考研线性代数知识点全面总结8042.pdf
线性代数复习提纲 第一章、行列式 1行列式的定义：用2n个元素ija组成的记号称为 n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有 n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算 一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N 阶（n3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；行列式值为 0 的几种情况：行列式某行（列）元素全为 0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。n 阶行列式也可定义：nqqqnaaa21t211-D）（，t 为nqqq21的逆序数 4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式 0。3、行列式某行（列）乘数 k,等于 k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为 0.5.克拉默法则：若线性方程组的系数行列式0D，则方程有且仅有唯一解DDDDxDDnn2211x,x，。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式 D=0.：若齐次线性方程组的系数行列式0D，则其没有非零解。：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 D=0。6.112nrr rnrrrr ，11(1)221nrn nr rnrrrr ()nababadbccdcd,1232222123111111231111()nnijn ijnnnnnxxxxxxxxxxxxxx ，（两式要会计算）题型：Page21（例 13）第二章、矩阵 1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若 ABBA，称 A、B 是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若 A、B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=nk*|A|。只有方阵才有幂运算。（3）转置：（kA）T=kAT，ABABT（4）方阵的行列式：AAT，AkkAn，BAAB （5）伴随矩阵：EAAAAA*，）（EAA*，*A的行元素是 A 的列元素的代数余子式（6）共轭矩阵：）（ija，A+B=A+B，AkkA，BAAB （7）矩阵分块法：srsrssrrBABABABA11111111BA，Tsrr11sT11TAAAAATT 3对称阵：方阵AAT。对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。3矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：X 德蒙德行列矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。（3）0R(nmA)minm,n；ARART；若BA，则 R(A)=R(B)；若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A);maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B)；若 AB=C，R(C)minR(A),R(B)4逆矩阵 （1）定义：A、B 为 n 阶方阵，若 ABBAI，称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：111ABAB，AA1-1-；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：|A|0；r(A)=n;A-I;（4）逆的求解：1 伴随矩阵法A*1-AA；初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I:1A）（5）方阵 A 可逆的充要条件有：1 存在有限个初等矩阵1P，lP，使lPPPA21 2EA 第三章、初等变换与线性方程组 1、初等变换：1 ，2 ，3 性质：初等变换可逆。等价：若 A 经初等变换成 B，则与等价，记作BA，等价关系具有反身性、对称性、传递性。初等矩阵：由单位阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。定理：对nmA施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；对nmA施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵。等价的充要条件：1 R(A)=R(B)=R(A,B)2nm 的矩阵、等价存在 m 阶可逆矩阵 P、n 阶可逆矩阵 Q，使得 PAQ=B。线性方程组解的判定 定理：(1)r(A,b)r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0，(1)r(A)=n 只有零解；(2)r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|0 只有零解；(2)|A|=0 有非零解 2齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n只有零解；r(A)n有无穷多组非零解。（2）解的结构：rnrnacacacX2211。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。（4）性质：1 若1x和2x是向量方程 A*x=0 的解，则21x、1kx 也是该方程的解。2 齐次线性方程组的解集的最大无关组是该齐次线性方程组的基础解系。3 若rAnm)(R，则 n 元齐次线性方程组 A*x=0 的解集 S 的秩r nRS。3非齐次线性方程组（1）解的情况：1 有解 R(A)=R(A,b)。2 唯一解 R(A)=R(A,b)=n。3 无限解 R(A)=R(A,b)n。（2）解的结构：X=u+rnrnacacac2211。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。（5）1 若1x、2x都是方程bAx 的解，则21x是对应齐次方程0Ax的解 2x是方程bAx 的解，x是0Ax的解，则x也是bAx 的解。第四章、向量组的线性相关性 1N 维向量的定义(注：向量实际上就是特殊的矩阵行矩阵和列矩阵；默认向量 a 为列向量)。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长 22221anaaaaa （4）向量单位化(1/|)；3线性组合（1）定义：若mmaaa2211b，则称 b 是向量组1a，2a，na的一个线性组合，或称 b 可以用向量组1a，2a，na的线性表示。（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记 A(1a，2a，na)1 B=(1a，2a，na，)，则：r(A)=r(B)b 可以用向量组1a，2a，na线性表示。2 B=(1b，2b，mb)，则：B 能由 A 线性表示R(A)=R(A,B)AX=B 有解R(B)R(A).（3）求线性表示表达式的方法：矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。注：求线性表示的系数既是求解 Ax=b 4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义 设 02211nnakakak，若 k1,k2,kn 不全为 0，称线性相关；若全为 0，称线性无关。（2）判别方法：r(1，2，n)0，则称 f 为正定二次型，称对称阵 A 是正定的。（3）正定的充要条件：A 的所有特征值都是正数，即标准型系数全为正，即正惯性指数为 n。A 的所有顺序主子式都大于 0；
