2023年高考数学二轮复习讲练测专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(解析版)43866.pdf

专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用 核心考点三：已知()f x 奇函数M 核心考点四：利用轴对称解决函数问题 核心考点五：利用中心对称解决函数问题 核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题 核心考点七：类周期函数 核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 核心考点九：函数性质的综合 【真题回归】1（2022全国统考高考真题）已知函数()f x的定义域为 R，且()()()(),(1)1f xyf xyf x f yf，则221()kf k（）A3 B2 C0 D1【答案】A【解析】方法一：赋值加性质 因为 f xyf xyf x f y，令1,0 xy可得，2110fff，所以 02f，令0 x 可得，2fyfyfy，即 f yfy，所以函数 f x为偶函数，令1y 得，111f xf xf x ff x，即有 21f xf xf x，从而可知21f xf x，14f xf x，故24fxfx，即 6f xf x，所以函数 f x的一个周期为6因为 2101 21fff，3211 12fff ，4221fff，5111fff，602ff，所以 一个周期内的 1260fff由于 22 除以 6 余 4，所以 22112341 12 13kf kffff 故选：A 方法二：【最优解】构造特殊函数 由 f xyf xyf x f y，联想到余弦函数和差化积公式 coscos2cos cosxyxyxy，可设 cosf xax，则由方法一中 02,11ff知2,cos1aa，解得1cos2，取3，所以 2cos3f xx，则 2cos2cos4coscos333333f xyf xyxyxyxyf x fy，所以 2cos3f xx符合条件，因此()f x的周期263T，02,11ff，且 21,32,41,51,62fffff，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，由于 22 除以 6 余 4，所以 22112341 12 13kf kffff 故选：A【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2（2022全国统考高考真题）已知函数(),()f xg x的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x若()yg x的图像关于直线2x 对称，(2)4g，则 221kf k（）A21 B22 C23 D24【答案】D【解析】因为()yg x的图像关于直线2x 对称，所以22gxg x，因为()(4)7g xf x，所以(2)(2)7g xf x，即(2)7(2)g xf x，因为()(2)5f xgx，所以()(2)5f xg x，代入得()7(2)5f xf x，即()(2)2f xf x，所以 35212510fff ，46222510fff 因为()(2)5f xgx，所以(0)(2)5fg，即 01f，所以(2)203ff 因为()(4)7g xf x，所以(4)()7g xf x，又因为()(2)5f xgx，联立得，2412gxg x，所以()yg x的图像关于点3,6中心对称，因为函数()g x的定义域为 R，所以 36g 因为()(2)5f xg x，所以 1531fg 所以 22112352146221 3 10 1024()kfffffffff k 故选：D 3（多选题）（2022全国统考高考真题）已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A(0)0f B102g C(1)(4)ff D(1)(2)gg【答案】BC【解析】方法一：对称性和周期性的关系研究 对于()f x，因为322fx为偶函数，所以332222fxfx即3322fxfx，所以 3fxf x，所以()f x关于32x 对称，则(1)(4)ff，故 C 正确；对于()g x，因为(2)gx为偶函数，(2)(2)gxgx，(4)()gxg x，所以()g x关于2x 对称，由求导，和()()g xfx，得333333222222fxfxfxfxgxgx ，所以 30gxg x，所以()g x关于3(,0)2对称，因为其定义域为 R，所以302g，结合()g x关于2x 对称，从而周期34222T，所以13022gg，112ggg，故 B 正确，D 错误；若函数()f x满足题设条件，则函数()f xC（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x的函数值，故A 错误 故选：BC 方法二：【最优解】特殊值，构造函数法 由方法一知()g x周期为 2，关于2x 对称，故可设 cos g xx，则 1sin f xxc，显然 A，D 错误，选 BC 故选：BC 方法三：因为322fx，(2)gx均为偶函数，所以332222fxfx即3322fxfx，(2)(2)gxgx，所以 3fxf x，(4)()gxg x，则(1)(4)ff，故 C 正确；函数()f x，()g x的图象分别关于直线3,22xx对称，又()()g xfx，且函数()f x可导，所以 30,32ggxg x，所以(4)()3gxg xgx，所以(2)(1)g xg xg x，所以13022gg，112ggg，故 B 正确，D 错误；若函数()f x满足题设条件，则函数()f xC（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x的函数值，故A 错误 故选：BC【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解 4（2022全国统考高考真题）若 1ln1f xabx是奇函数，则a_，b _【答案】12；ln2【解析】方法一：奇函数定义域的对称性 若0a，则()f x的定义域为|1x x，不关于原点对称 0a 若奇函数的1()|1f xln abx有意义，则1x 且101ax 1x且11xa，函数()f x为奇函数，定义域关于原点对称，111a ，解得12a ，由(0)0f得，102lnb，2bln，故答案为：12；2ln 方法二：函数的奇偶性求参 111()111aaxaxaf xln ablnblnbxxx 1()1axafxlnbx 函数()f x为奇函数 11()()2011axaaxaf xfxlnlnbxx 2222(1)201a xalnbx 22(1)1210112aaaa 122 2241,22blnblnablnln 方法三：因为函数 1ln1f xabx为奇函数，所以其定义域关于原点对称 由101ax可得，110 xaax，所以11axa，解得：12a ，即函数的定义域为 ,11,11,，再由 00f可得，ln2b 即 111lnln2ln211xf xxx，在定义域内满足 fxf x，符合题意 故答案为：12；ln2【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤 取值：设1x，2x是()f x定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；定号：判断差的正负或商与1的大小关系；得出结论（2）函数单调性的判断方法 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结论”进行判断 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间 （3）记住几条常用的结论：若()f x是增函数，则()f x为减函数；若()f x是减函数，则()f x为增函数；若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x为增（或减）函数；若()0f x 且()f x为增函数，则函数()f x为增函数，1()f x为减函数；若()0f x 且()f x为减函数，则函数()f x为减函数，1()f x为增函数 2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（2）奇偶函数的图象特征 函数()f x是偶函数函数()f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数函数()f x的图象关于原点中心对称（3）若奇函数()yf x在0 x 处有意义，则有(0)0f；偶函数()yf x必满足()(|)f xfx（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记1()()()2g xf xfx，1()()()2h xf xfx，则()()()f xg xh x（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg xf xg xf xg xf xg x 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶（7）复合函数()yf g x的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇（8）常见奇偶性函数模型 奇函数：函数1()()01xxaf xmxa()或函数1()()1xxaf xma 函数()()xxf xaa 函数2()loglog(1)aaxmmf xxmxm或函数2()loglog(1)aaxmmf xxmxm 函数2()log(1)af xxx或函数2()log(1)af xxx 注意：关于式，可以写成函数2()(0)1xmf xmxa或函数2()()1xmf xmmRa 偶函数：函数()()xxf xaa 函数()log(1)2mxamxf xa 函数(|)fx类型的一切函数 常数函数 3、周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRf xTf xTf xTf xTf xTf xTTf xf xf xTf xTTf xTf xTTf axf axbaf bxf bxf axf axaf xf axf axbaf bxf bxf a 函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xf axaf xf axf axbaf bxf bxf axf axaf xf axf axaf x 为奇函数为奇函数为偶函数 4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yf x有两条对称轴xa，()xb ab，则函数()f x是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yf x的图象有两个对称中心(,),(,)()a cb c ab，则函数()yf x是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yf x有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yf x是周期函数，且4()Tba 5、对称性技巧（1）若函数()yf x关于直线xa对称，则()()f axf ax（2）若函数()yf x关于点()a b，对称，则()()2f axf axb（3）函数()yf ax与()yf ax关于y轴对称，函数()yf ax与()yf ax 关于原点对称 【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例 1（2023 春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 224,1,1,1xaxxf xxx是1,2上的减函数，则a的取值范围是（）A11,2 B,1 C11,2 D,1 【答案】A【解析】显然当1x 时，1f xx为单调减函数，11f xf 当1x时，224f xxax，则对称轴为 221axa ，123fa 若 f x是1,2上减函数，则12231aa 解得11,2a ，故选：A 例 2（2023 全国高三专题练习）设函数 11sin1ee4xxf xxx，则满足 3 26f xfx的x的取值范围是（）A3,B1,C,3 D,1【答案】B【解析】假设 sinee,Rxxg xxx x，所以 sineexxgxxx，所以 0g xgx，所以 g x为奇函数，而 11sin1ee13xxf xxx是 g x向右平移 1 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，所以 f x的对称中心为1,3，所以 62f xfx，由 11sin1ee4xxf xxx 求导得 11111cos1ee1e+cos11exxxxfxxx 因为111111e2 e2eexxxx，当且仅当111eexx即1x，取等号，所以 0,fx所以 f x在 R 上单调递增，因为 3 262f xfxf xfx得3 22fxfx 所以3 22xx，解得1x，故选：B 例 3（2023全国高三专题练习）已知02,1,1bab ab，且满足logbaab，则下列正确的是（）A1ab B1(1)baab C11ababaabb D52ab【答案】B【解析】由logbaab，可得1logloglogbababa，所以log1ba，或log1ba ，ba（舍去），或1ba，即1ab，故 A 错误；又02bab，故120aaa，12a，对于函数112yxxx，则2221110 xyxx，函数112yxxx单调递增，13 22,2abaa，故 D 错误；02bab，112ab，1212abb，令 ln12xg xxx，则 21 ln0 xgxx，函数 ln12xg xxx单调递增，ln1ln1baab，即1 lnln1baab，1lnln1abab，即1(1)baab，故 B 正确；011bab，函数,xxyayb 单调递增，故函数xxyab单调递增，11aabbabab，即11ababaabb，故 C 错误 故选：B 核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例 4（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x在,3上单调递增，且3f x为偶函数，则不等式 12f xfx的解集为（）A51,3 B5,1,3 C,1 D1,【答案】B【解析】3f x为偶函数，33fxf x，即函数 f x关于3x 对称，又函数 f x在,3上单调递增，函数 f x在3,上单调递减，由 12f xfx，可得1 323xx，整理得，23850 xx，解得1x或53x 故选：B 例 5（2023全国高三专题练习）设 f x是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2f xx，不等式 24f xf x的解集为（）A,04,B0,4 C,02,D0,2【答案】C【解析】根据题意，当0 x 时，2f xx，所以 f x在0,)上为增函数，因为 f x是定义在 R 上的奇函数，所以 f x在 R 上为增函数，因为20 x，所以24()f xx，24124xfx，所以221()42xf xf，所以不等式 24f xf x可化为2()2xff x，所以22xx，解得0 x 或2x，所以不等式 24f xf x的解集为,02,，故选：C 例 6（2023全国高三专题练习）已知偶函数 f x的定义域为R，且当0 x 时，11xf xx，则使不等式2122f aa成立的实数a的取值范围是（）A1,3 B3,3 C1,1 D,3【答案】A【解析】当0 x 时，12121111xxf xxxx，所以 f x在0,上单调递增，且 132f，不等式2122f aa即为 223f aaf 又因为 f x是偶函数，所以不等式 223f aaf等价于 223faaf，则223aa，所以，222323aaaa，解得13a 综上可知，实数a的取值范围为1,3，故选：A 例 7（2023全国高三专题练习）定义在R上的奇函数()f x在(,0上单调递增，且(2)2f ，则不等式1(lg)lg4fxfx的解集为（）A10,100 B1,100 C(0,100)D(100,)【答案】D【解析】因为函数()f x为奇函数，所以()fxf x，又(2)2f ，(2)2f，所以不等式1(lg)lg4fxfx，可化为 2(lg)422fxf，即(lg)2fxf，又因为()f x在(,0上单调递增，所以()f x在 R 上单调递增，所以lg2x，解得100 x 故选：D 例 8（2023 春广西高三期末）f x是定义在 R 上的函数，1122fx为奇函数，则20232022ff（）A1 B12 C12 D1【答案】A【解析】f x是定义在 R 上的函数，1122fx为奇函数，则 1111111222222fxfxfxfx 40451404512023202212222ffff 故选：A 例 9（2023 春甘肃兰州高三兰化一中校考阶段练习）若函数 f（x）=eesinxxxx，则满足22ln102xf axf恒成立的实数 a 的取值范围为（）A12ln2,2 B1(ln2,)4 C7,)4 D3,)2【答案】A【解析】因为()eesin()xxfxxxf x，所以 f x是R上的奇函数，由()e+ecos1xxfxx 2 eecos1 1 cos0 xxxx ，所以 f x是R上的增函数，所以2(2ln(1)02xf axf等价于：22(2ln(1)22xxf axff 即22ln(1)2xax，所以22ln(1)2xax，令2()2ln(1)2xg xx，则问题转化为：max()ag x，因为()()gxg x且定义域为R，所以 g x 22ln(1)2xx是R上的偶函数，所以只需求 g x在0,上的最大值即可 当0,x时，2()2ln(1)2xg xx，22122()111xxxxg xxxxx ，则当0,1x时，0g x；当1,x时，0g x；所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，可得：max1()(1)2ln 22g xg，即12ln22a，故选：A 核心考点三：已知()f x 奇函数+M【典型例题】例 10（2022重庆一中高三阶段练习）已知 334fxaxb x（a，b 为实数），3lglog 102022f，则lglg3f_【答案】-2014【解析】3lglog 10lglg32022ff，因为 334g xfxaxb x为奇函数，所以lglg3lglg3gg，其中lglg3lglg342018gf，所以lglg34lglg32018gf，解得：lglg32014f 故答案为：-2014 例 11（2022河南西平县高级中学模拟预测（理）已知函数 2sin414xxfxx，且 5f a，则fa（）A2 B3 C2 D3【答案】D 【解析】设 2sin44xxg xx，因为 22sin4sin444xxxxgxg xxx ，所以 g x为奇函数，因为 14g af a，所以14gafa ，则3fa 故选：D 例 12（2022福建省福州第一中学高二期末）若对,x yR，有()()()4f xyf xf y，函数2sin()()cos1xg xf xx在区间 2021,2021上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A4 B8 C12 D16【答案】B【解析】由题设，()(0)()()4f xxff xfx且(0)()()(0)4f xf xf xf，(0)4f，则()()8f xfx，()()4m xf x为奇函数，令2sin()cos1()()4xmh xgxxx，2sin()2sin()()()()cos()1cos1xxhxmxm xh xxx ，即()h x是奇函数，()h x在 2021,2021上的最小、最大值的和为 0，即maxmin()4()40g xg x，maxmin()()8g xg x 故选：B 核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例 13（2022全国高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】由题意1152xx，故有2225logxx 故1x和2x是直线5yx和曲线2xy、曲线2logyx交点的横坐标 根据函数2xy 和函数2logyx互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，故曲线2xy 和曲线2logyx的图象交点关于直线yx对称 即点（x1，5x1）和点（x2，5x2）构成的线段的中点在直线 y=x 上，即12125522xxxx，求得 x1+x2=5，故选：D 例 14（2021 春高一单元测试）设函数 21228log(1)31f xxx，则不等式212(log)(log)2fxfx的解集为（）A（0，2 B1,22 C2，）D10,22，）【答案】B【解析】由题意，函数 21228log(1)31f xxx的定义域为R，且 2211222288log()1log(1)3()131fxxxf xxx，所以函数 f x为R的偶函数，且在0,)上为单调递减函数，令2logtx，可得12log xt，则不等式212(log)(log)2fxfx可化为 2f tft，即 22f t，即 1f t，又因为 1281log 213 1f，且 f x在0,)上单调递减，在R为偶函数，所以11t ，即21log1x，解得122x，所以不等式的解集为1,22 故选：B 例 15（2021 春西藏拉萨高三校考阶段练习）已知函数 11332cos1xxxf x，则0.52310.5log 9log2fff、的大小关系（）A0.5231log 9log0.52fff B0.5321(log)(0.5)(log 9)2fff C0.5321(0.5)(log)(log 9)2fff D0.5231(log 9)(0.5)(log)2fff【答案】A【解析】令()(1)332cosxxg xf xx，()()gxg x，所以()g x是偶函数；()ln3(33)2sinxxg xx，当(0,)x时，()0g x，()g x在(0,)上是增函数，将()g x图像向右平移一个单位得到 f x图像，所以 f x关于直线1x 对称，且在(1,1)单调递增 23log 94，0.50.52，3312log2log 22,32，0.52314log 92log0.512，0.5231log 92log0.52fff，又 f x关于直线1x 对称，3311log2log22ff，0.5231log 9log0.52fff 故选：A 核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例 16（2023全国高三专题练习）已知函数 f x是R上的偶函数，且 f x的图象关于点1,0对称，当 0,1x时，22xf x，则 0122022ffff的值为（）A2 B1 C0 D1【答案】C【解析】f x图象关于点1,0对称，2f xfx，又 f x为R上的偶函数，f xfx，22f xfxf x ，42fxfxfxfx ，fx是周期为4的周期函数，311220fff，又 01f，201ff，012202250501232020fffffffff 202120225051 0 1 00121 0 10fffff 故选：C 例 17（2021 春安徽六安高三校考阶段练习）已知函数 33sincostan1221sin2sinxxxf xxx，函数 1yg x为奇函数，若函数 yf x与 yg x图象共有6个交点为11,x y、22,x y、66,x y，则61iiixy（）A0 B6 C12 D24【答案】B【解析】因为 cossintan111sin1sinsinsinxxxf xxxxx ，函数 f x的定义域为,Z2kx xk，11sin1sin1sinsinfxxxxx ，所以，2f xfx，故函数 f x的图象关于点0,1对称，因为函数 1yg x为奇函数，则 110gxg x ，即 2g xgx，故函数 g x的图象也关于点0,1对称，函数 yf x与 yg x图象共有6个交点为11,x y、22,x y、66,x y，且这六个点也关于点0,1对称，所以，6102 36iiixy 故选：B 例 18（2021 春贵州黔东南高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x 是奇函数，若函数11yx 与()yf x图象的交点分别为11,x y，22,x y，66,x y，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A12 B10 C8 D6【答案】D【解析】由题可得()f x关于点(0,1)对称，11yx 的图象也关于点(0,1)对称，即若点11,x y为交点，则点11,2xy也为交点，同理若22,x y为交点，则点22,2xy也为交点，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 112266xyxyxy 111122122xyxyxy 226666226xyxyxy ，故选：D 例 19（2022 春湖北恩施高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的奇函数()f x的图象与x轴交点的横坐标分别为1x，2x，3x，2023x，且122023xxxm，则不等式23(2)1xmxm 的解集为（）A1,13 B0,3 C,0 D【答案】A【解析】因为函数()f x是定义在 R 上的奇函数，则 00f，且函数()f x的图象与x轴交点关于原点对称，不妨设1232023xxxx，则202401,2,32023iixxi，所以1220230mxxx，则不等式23(2)1xmxm，即为23210 xx，解得113x，所以不等式23(2)1xmxm 的解集为1,13 故选：A 例 20（2021 春四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 32sinln1f xxxxxxR，函数 g x满足 20g xgxxR，若函数 1h xf xg x恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A2018 B2019 C2020 D2021【答案】D【解析】函数()g x满足()(2)0g xgx，则函数()g x的图象关于点(1,0)对称，且g（1）0，函数 32sinln1f xxxxx，则3232()()sin()ln1sinln1()fxxxxxxxxxf x ，所以函数()f x为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)yf x是由函数()yf x向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h xf xg x，则(1)()f xg x，因为函数()g x与(1)f x 的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h xf xg x恰有 2021 个零点，所以 2021 个零点除1x 之外的 2020 个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212 故选：D 核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例 21（2023全国高三专题练习）已知函数 f x的定义域为R，22fx为偶函数，1f x为奇函数，且当 0,1x时，f xaxb若 41f，则3112ifi（）A12 B0 C12 D1【答案】C【解析】因为22fx为偶函数，所以2222fxfx，用1122x 代替x得：13fxf x，因为1f x为奇函数，所以11fxf x，故31f xf x，用2x代替x得：53f xf x，由 得：51f xf x，所以函数 f x的周期4T，所以 401ff，即1b，因为11fxf x，令0 x 得：11ff，故 10f，10fab，解得：1a，所以 0,1x时，1f xx ，因为11fxf x，令12x，得2123ff，其中1111222f ，所以3122f，因为2222fxfx，令14x 得：12214422ff，即235212ff，因为4T，所以7714222fff，因为11fxf x，令32x 得：151222ff，故2721f，311111122235722222ififff 故选：C 例 22（2023四川资阳统考模拟预测）已知函数 f x的定义域为 R，2f x为偶函数，20f xfx，当2,1x 时，14xfxaxa（0a 且1a），且 24f 则 131kf k（）A16 B20 C24 D28【答案】C【解析】因为2f x是偶函数，所以2(2)fxf x，所以()(4)f xfx，所以函数()f x关于直线2x 对称，又因为 20f xfx，所以 2f xfx，所以()(2)f xfx ，所以()f x关于点(1,0)中心对称，由()(4)f xfx 及()(2)f xfx 得(4)(2)fxfx 所以(4)(2)()fxfxfx 所以函数()f x的周期为4，因为当2,1x 时，14xfxaxa（0a 且1a），且 24f，所以21424aa，解得：2a 或4a ，因为0a 且1a，所以2a 所以当2,1x 时，1()242xfxx，所以(2)4,(1)0ff，(3)(1)0ff，(0)(2)4ff ，(1)(14)(3)0fff，(2)(2)4ff，(3)(1)0ff，(4)(0)4ff，所以(1)(2)(3)(4)8ffff，所以 131(1)+3 824kf kf，故选：C 例 23（2023山东济宁高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，且当01x时，21f xx 若直线yxa与曲线 yf x恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（）A51,4kk（Zk）B521,24kk（Zk）C52,214kk（Zk）D5,14kk（Zk）【答案】B【解析】定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，所以 f x的图像关于1x 对称，且 f x为周期是 2 的偶函数，当11x 时，21f xx，所以画出函数图像如下图所示：当1a 时，结合图像可知yxa与 21f xx（1,1x）有两个公共点；当yxa与 21f xx（1,1x）相切时，满足21xax，即210 xxa，令1 410a ，解得54a 当54a 时，结合图像可知yxa与 yf x（xR）有两个公共点；由图像可知，51,4a时，直线yxa与 yf x（xR）有三个公共点；又因为 f x周期2T，可知521,24akk（Zk）故选：B 例 24（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 fx满足 2f xf x，且当1,1x 时，2f xx，若函数 log1ag xx图象与 fx的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（）A4,B6,C1,4 D4,6【答案】D【解析】因为函数 f x满足 2f xf x，所以函数 f x是周期为 2 的周期函数，又函数 log1ag xx的图象可由函数logayx的图象向左平移一个单位可得，所以函数 log1ag xx的图象的对称轴为=1x，当1,1x 时，2f xx，所以函数 f x的图象也关于=1x对称，在平面直角坐标系中作出函数 yf x与 yg x在=1x右侧的图象，数形结合可得，若函数 log1ag xx图象与 f x的图象恰有 10 个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x右侧有 5 个交点，则 13log 415log 61aaagg，解得4,6a 故选：D 例 25（2023 春 江西鹰潭 高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，x R，恒有(4)()f xf x，且当 2,0)x 时，()f xx 1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)fffff（）A1 B-1 C0 D2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f xf xf xf xf x ，所以()f x的最小正周期是 8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0fffff ，(4)(0)0,(1)(3)ffff (3)0f，(5)(1)0ff，(6)(2)1ff，(7)(3)0,(8)(4)0ffff ，又()f x是周期为 8 的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)ffffffff (2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0ffffffff，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)ffffffffffff 00(1)0001 ，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1fffff 故选：B 例 26（2023山东济宁高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，且当01x时，21f xx 若直线yxa与曲线 yf x恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（）A51,4kk（Zk）B521,24kk（Zk）C52,214kk（Zk）D5,14kk（Zk）【答案】B【解析】定义在 R 上的偶函数 f x满足11fxfx，所以 f x的图像关于1x 对称，且 f x为周期是 2 的偶函数，当11x 时，21f xx，所以画出函数图像如下图所示：当1a 时，结合图像可知yxa与 21f xx（1,1x）有两个公共点；当yxa与 21f xx（1,1x）相切时，满足21xax，即210 xxa，令1 410a ，解得54a 当54a 时，结合图像可知yxa与 yf x（xR）有两个公共点；由图像可知，51,4a时，直线yxa与 yf x（xR）有三个公共点；又因为 f x周期2T，可知521,24akk（Zk）故选：B 例 27（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x满足 2f xf x，且当1,1x 时，2f xx，若函数 log1ag xx图象与 fx的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（）A4,B6,C1,4 D4,6【答案】D【解析】因为函数 f x满足 2f xf x，所以函数 f x是周期为 2 的周期函数，又函数 log1ag xx的图象可由函数logayx的图象向左平移一个单位可得，所以函数 log1ag xx的图象的对称轴为=1x，当1,1x 时，2f xx，所以函数 f x的图象也关于=1x对称，在平面直角坐标系中作出函数 yf x与 yg x在=1x右侧的图象，数形结合可得，若函数 log1ag xx图象与 f x的图象恰有 10 个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x右侧有 5 个交点，则 13log 415log 61aaagg，解得4,6a 故选：D 例 28（2023 春 江西鹰潭 高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，x R，恒有(4)()f xf x，且当 2,0)x 时，()f xx 1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)fffff（）A1 B-1 C0 D2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f xf xf xf xf x ，所以()f x的最小正周期是 8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0fffff ，(4)(0)0,(1)(3)ffff (3)0f，(5)(1)0ff，(6)(2)1ff，(7)(3)0,(8)(4)0ffff ，又()f x是周期为 8 的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)ffffffff(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0ffffffff，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)ffffffffffff 00(1)0001 ，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1fffff 故选：B 核心考点七：类周期函数【典型例题】例 29（2022天津一中高三月考）定义域为R