2020年中考数学十大必考题型专练卷08与圆有关的证明与计算题45187.pdf

1备战2020 年中考数学十大题型专练卷题型08 与圆有关的证明与计算题一、单选题1如图，AB是O的弦，OCAB交O于点C，点D是O上一点，30ADC，则BOC的度数为（）A 30B 40C 50D 60【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出OAC=OCA=AOC，得出 OAC 是等腰三角形，得出BOC=AOC=60即可【详解】解：如图，30ADC，260AOCADC AB是O的弦，OCAB交O于点C，ACBC60AOCBOC 故选：D【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明ACBC.2 如图，AB为O的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD，若36ABOo，则ADC的度数为()2A 54oB36oC32oD 27o【答案】D【分析】由切线性质得到AOB，再由等腰三角形性质得到OADODA，然后用三角形外角性质得出ADC【详解】切线性质得到90BAOo903654AOBoooODOAQOADODA AOBOADODA Q27ADCADO o故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3如图，ABC是O的内接三角形，119A，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）A 32B 31C 29D 61【答案】A【分析】根据题意连接OC，COP为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍，可计算的COP的度，再根据直角三角形可得P的度数.【详解】根据题意连接OC.因为119A所以可得BC 所对的大圆心角为2 119238BOC因为BD 为直径，所以可得23818058COD由于COP为直角三角形所以可得905832P3故选A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2 倍.4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，40ABm，点C是AB的中点，且10CDm，则这段弯路所在圆的半径为（）A 25mB24mC30mD 60m【答案】A【分析】根据题意，可以推出AD BD 20，若设半径为r，则OD r 10，OB r，结合勾股定理可推出半径r的值【详解】解：OCAB，20ADDBm，在Rt AOD中，222OAODAD，设半径为r得：2221020rr，解得：25rm，这段弯路的半径为25m故选：A【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度5如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且:1:3BDAD（BD 表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A 1:3B1:C1:4D 2:9【答案】D【分析】连接OD，求出AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接OD交 AC 于M4由折叠的知识可得：12OMOA，90OMA，30OAM，60AOM，且:1:3BDAD，80AOB设圆锥的底面半径为r，母线长为l，802180lr，:2:9r l故选：D【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6如图，边长为2 3的等边ABC的内切圆的半径为()A 1B3C 2D 2 3【答案】A【分析】连接AO、CO，CO 的延长线交AB 于 H，如图，利用内心的性质得CH 平分BCA，AO 平分BAC，再根据等边三角形的性质得CAB=60，CH AB，则OAH=30，AH=BH=1 2AB=3，然后利用正切的定义计算出OH 即可【详解】设ABC的内心为O，连接AO、BO，CO 的延长线交AB 于 H，如图，ABC为等边三角形，CH 平分BCA，AO 平分BAC，ABC为等边三角形，60CAB，CHAB，30OAH，132AHBHAB，5在Rt AOH中，OHtantan30AHOAH，3313OH，即ABC内切圆的半径为1故选A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质7如图，在Rt ABC 中，ABC=90，AB=2 3，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D，则图中阴影部分的面积为()A 5 342B5 342C2 3D 4 32【答案】A【分析】连接OD，过点O 作 OH AC，垂足为H，则有AD=2AH，AHO=90，在Rt ABC 中，利用A的正切值求出A=30，继而可求得OH、AH 长，根据圆周角定理可求得BOC=60，然后根据S阴影=SABC-S AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O 作 OH AC，垂足为H，则有AD=2AH，AHO=90，在 Rt ABC 中，ABC=90，AB=2 3，BC=2，tan A=2332 3BCAB，A=30，OH=12OA=32，AH=AO cos A=33322，BOC=2 A=60，AD=2AH=3，6 S阴影=S ABC-S AOD-S扇形BOD=26031132 3 23222360=5 342，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8如图，ABC 的内切圆O 与 BC、CA、AB 分别相切于点D、E、F，且AB 5，BC 13，CA 12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A 4B 6.25C 7.5D 9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断 ABC 为直角三角形，且BAC=90，继而证明四边形AEOF 为正方形，设O 的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC 为直角三角形，且BAC=90，O 为 ABC 内切圆，AFO=AEO=90，且AE=AF，四边形AEOF 为正方形，设O 的半径为r，OE=OF=r，S四边形AEOF=r，连接AO，BO，CO，7 S ABC=S AOB+S AOC+S BOC，11()22ABACBC rABAC，r=2，S四边形AEOF=r=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9如图，AB是O的直径，C，D是O上的两点，且BC平分ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A OCBDBADOCCCEFBED D AFFD【答案】C【分析】由圆周角定理和角平分线得出90ADB，OBCDBC，由等腰三角形的性质得出OCBOBC，得出DBCOCB，证出OCBD，选项A 成立；由平行线的性质得出ADOC，选项B 成立；由垂径定理得出AFFD，选项D 成立；CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，选项C 不成立，即可得出答案【详解】AB是O的直径，BC平分ABD，90ADB，OBCDBC，ADBD，OBOC，OCBOBC，DBCOCB，OCBD，选项A 成立；ADOC，选项B 成立；AFFD，选项D 成立；CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，选项C 不成立，故选C【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本8题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理10如图，在Rt ABC中，90304ACBABC，以 BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D，则图中阴影部分的面积为（）A 433B2332C1332D 133【答案】A【分析】根据三角形的内角和得到60B，根据圆周角定理得到12090CODCDB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：在Rt ABC中，9030ACBA，60B，120COD，4BC，BC 为半圆O 的直径，90CDB，2OCOD，32 32CDBC，图中阴影部分的面积21202142 3 1336023CODCODSS 扇形，故选：A【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。二、填空题11 如图，O的两条相交弦AC、BD，60ACBCDB，2 3AC，则O的面积是_9【答案】4【分析】由ABDC，而60ACBCDB，所以60AACB，得到ACB为等边三角形，又2 3AC，从而求得半径，即可得到O的面积【详解】解：ABDC，而60ACBCDB，60AACB，ACB为等边三角形，2 3AC，圆的半径为2，O的面积是4，故答案为4【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大12如图,边长为2 的正方形ABCD中心与半径为2 的O 的圆心重合,E、F 分别是AD、BA 的延长与O的交点,则图中阴影部分的面积是_.(结果保留)【答案】1【分析】延长DC，CB 交O 于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论【详解】解：延长DC，CB 交O 于 M，N，则图中阴影部分的面积14（S圆OS正方形ABCD）14（44）1，故答案为：1【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键13如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，ABBF，1CE，6AB，则弦AF的长度为_10【答案】485【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到3AEBE，设O的半径为r，则1OEr，OAr，根据勾股定理得到22231()rr，解得=5r，再利用垂径定理得到OBAF，AGFG，则2225AGOG，222()56AGOG，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长【详解】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，ABCD，132AEBEAB，设O的半径为r，则1OEr，OAr，在Rt OAE中，22231()rr，解得=5r，ABBF，OBAF，AGFG，在Rt OAG中，2225AGOG，在Rt ABG中，222()56AGOG，解由组成的方程组得到245AG，4825AFAG故答案为485【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了垂径定理14如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧11围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_【答案】a【分析】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧，每段弧的长度为：60 a1a.1803则勒洛三角形的周长为：1a 3a.3故答案为：a.【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.15如图，在平面直角坐标系中，已知D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为(0,2 3)，OC与D交于点C，30OCA，则圆中阴影部分的面积为_【答案】22 3【分析】由圆周角定理可得30OBAC，在Rt AOB 中，利用解直角三角形求出OA、AB 的长，然后根据S阴=S半-S ABO求解即可.【详解】连接AB，90AOB，AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得30OBAC，2 3OB，3tantan302 323OAOBABOOB，sin 304ABAO，即圆的半径为2，2212 2 322 322ABOSSS 阴影半圆故答案为：22 312【点睛】本题考查了：同弧对的圆周角相等；90的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.16如图，AB是圆O的弦，OCAB，垂足为点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，若2 10AB，则圆O的半径为_【答案】3 2【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果【详解】解：连接OA，设半径为x，将劣弧AB沿弦AB 折叠交于OC 的中点D，23OCx，OCAB，1102ACAB，222OAOCAC，222()103xx，解得，3 2x故答案为3 2【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程17如图，扇形OAB中，90AOB.P为弧AB上的一点，过点P作PCOA，垂足为C，PC与AB交于点D，若2,1PDCD，则该扇形的半径长为_13【答案】5【分析】连接OP，设半径为r，在直角三角形OCP 中利用勾股定理将CO 用 r表示，得到AC，又有 ACDAOB，利用ACDCAOBO，解出r即可【详解】连接OP，设半径为r，则OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,在直角三角形OCP 中，222OCPCOP，即得OC2=r2-9，得到OC=2r9得到AC=2rr9，又易知 ACD AOB，所以ACDCAOBO，即2rr91rr，得到2rr91，解出r=5；故填5【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连OP，表示出AC18如图，在圆心角为90的扇形OAB中，2OB，P为AB上任意一点，过点P作PEOB于点E，设M为OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为_【答案】22【分析】以OB为斜边在OB的右边作等腰/Rt P OB，以/P为圆心PB为半径作/P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MP求出135OMP，证()OMBOMPSAS，得135OMBOMP，由180HOMB，证,O MB H四点共圆，故点M的运动轨迹是OB，由弧长公式可得.14【详解】如图，以OB为斜边在OB的左边作等腰/Rt P OB，以/P为圆心/P B为半径作/P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MPPEOB，90PEO，点M是内心，135OMP，OBOP，MOBMOP，OMOM，()OMBOMPSAS，135OMBOMP，1452HBPO，180HOMB，,O MB H四点共圆，点M的运动轨迹是OB，内心M所经过的路径长90221802，故答案为22【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=180n R，其中l表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质19 如图，90AOB，30B，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A，点C，交OB于点D，若3OA，则阴影部分的面积为_.15【答案】34【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC,90903060OAOCOABBACO为等边三角形60AOC阴影部分面积1=26013933 3cos303360224 阴影部分面积2=213309 333 332236044阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34故答案为34。【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.20如图，在扇形AOB 中，120AOB，半径OC 交弦AB 于点D，且OCOA若2 3OA，则阴影部分的面积为_【答案】3【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去BDO的面积，本题得以解决16【详解】解：作OEAB于点F，在扇形AOB 中，120AOB，半径OC 交弦AB 于点D，且OCOA2 3OA，90AOD，90BOC，OAOB，30OABOBA，3tan302 323ODOA，4AD，3222 362ABAF，3OF，2BD，阴影部分的面积是：22 3230(2 3)23323602AODBDOOBCSSS扇形，故答案为：3【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答三、解答题21如图，ABC内接于O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使2DFOD，连接FC并延长交过点A 的切线于点G，且满足/AGBC，连接OC，若1cos3BAC，6BC（1）求证：CODBAC；（2）求O的半径OC；（3）求证：CF是O的切线【答案】（1）见解析；（2）O的半径OC为278；（3）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；（2）根据三角函数性质，得到22239xx，从而得出答案；（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.17【详解】解：（1）AG是O的切线，AD是O的直径，90GAF，/AGBC，AEBC，CEBE，2BACEAC，2COECAE，CODBAC；（2）CODBAC，1coscos3OEBACCOEOC，设OEx，3OCx，6BC，3CE，CEAD，222OECEOC，22239xx，98x（负值舍去），2738OCx，O的半径OC为278；（3）2DFOD，33OFODOC，OEOC1OCOF3，COEFOC，COEFOE，90OCFDEC，CF是O的切线【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.1822如图,Rt ABC内接于O，90,2ACBBC.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DEAC于点,1EDAEABCDE，连接DO交O于点F.（1）求证：AD是O的切线;（2）连接FC交AB于点G，连接FB求证：2FG=G0GB.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在 AB 上，AB 为O 直径，故只需证AD AB即可由ABC+BAC=90和DAE=ABC 可证得DAE+BAC=90，而E、A、C 在同一直线上，用180减去90即为BAD=90，得证（2）由（1）利用勾股定理得出5AB，公积金图形得出 AEDBCA，可知2 55AEADDEADDOAO，即可得到ABDDAO，再根据相似三角形的性质得到FGOBGF，又因为FGOBGF，即可解答【详解】（1）证明：DAEABC 且90ABCCAB90EADCAB90DABAO为O的半径AD为O的切线（2）证明：由知90DAB125ACBCAB由模型可知，5AEDBAD CA5522AODO2 55AEADDEADDOAOABDDAO/EBDADOAEDO 19ACFCFOABF FGOBGF FGOBGFFGGOBGFG2FGGOGB【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明AD AB23如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写做法）如图2，设AB是该残缺圆O的直径，C是圆上一点，CAB的角平分线AD交O于点D，过点D作O的切线交AC的延长线于点E（1）求证：AEDE；（2）若3DE，2AC，求残缺圆的半圆面积【答案】图1 做图题作法：详见解析；图2 解答过程：（1）详见解析；（2）5【分析】作弦PQ，TS，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O 即为圆心（1）连接OD交BC于H，由切线的性质可得ODDE，然后证明ODAE即可；（2）首先证明四边形CEDH是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB 即可解决问题【详解】解：图1 做图题作法：在残缺的圆上取两条不平行的弦PQ和TS；以点P为圆心大于PQ一半长为半径在PQ两侧作圆弧；以点Q为圆心，同样长的半径在PQ两侧作圆弧与中的圆弧交于M，N两点；作直线MN即为线段PQ的垂直平分线；以同样的方法做线段TS的垂直平分线LK与直线MN交于点O即为该残缺圆的圆心.20图 2 解答过程：（1）证明：连接OD交BC于HDE为O的切线ODDEAD平分CABCADDAB ODOADABODACAD ODAEAEDE（2）解：AB是O的直径90ACBODAEODBC2BCCH，四边形CEDH为矩形3CHED6BC 2AC 2 10AB 10AO 21=52SAO半圆【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型24如图1，已知O 外一点P 向O 作切线PA，点A 为切点，连接PO 并延长交O 于点B，连接AO 并延长交O 于点C，过点C 作CDPB，分别交PB 于点E，交O 于点D，连接AD 21（1）求证：APO DCA；（2）如图2，当ADAO时求P的度数；连接AB，在O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形若存在，请直接写出PQCQ的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）30P；存在，3PQCQ.【分析】（1）由切线性质和直径AC 可得PAOCDA90，由PBAD可得PODCAD，即可得：APODCA；（2）连接OD，由ADOAOD可得 OAD 是等边三角形，由此可得POA60，P30；作BQAC交O 于 Q，可证ABQP 为菱形，求PQCQ可转化为求ABBC【详解】（1）PA 切O 于点A，AC 是O 的直径，PAOCDA90，CDPB，CEP90，CEPCDA，PBAD，POACAO，APODCA，（2）如图2，连接OD，ADAO，ODAO，OAD是等边三角形，OAD60，PBAD，POAOAD60，22PAO90，P90POA906030，存在如图2，过点B 作BQAC交O 于 Q，连接PQ，BC，CQ，由得：POA60，PAO90，BOCPOA60，OBOC，ACB60，BQCBAC30，BQAC，CQBC，BCOBOA，CBQOBAAASBQABOBAOPA30ABAP，BQAP，PAAC，BQ AP，四边形ABQP 是平行四边形，ABAP，四边形ABQP 是菱形，PQAB，PQABtan ACBtan603CQBC，【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等25四边形ABCD是O的圆内接四边形，线段AB是O的直径，连结ACBD、点H是线段BD上23的一点，连结AHCH、，且,ACHCBDADCH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若,5ACBC PBPD，2(51)ABCD求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度【答案】（1）见解析;（2）见解析;2CH.【分析】（1）由圆周角的定理可得DBCDACACH ，可证ADCH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；（2）由平行线的性质可证90ADHCHD，由45CDBCAB，可证DHC为等腰直角三角形；通过证明ADPCBP，可得ADPDBCPB，可得15CHBC，通过证明CHDACB，可得15CDCHABBC，可得5ABCD，可求2CD，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度【详解】证明：（1）,DBCDACACHCBD ，DACACH，ADCH，且ADCH，四边形ADCH是平行四边形，（2）AB是直径，90ACBADB，且ACBC，45CABABC，45CDBCAB，ADCH，90ADHCHD，且，45CDB45CDBDCH，CHDH，且90CHD，24DHC为等腰直角三角形；四边形ABCD是O的圆内接四边形，ADPPBC，且PP，ADPCBP，ADPDBCPB，且5PBPD，15ADBC，ADCH，15CHBC，45,90CDBCABCHDACB ，CHDACB，15CDCHABBC，5ABCD，2(51)ABCD，52(51)CDCD，2CD，且DHC为等腰直角三角形，2CH，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键26如图，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G.（1）求证：DGCA；（2）求证：ADID；（3）若4DE，5BE，求BI的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【分析】(1)根据三角形内心的性质得27，再利用圆内接四边形的性质得ADFABC，则2512，从而得到13，则可判断DGAC；(2)根据三角形内心的性质得56，然后证明4DAI 得到DADI；(3)证明DAEDBA，利用相似比得到6AD，则6DI，然后计算BDDI即可【详解】(1)点I是ABC的内心，27，DG平分ADF，112ADF，ADFABC，12，32，13，DGAC；(2)点I是ABC的内心，56，47536 ，即4DAI，DADI；(3)37，ADEBDA，DAEDBA，:ADDBDEDA，即:9 4:ADAD，6AD，6DI，963BIBDDI【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.27如图，在矩形ABCD中，2CD，4AD，点P在BC上，将ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点.O为AC上一点，O经过点A，P.26(1)求证：BC是O的切线；(2)在边CB上截取CFCE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)点F是线段BC的黄金分割点.【分析】(1)连接OP，由等腰三角形性质和折叠性质证ABOP，根据矩形性质证90OPCB；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由2 525142CFBC得出结论.【详解】解：(1)证明：连接OP，OAOP，OAPOPA.由折叠可知BAPOAP，BAPOPA.ABOP.OPCB.四边形ABCD是矩形，90B.90OPCB.即OPBC.BC是O的切线；(2)点F是线段BC的黄金分割点.四边形ABCD是矩形，2ABCD，4BCAD.2AEAB.2222422 5ACADCD，2 52CEACAE.2 52CFCE.2 525142CFBC.点F是线段BC的黄金分割点.27【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.28宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，64BCD，60BCcm，坐垫E与点B的距离BE为15cm.（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E，求EE的长（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05）【答案】（1）99.5（2）3.9【分析】（1）作EMCD于点M，由sin75sin46EMECBCM可得答案；（2）作E HCD于点H，先根据sinE HE CECD求得E C的长度，再根据EECECE可得答案【详解】（1）如图1，过点E 作EMCD于点M，由题意知64BCM、601575ECBCBEcm，sin75sin4667.5EMECBCMcm，28则单车车座E到地面的高度为 67.5 3299.5 cm；（2）如图2 所示，过点E作E HCD于点H，由题意知800.8 64E H，则6471.1sinsin64E HE CECH，7571.1 3.9EECECEcm.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答29（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的（实际应用）:观测点A在图1 所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67PQ是O的直径，PQON（1）求POB的度数；（2）已知6400OP km，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长（取3.1）【答案】（1）67POB；（2）3968AB（km）29【分析】（1）设点B 的切线CB 交 ON 延长线于点E，HD BC 于 D，CH BH 交 BC 于点C，则DHC=67，证出HBD=DHC=67，由平行线的性质得出BEO=HBD=67，由直角三角形的性质得出BOE=23，得出POB=90-23=67；（2）同（1）可证POA=31，求出AOB=POB-POA=36，由弧长公式即可得出结果【详解】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交CB于点C，如图所示：则67DHC，90HBDBHDBHDDHC，67HBDDHC，ONBH，67BEOHBD，906723BOE，PQON，90POE，902367POB；（2）同（1）可证31POA，673136AOBPOBPOA，3664003968180AB（km）【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键30如图，ABCDE、是O上的5 等分点，连接ACCEEBBDDA、，得到一个五角星图形和五边形MNFGH（1）计算CAD的度数；30（2）连接AE，证明：AEME；（3）求证：2MEBMBE【答案】(1)36;(2)见解析;(3)见解析.【分析】（1）由题意可得COD=70，由圆周角的定理可得CAD=36；（2）由圆周角的定理可得CAD=DAE=AEB=36，可求AME=CAE=72，可得AE=ME；（3）通过证明 AEN BEA，可得AENEBEAE，可得ME2=BE NE，通过证明BM=NE，即可得结论【详解】（1）ABCDE、是O上的5 等分点，CD的度数36072570COD2CODCAD 36CAD（2）连接AEABCDE、是O上的5 等分点，ABDEAECDBC36CADDAEAEB 72CAE，且36AEB72AMEAMECAE AEME（3）连接AB31ABDEAECDBCABEDAE，且AEBAEB AENBEAAENEBEAE2AEBE NE，且AEME2MEBE NEABDEAECDBC,36AEABCABCADDAEBEAABE 72BADBNA BABN，且AEMEBNMEBMNE2MEBE NEBMBE【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明 AEN BEA 是本题的关键