高中数学选修4-4模块训练题17121.pdf
1/10 高中数学选修 4-4 模块训练题 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分)1若直线l的参数方程为 x13t，y24t(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()A45B35C.35D.45 2.椭圆x29y241 的点到直线x2y40 的距离的最小值为()A.55 B.5 C.6 55 D0 3.在极坐标系中，点A的极坐标是(1，)，点P是曲线C：2sin 上的动点，则|PA|的最小值是()A0 B.2 C.21 D.21 4直线 xsin tsin 15，ycos tsin 75(t为参数，是常数)的倾斜角是()A105 B75C15 D165 5在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()、A0(R)和cos 2B2(R)和cos 2 C2(R)和cos 1D0(R)和cos 1 6以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是 xt1，yt3(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B2 14C.2D2 2 7已知点P的极坐标为(，)，过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方 2/10 程为()A Bcos Ccos Dcos 8已知直线l：x2t，y2t(t为参数)与圆C：x2cos 1，y2sin(02)，则直线l的倾斜角与圆心C的直角坐标分别是()A.4，(1,0)B.4，(1,0)C.34，(1,0)D.34，(1,0)9在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A，B两点，则|AB|()A2 3B.3 C2 D1 10在极坐标系中，由三条直线0，3，cos sin 1围成的图形的面积为()A.14B.3 34C.2 34D.13 二、填空题(本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11在极坐标系中，点2，6到直线sin 2 的距离等于_ 12已知曲线C1的参数方程是 xt，y3t3(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_ 13已知直线l的参数方程为 x2t，y3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_.14 在极坐标系中，曲线C1 与C2 的方程分别为 2cos2sin 与 cos 3/10 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1 与C2交点的直角坐标为_ 三、解答题(本大题共有 4 小题，共 50 分)15(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x2cos，y22sin，02，M是C1上的动点，P点满足OP 2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.16(本小题满分 12 分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0，2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标 4/10 17(本小题满分 12 分)已知曲线C：x24y291，直线l：x2t，y22t(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 .18(本小题满分 14 分)将圆x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20 与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 5/10 高中数学选修 4-4 模块训练题答案 1 解析：选 B 由l的参数方程可得l的普通方程为 4x3y100，设l的倾斜角为，则 tan 43.由1cos2sin2cos2cos2tan21，得 cos2925.又2，cos 35.2.柱坐标2，3，1 对应的点的直角坐标是()A(3，1,1)B(3，1,1)C(1，3，1)D(1，3，1)解析：选 C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 xcos，ysin，zz，可得 x1，y 3，z1.3在极坐标系中，点A的极坐标是(1，)，点P是曲线C：2sin 上的动点，则|PA|的最小值是()A0 B.2C.21 D.21 解析：选 D A的直角坐标为(1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21，|AC|2，则|PA|min 21.4直线 xsin tsin 15，ycos tsin 75(t为参数，是常数)的倾斜角是()A105 B75C15 D165 解析：选 A 参数方程 xsin tsin 15，ycos tsin 75 xsin tcos 75，ycos tsin 75.6/10 消去参数t，得ycos tan 75(xsin)，ktan 75tan(18075)tan 105.故直线的倾斜角是 105.5(高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B2(R)和cos 2 C2(R)和cos 1D0(R)和cos 1 解析：选 B 由2cos，可得圆的直角坐标方程为(x1)2y21，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x0和x2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为2(R)和cos 2，应选 B.6(高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是 xt1，yt3(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B2 14 C.2D2 2 解析：选 D 由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d|204|22，直线l被圆C截得的弦长为222222 2.7已知点P的极坐标为(，)，过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A Bcos Ccos Dcos 解析：选 D 设M(，)为所求直线上任意一点，由图形知OMcosPOM，cos().cos.8已知直线l：x2t，y2t(t为参数)与圆C：x2cos 1，y2sin(02)，则直线l的倾斜角与圆心C的直角坐标分别是()A.4，(1,0)B.4，(1,0)C.34，(1,0)D.34，(1,0)7/10 解析：选 C 因为直线l的普通方程为yx，所以其斜率是1，倾斜角是34.将圆的参数方程化为普通方程得(x1)2y24，所以圆心C的直角坐标是(1,0)，应选 C.9在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A，B两点，则|AB|()A2 3B.3C2 D1 解析：选 A 曲线4cos 可转化为(x2)2y24，则圆心(2,0)到直线x3 的距离是 1，所以|AB|2 412 3.10在极坐标系中，由三条直线0，3，cos sin 1 围成的图形的面积为()A.14B.3 34C.2 34D.13 解析：选 B 三条直线的直角坐标方程依次为y0，y 3x，xy1，如图围成的图形为OPQ，可得 SOPQ12|OQ|yP|1213313 34.二、填空题(本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11(高考)在极坐标系中，点2，6到直线sin 2 的距离等于_ 解析：由题意知，点2，6的直角坐标是(3，1)，直线sin 2 的直角坐标方程是y2，所以所求的点到直线的距离为 1.12(高考)已知曲线C1的参数方程是 xt，y3t3(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_答案：(3，1)解析：由题意，得 xty3t3x23y2(x0，y0)，曲线C2的普通方程为x2y24，联立 x2y24x23y2，得 x 3，y1，即C1与C2的交点坐标为(3，1)13(高考)已知直线l的参数方程为 x2t，y3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 8/10 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_答案：5 解析：依题意，直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy10，y24x.由 xy10，y24x得x22x10，解得x1，则y2，因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为 1222 5，即直线l与曲线C的公共点的极径 5.14(高考)在极坐标系中，曲线C1 与C2 的方程分别为 2cos2sin 与 cos 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1 与C2交点的直角坐标为_答案：(1,2)解析：由 2cos2sin 22cos2sin 2x2y，又由cos 1x1，由 2x2y，x1 x1，y2，故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)三、解答题(本大题共有 4 小题，共 50 分)15(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x2cos，y22sin，02，M是C1上的动点，P点满足OP 2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.因为M点在C1上，所以 x22cos，y222sin，即 x4cos，y44sin.从而C2的参数方程为 x4cos，y44sin.(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为18sin.射线3与C1的交点A的极径为14sin 3，射线3与C2的交点B的极径为28sin 3.所以|AB|21|2 3.9/10 16(本小题满分 12 分)(新课标卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0，2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标 解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为 x1cos t，ysin t(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t 3，t3.故D的直角坐标为1cos3，sin3，即32，32.17(本小题满分 12 分)(新课标卷)已知曲线C：x24y291，直线l：x2t，y22t(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 解：(1)曲线C的参数方程为 x2cos，y3sin(为参数)直线l的普通方程为 2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d55|4cos 3sin 6|.则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中为锐角，且 tan 43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.18(本小题满分 14 分)(高考)将圆x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为 10/10 原来的 2 倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20 与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得 xx1，y2y1.由x21y211 得x2y221，即曲线C的方程为x2y241.故C的参数方程为 xcos t，y2sin t(t为参数)(2)由 x2y241，2xy20，解得 x1，y0或 x0，y2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k12，于是所求直线方程为y112x12，化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3，即34sin 2cos.
