高考数学第7章不等式、推理与证明第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法教学案理北师大版15522.pdf

第五节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法 最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 PQ1 Q1Q2 QnQ QP1P1P2得到一个明显成立的条件 文字 语言 因为所以或由得 要证只需证即证 2反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)反证法的证题步骤：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论 3数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1 时结论成立()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQ BPQ CPQ，只需P2Q2，即 2a132a6a72a132a8a5，只需a213a42a213a40.因为 4240 成立，所以PQ成立故选 A.4 已知数列an满足an1a2nnan1，nN，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.3 4 5 n1 易得a23，a34，a45，故猜想ann1.考点 1 综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路 综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac13；(2)a2bb2cc2a1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以 3(abbcca)1，即abbcca13.(2)因为a，b，c均为正数，a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，故a2bb2cc2a(abc)2(abc)，即a2bb2cc2aabc，所以a2bb2cc2a1.母题探究 本例的条件不变，证明a2b2c213.证明 因为abc1，所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为 2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以 1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c213.(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2)应用重要不等式a2b22ab放缩时要注意待证不等式的方向性 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C23，求证：5a3b.证明(1)由已知得 sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为 sin B0，所以 sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C23，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b20，即 5a3b.考点 2 分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围 利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1ab1bc3abc.证明 要证1ab1bc3abc，即证abcababcbc3，也就是cababc1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立 于是原等式成立 (1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2a2acb2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证 若a，b(1，)，证明ab 1ab.证明 要证ab 1ab，只需证(ab)2(1ab)2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0 成立，所以原不等式成立 考点 3 反证法的应用 用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)设a0，b0，且ab1a1b.证明：(1)ab2；(2)a2a2 与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab2ab2，即ab2.(2)假设a2a2 与b2b2 同时成立，则由a2a0，得 0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1 矛盾 故a2a2 与b2b0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2 时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任意的nN，不等式b11b1b21b2bn1bnn1成立 解(1)由题意得，Snbnr，当n2 时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0，且b1，所以n2 时，数列an是以b为公比的等比数列 又a1S1br，a2b(b1)，所以a2a1b，即bb1brb，解得r1.(2)证明：由(1)及b2 知an2n1.因此bn2n(nN)，所证不等式为2124142n12nn1.当n1 时，左式32，右式 2，左式右式，所以结论成立 假设nk(k1，kN)时结论成立，即2124142k12kk1，则当nk1 时，2124142k12k2k32k1k12k32k12k32k1，要证当nk1 时结论成立，只需证2k32k1k2，即证2k32k1k2，由基本不等式得 2k32k1k22k1k2成立，故2k32k1k2成立，所以当nk1 时，结论成立 由可知，nN时，不等式b11b1b21b2bn1bnn1成立 已知f(n)11231331431n3，g(n)3212n2，nN.(1)当n1,2,3 时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明 解(1)当n1 时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2 时，f(2)98，g(2)118，所以f(2)g(2)；当n3 时，f(3)251216，g(3)312216，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用数学归纳法证明 当n1,2,3 时，不等式显然成立 假设当nk(k3，kN)时不等式成立，即 11231331431k33212k2，则当nk1 时，f(k1)f(k)1k133212k21k13.因为12k1212k21k13 k32k1312k2 3k12k13k20，所以f(k1)3212k12g(k1)由可知，对一切nN，都有f(n)g(n)成立