方根，它们互为相反数，2-3x5x+6，解得 x-，3x-2-，(-)2 故填 【解题策略】根据平方根的性质，挖掘出题目中的隐含条件：3x-2 与 5x+6 互为相反数，是解决本题的关键 第 5 页 2.3 立方根 学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根 2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算 3、了解立方根的性质 4、区分立方根与平方根的不同【重点难点】1、正确理解立方根的概念 2、会求一个数的立方根 3、区分立方根与平方根的不同之处 知识概览图 定义：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 表示方法：读作：三次根号 a 性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0 开立方的定义：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方 平方根与立方根的区别与联系 新课导引 【生活链接】传说很久很久以前，在古希腊的某个地方发生了大旱，地里的庄稼都旱死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的 2 倍，可是神更加恼怒地说：“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的 2 倍，我要进一步惩罚你们!”【问题探究】(1)新祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍?(2)要做一个体积是原来祭坛体积 2 倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍?【点拨】(1)新祭坛的体积是原祭坛体积的 8 倍(2)它的边长应是原来的 倍 立方根 第 5 页 教材精华 知识点 1 立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根)拓展 (1)每个数 a 都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”(2)立方根的性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数 知识点 2 两个重要公式(1)，如.(2)=a，如()3=8 知识点 3 平方根与立方根的区别与联系 (1)区别：在用根号表示平方根时，根指数 2 可以省略，而用根号表示立方根时，根指数 3不能省略；平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如：-8没有平方根，但有立方根-2；正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如：2 的平方根是，而立方根是 (2)联系：开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算；都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即；0 的平方根和立方根都是0 规律方法小结 类比思想的运用：在两个或两类不同对象之间，或者在事物与事物之间，对它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测，推断出它们在其他方面也可能相似，从而进行猜想和发现真理 课堂检测 基本概念题 1、83的立方根是 ，8 的立方根是 ，的立方根是 .基础知识应用题 2、求下列各式中 x 的值(1)(2x-3)3=36；(2)(5x-2)3=-125 3、计算(1)-;(2)第 5 页 综合应用题 4、已知 x-2 的平方根是2，2x+y+7 的立方根是 3，求 x2+y2的平方根 5、用铁皮焊制一密封的正方体水箱，使其容积为 1.728 米3，则至少需要多大面积的铁皮?探索创新题 6、如果 xna(n 为大于 1 的整数)，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 例如：3481，(-3)481，则 3 和-3 都是 81 的 4 次方根，即 81 的 4 次方根有两个，分别是 3和-3；又如：2532，(-2)532，所以 32 的 5 次方根只有一个，是 2(1)求-32 的 5 次方根；求 625 的 4 次方根；(2)0 的 n 次方根是多少(n 为大于 0 的整数)?负数有没有偶次方根(即 n 为偶数时的方根)?第 5 页 体验中考 1、下列运算正确的是 ()A 3 B(-3.14)01 C()-1-2 D 3 2、一个正方体的水晶砖体积为 100 cm3，它的棱长大约在 ()A4 cm5 cm 之间 B5 cm6 cm 之间 C6 cm7 cm 之间 D7 cm8 cm 之间 学后反思 附：课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析 此题要运用立方根的定义求解，并且要注意先把原数化简 答案:8 2 2、解：(1)(2x-3)3=216，2x-3=6，x.(2)(5x-2)3-125，5x-2-5，x-.【解题策略】(1)解形如(ax+b)3c 的方程时，通常视 ax+b 为一个整体，先开立方求 ax+b，再进一步求出 x，且 x 的值只有一个 (2)要记住 10 以内正整数的立方，例如：73343，83512，93729，这将给计算带来极大方便 3、分析 利用平方与开平方、立方与开立方的互逆关系求出相应的算术平方根、立方根 解：(1)-=-(2)=3-8=3-4=-1【解题策略】注意运算顺序 4、分析 由平方根、立方根的定义求出 x 和 y 的值 解：x-2 的平方根是2，2x+y+7 的立方根是 3，x-2(2)24，2x+y+73327 x6，y8，x2+y262+82100 第 5 页 x2+y2的平方根为10，即 10 【解题策略】x2+y2的平方根有两个，书写时要有正负号 5、分析 本题考查的是正方体的体积公式及开立方运算，在运算过程中，要注意水箱是由6块正方形铁皮围成的 解：设水箱的棱长为 x 米，由题意得 x31.728，x 1.2，所需铁皮的面积至少为 1226864(米2)答：所需铁皮的面积至少为 8.64 米2【解题策略】注意把实际问题转化为数学问题，把棱长与体积之间的关系转化为立方根与被开方数之间的关系 6、解：(1)因为(-2)5-32，所以-32 的 5 次方根是-2 因为 54625，(-5)4625，所以 625 的 4 次方根是5 (2)因为 0no，所以 0 的 n 次方根是 0(n 为大于 0 的整数)因为没有一个数的偶次方是负数，所以负数没有偶次方根【解题策略】本题实际上是平方根和立方根的推广，偶次方根的概念与性质和平方根类似，奇次方根的概念与性质和立方根类似 在平方根和立方根的基础上，可以求出非负数的偶次方根以及任何数的奇次方根 体验中考 1、分析 此题考查乘方与开方的简单运算，注意立方根与算术平方根的性质，与314 的不同及负指数的意义故选B 2、分析 由 V正方体棱长3知棱长，即棱长.，4 5故选 A.【解题策略】本题是立方根的知识在实际问题中的应用 2.4 估算 学习目标、重点、难点 第 5 页 【学习目标】1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小 2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感【重点难点】1、掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性 2、掌握估算方法，形成估算的意识 知识概览图 估算比较两个数的大小应用 新课导引【问题链接】某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2 倍，它的面积为400000 米2，如右图所示 (1)公园的宽有100 米吗?(2)如果要求误差小于 10 米，它的宽在什么范围内?【点拨】由题意可知 2xx400000，即 x2200000，欲知公园宽大约是多少，就要估计 x的大小193600200000202500，即 4402x24502，又 x0，则 440 x450.(1)公园的宽有100 米(2)如果要求误差小于 10 米，它的宽在 440 米450 米之间 教材精华 知识点 1 确定无理数近似值的方法(估算法)(1)当被开方数在 11000 以内时，可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后再根据所要求的误差大小确定小数部分例如：估算 的值(误差小于 1)，192385202，19 20，的整数部分是 19，由于误差小于 l，则 的估算值是 19 或 20，即 约等于 19 或20，若要确定十分位上的数字，则可以采用试验的方法，即 19.1236481，192236864，195238025，196238416，197238809，于是 19623851972，所以 196 197 (2)当被开方数是正的纯小数或比 1000 大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数在 11000 以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动 2n 位，其结果的小数点向左(或向右)移动 n 位；立方根中的被开方数的小数点向 第 5 页 左(或向右)每移动 3n 位，其结果的小数点向左(或向右)移动 n 位例如：要确定 的整数部分，1111，把 中的被开方数的小数点向右移动 4 位，得，其算术平方根 1111 的小数点相应地向右移动 2 位，得 1111，的整数部分是 111 探究交流 你知道 有多大吗?它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢?让我们一起来找找看吧!点拨 由于 22532，因此可以肯定 2 3，也就是 的位置应该在 2 与 3 之间.能不能再精确一点呢?再尝试一下，你会发现 22252.32，那么 的位置就在 22 与 23 之间了按照这个方法，继续试下去，有 223252242，223 224，22362522372，2236 2237 你看，我们离 来越近了，依据这样的想法，我们确定可以在数轴上找到那么一点，它所代表的数值就是 规律方法小结 极限思想：在确定无理数的近似值时，采用的试验法中透着逐次逼近的极限思想 知识点 2 无理数大小比较的常用方法 (1)估算法例如：比较 与 的大小，3 4，0-31，.(2)作差法若-0，则 ；若-0，则 例如上题也可以这样解：-=0，.(3)平方法把含有根号的两无理数同时平方，根据平方后的数的大小进行比较，例如比较 2 和 3 的大小(2)224，(3)227，2 3 (4)移动因式法当 a0，b0 时，若 ab，则 ，因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小 另外还有倒数法、作商法 比较两个无理数的大小，要根据它们的特点灵活选用上述方法 例如：比较 和 的大小 因为分子都是，所以只需比较分母的大小，因为 32，所以 .也就是说，分子相同，分母大的这个数反而小 课堂检测 基础知识应用题 第 5 页 1、写出所有适合下列条件的整数 (1)大于-且小于 的所有整数；(2)小于 的所有正整数；(3)大于-的所有负整数；(4)绝对值小于 的所有整数 2、通过估算比较下列各组数的大小 (1)与 15；(2)与 21 综合应用题 3、估算下列各数的大小 (1)；(误差小于 01)(2).(误差小于 1)第 5 页 4、一个水池容积是 605m3，是长方体形状，池底为正方形，池深 080m，求池底边长(精确到 001 m，有 2750 和 870 可选择，不用计算器开方)探索创新题 5、先阅读理解，再回答问题 因为 ，且 1 2，所以 的整数部分是 1 因为 ，且 2 3，所以 的整数部分是 2 因为=，且 3 4，所以 的整数部分是 3 以此类推，我们会发现(n 为正整数)的整数部分是多少?并说明理由 体验中考 1、下列判断正确的是 ()A 2 B2+3 C1-2 D4 5 2、请写出一个比 小的整数 学后反思 第 5 页 附：课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析 解此类题的关键是找出满足条件的最大数和最小数，然后就可将所有满足条件的数写出来 解：(1)4 5，-5-4 又3 4，满足大于-且小于 的最大整数是 3，最小整数是-4 故它们是-4，-3，-2，-1，0，1，2，3 (2)6 7，小于 的所有正整数中最大的是 6，最小的是 1 故它们是 1，2，3，4，5，6 (3)-5-4，大于-的所有负整数中最大的为-1，最小的为-4 故它们是-4，-3，-2，-1(4)-5-4，4 5，绝对值小于 的所有整数中最大的为 4，最小的为-4 故它们是-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 【解题策略】两个负数进行比较，绝对值大的反而小 2、分析 (1)先估算 的大小，再比较 与 2 的大小，从而进一步比较 与 1.5 的大小(2)先估算 的大小，或将 21 立方，比较 26 与 213的大小 解：(1)64，2，即 1.5 (2)2627，即 3，但接近于 3，21 3、分析 先看估算的是平方根，还是立方根，再确定估算的整数部分，然后再按误差的大小确定小数部分 解：(1)158 接近于 16，的估算值是 39 或 4 (2)93900103，9 10，的估算值是 9 或 10【解题策略】熟记 110 这几个自然数的立方，使估算更快捷.4、分析 本题关键是探索被开方数小数点与其算术平方根的十数点的位置关系：被开方数小数点每移动两位，其算术平方根小数点相应地移动一位 解：设池底边长为 x m，由题意得 x20.806.05，第 5 页 整理，得 x2 7563x0，x.又 2750，x=275 答：池底边长约为 275 m 5、分析 本题是一个探索性问题，关键要仔细观察，发现规律，这类题目是近几年中考热点题型 解：的整数部分是n理由如下：因为 n2+nn(n+1)，而 n2n(n+1)0）.例如：=2 知识点 7 最简无理数 最简无理数必须同时满足下列条件：被开方数的因数是整数；被开方数中不含能开得尽方的因数；分母中不含根号 常利用 (a0，b0)，(a0，b0)化简无理数 知识拓展 无理数的计算结果必须是最简无理数，如 2，=.知识点 8 实数中的非负数的形式及性质(1)形式：|a|0；a20；0(a0)(2)性质：非负数有最小值零；有限个非负数之和仍然是非负数；若几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于0 例如：若+|b+2|+(c-3)20，则 a1，b-2，c3 知识点 9 实数中的无理数的常见类型(1)所有开不尽的方根，如.(2)圆周率及含有的数，如 3-1 (3)看似循环，但实质上不循环的无限小数，如 0.12345678910111213，01010010001 拓展 带根号的数不一定是无理数，如 是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如等 课堂检测 基本概念题 1、把下列各数填人相应的集合内.0，-，-4，0.，-1.2345 (1)有理数集合：)；(2)无理数集合:；(3)正实数集合：；(4)负实数集合：2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值 第 5 页 (1)；(2)-；(3)基础知识应用题 3、比较下列各对实数的大小 (1)-和-3.1；(2)和 314；(3)2 和 3 4、化简(1)2-4+3；(2)(2-3)(2+3)；(3)(-3）2；(4)2 5 综合应用题 5、已知 s，t 为实数，且(4s-1)2+|t+2|0，则实数 s3-的倒数的相反数是多少?6、设 x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x2+2y-y=17+4，求 x-y 的值 第 5 页 探索创新题 7、计算，你能从中找出计算的规律吗?如果将根号内的 2 换成 10，那么这种规律是否仍然成立?体验中考 1、如图 2-7 所示，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是 ()Aa+b0 Bab0 Ca-b0 D|a|-|b|0 2、估计 +的运算结果应在 ()A1 到 2 之间 B2 到 3 之间 C3 到 4 之间 D4 到 5 之间 3、计算()-1-20090+|-2|-学后反思 附：课堂检测及体验中考答案 第 5 页 课堂检测 1、分析 由定义先找出无理数，填入无理数集合，其余是有理数再按正、负分类，填入相应的集合，注意 0 既不是正数，也不是负数 解：（1）0，-4，0.，（2）.（3）.（4）.【解题策略】归类法：把事物按某些特性进行归类进行归类时要注意以下几点：(1)不重复，即同一事物不能归到两个类别中 (2)不遗漏，即某一事物在各类别中不能都找不到，如实数包括正实数、负实数，这种分类就把 0 给漏掉了 (3)非对等级别的事物不能并列在一起，如实数分为整数、分数、无理数，整数和分数与无理数不是同一对等级别上的数，所以不能这样分类 2、分析 本题主要考查相反数、倒数和绝对值的意义 解：(1)的相反数是-，倒数是 ，绝对值是.(2)-的相反数是，倒数是-=-，绝对值是.(3)的相反数是-，倒数是，绝对值是 3、分析 按实数大小的比较法则进行比较，同时也要采取一些技巧 解：(1)31296110，|-|-3.1|，-3.1 (2)在数轴上表示的点在表示 314 的点的右边，3.14 (3)2 ，3 ，且 1218，2 3 【解题策略】比较两个实数的大小，可以直接利用法则，也可以利用平方法、移动因式法、作商法、作差法等，至于选用哪种方法，取决于这两个数的特征 4、分析 运用运算法则进行化简即可，但要注意书写步骤 解：(1)原式=2-4+3=4-+12=.(2)原式=(2)2-(3)2=12-18=-6 (3)原式=()2-2 3+(3)26-6+2733-18.(4)原式=2 =4 =.规律方法 实数的运算可以运用公式，可在多种途径中选择较为简便的方法计算 5、解：因为 s，t 为实数，(4s-1)2+|t+2|0，且(4s-1)20，|t+2|0，第 5 页 所以 4s-10，t+20，所以 s，t-2，所以 s3-=()3-=所以 s3-的倒数的相反数为-【解题策略】任意实数的平方是非负数，任意实数的绝对值是非负数若几个非负数的和为零，则这几个非负数分别等于零由此可求得s，t 的值 6、解：因为 x，y 是有理数，由题意，得 所以 解得 或 所以 x-y=9 或 x-y-1 【解题策略】本题好像由一个等式不能求出两个未知数 x，y 的值，但实际上运用实数运算规律可求解因为 x，y 都是有理数，它的加、减、乘、除、乘方运、算结果仍然是有理数，有理数与无理数的乘除的结果是无理数，而无理数的加、减、乘、除、乘方运算的结果不一声是无理数(如-0)，所以等式左边的有理数与右边的有理数一定相等，左边的无理数与右边的无理数一定相等由此可得关于 x，y 的方程组，求解即可求得 x，y 的值，进而求得 x-y 的值 7、分析 通过观察发现，这几个数的被开方数都是幂的形式，底数都是 2，变化的是幂的指数和根指数，因此应从变化中寻找规律 解：通过以上计算可以看出，计算的规律是：被开方数的幂指数与根指数的比值为所得 结果的幂指数(底数是被开方数的底数)如果将 2 换成 10，这种规律仍然成立 体验中考 1、分析 由图可知 0al，b-1，从而可知 C 正确故选 C.2、分析 应先把原式化简后再估算范围，2+1 2，32+4故选 C 3、解：()-1-20090+|-2|-=6-1+2-2 5 规律方法 实数的混合运算，要先通览全题，再选择适当的方法及运算律运算-第 5 页