甘肃省玉门市第一中学2023学年高三最后一模数学试题(含解析)35116.pdf

2023 学年高考数学模拟测试卷 请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足3(1)1zz i，复数z的共轭复数是z，则zz（）A1 B0 C1 D1322i 2已知函数()32cosf xxx，若2(3)af，(2)bf，2(log 7)cf,则 a，b，c 的大小关系是（）Aabc Bcba Cbac Dbca 3 设函数()(1)xg xee xa（aR，e为自然对数的底数）,定义在R上的函数()f x满足2()()fxf xx，且当0 x 时，()fxx若存在01|()(1)2xx f xfxx，且0 x为函数()yg xx的一个零点，则实数a的取值范围为（）A,2e B(,)e C,)e D,2e 4如图，在平面四边形 ABCD 中，,120,1,ABBC ADCDBADABAD 若点 E 为边 CD 上的动点，则AE BE的最小值为（）A2116 B32 C2516 D3 5近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14.其中正确的个数为（）A0 B1 C2 D3 6已知函数21()(1)()2xf xaxxeaR若对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有123()()()f xf xf x，则实数a的取值范围是(）A 12，Be,4 C 14，D12,4e，7 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A1213 B1314 C2129 D1415 8已知幂函数()f xx的图象过点(3,5)，且1ae，3b，1log4c，则a，b，c的大小关系为（）Acab Bacb Cabc Dcba 9已知函数22,0,()1,0,xx xf xxx，则(1)f f（）A2 B3 C4 D5 10设x，y满足约束条件34100640280 xyxyxy，则2zxy的最大值是（）A4 B6 C8 D10 11已知函数 sin(2)f xx，其中(0,)2，若,()6xR f xf 恒成立，则函数 f x的单调递增区间为（）A,()36kkkz B2,()33kkkz C2,()33kkkz D2,()3kkkZ 12若函数 f x的图象如图所示，则 f x的解析式可能是（）A xexf xx B 21xfxx C xexf xx D 21xf xx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13函数23sincoscosyxxx在区间0,2上的值域为_.14已知，3,4，4cos5，5cos413，则sin4_.15请列举用 0,1,2,3 这 4 个数字所组成的无重复数字且比 210 大的所有三位奇数：_ 16等边ABC的边长为 2，则AB在BC方向上的投影为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知点(1,0),(1,0)MN，若点(,)P x y满足|4PMPN.（）求点P的轨迹方程；（）过点(3,0)Q 的直线l与（）中曲线相交于,A B两点，O为坐标原点，求AOB面积的最大值及此时直线l的方程.18（12 分）数列 na满足0na，11a 且1130nnnnaaaa.（1）证明：数列1na是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）求数列1nnaa的前n项和nS.19（12 分）已知矩形ABCD中，24ABBC，E，F 分别为AB，CD的中点.沿EF将矩形AEFD折起，使135AEB，如图所示.设 P、Q 分别为线段DF，BC的中点，连接PQ.（1）求证：/PQ平面DEB；（2）求二面角ABED的余弦值.20（12 分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛现从全校学生中随机抽取 50 名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这 50 名学生的竞赛成绩均在50，100内，并得到如下的频数分布表：分数段 50，60)60，70)70，80)80，90)90，100 人数 5 15 15 12 3（1）将竞赛成绩在70,100内定义为“合格”，竞赛成绩在50,70)内定义为“不合格”请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格 不合格 合计 高一新生 12 非高一新生 6 合计 （2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这 50 名学生中抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，求这 2 名学生竞赛成绩都合格的概率 参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，其中nabcd 20()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 21（12 分）已知函数 2ln1f xxxax，aR.（1）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为12yxb，求a，b；（2）当1x 时，231fxaxax，求实数a的取值范围.22（10 分）已知等差数列 na满足11a，公差0d，等比数列 nb满足11ba，22ba，35ba 1求数列 na，nb的通项公式；2若数列 nc满足3121123nnnccccabbbb，求 nc的前n项和nS 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】根据复数代数形式的运算法则求出z，再根据共轭复数的概念求解即可【题目详解】解：331zizi，13132213izii，则1322zi，1zz，故选：C【答案点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题 2、D【答案解析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x在R上为增函数，又由2222log 4log 733，分析可得答案【题目详解】解：根据题意，函数()32cosf xxx，其导数函数()32sinfxx，则有()32sin0fxx在R上恒成立，则()f x在R上为增函数；又由2222log 4log 733，则bca；故选：D【答案点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题 3、D【答案解析】先构造函数 212T xf xx，由题意判断出函数 T x的奇偶性，再对函数 T x求导，判断其单调性，进而可求出结果.【题目详解】构造函数 212T xf xx，因为 2fxf xx，所以 22211022T xTxf xxfxxf xfxx，所以 T x为奇函数，当0 x 时，0Txfxx，所以 T x在,0上单调递减，所以 T x在 R 上单调递减.因为存在 0112xx f xfxx，所以 000112f xfxx，所以 220000011111222T xxTxxx，化简得 001T xTx，所以001xx，即012x 令 12xh xg xxeexa x，因为0 x为函数 yg xx的一个零点，所以 h x在12x 时有一个零点 因为当12x 时，120 xhxeeee，所以函数 h x在12x 时单调递减，由选项知0a，102ae，又因为0aaeeaaheeaeee，所以要使 h x在12x 时有一个零点，只需使11022heea，解得2ea，所以 a 的取值范围为,2e，故选 D.【答案点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.4、A【答案解析】分析：由题意可得ABD为等腰三角形，BCD为等边三角形，把数量积AE BE分拆，设(01)DEtDCt，数量积转化为关于 t 的函数，用函数可求得最小值。详解：连接 BD,取 AD 中点为 O,可知ABD为等腰三角形，而,ABBC ADCD，所以BCD为等边三角形，3BD。设(01)DEtDCt AE BE223()()()2ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE=233322tt(01)t 所以当14t 时，上式取最小值2116，选 A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。5、C【答案解析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误.综合得出结论.【题目详解】使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以正确；使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以错误；使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904，所以正确.故选：C.【答案点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.6、C【答案解析】分析：先求导,再对 a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有 123f xf xf x，得到关于 a 的不等式组，再解不等式组得到实数 a 的取值范围.详解：由题得()(1)()xxxxfxaxexeaxxex ae.当 a1 时，()0fx，所以函数 f（x）在 01，单调递减，因为对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有 123f xf xf x，所以(1)(1)(0)fff，所以111,22aa 故 a1，与 a1 矛盾，故 a1 矛盾.当 1ae 时，函数 f(x)在0,lna单调递增，在(lna,1单调递减.所以2max1()(ln)lnln,2f xfaaaaaa 因为对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有 123f xf xf x，所以(0)(1)(ln)fffa，所以2111lnln,22aaaaaa 即211lnln1022aaaaa 令211()lnln1,(1)22g aaaaaaae，所以21()(ln1)0,2g aa 所以函数 g(a)在（1，e）上单调递减，所以max1()(1)02g ag，所以当 1ae 时，满足题意.当 ae时，函数 f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有 123f xf xf x，所以(0)(0)(1)fff,故 1+112a，所以4.a 故4.ea 综上所述，a 14，.故选 C.点睛：本题的难点在于“对区间 01，内的任意实数123xxx、，都有 123f xf xf x”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.7、C【答案解析】由题意知：2BC，5B C，设ACx，则2ABABx，在Rt ACB中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx得出答案.【题目详解】解：由题意知：2BC，5B C，设ACx，则2ABABx 在Rt ACB中，列勾股方程得：22252xx，解得214x 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx 故选 C.【答案点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.8、A【答案解析】根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【题目详解】依题意，得35，故3log 5(1,2)，故3log 5101ea，33log 51b，3log 51log04c，则cab.故选：A.【答案点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.9、A【答案解析】根据分段函数直接计算得到答案.【题目详解】因为22,0,()1,0,xx xf xxx所以2(1)(2)222fff.故选：A.【答案点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.10、D【答案解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求 z 的最大值【题目详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l：20 xy在可行域内平移当过点A时，2zxy取得最大值.由34100280 xyxy得：2,4A，max10z 故选：D【答案点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.11、A【答案解析】,()6xR f xf max()16f xf，从而可得6，()sin 26f xx，再解不等式222()262kxkkz即可.【题目详解】由已知，max()sin163f xf sin1,0,32，所以6，()sin 26f xx，由222()262kxkkz，解得，()36kxkkz.故选：A.【答案点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12、A【答案解析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【题目详解】对于选项 B,21xfxx为 奇函数可判断 B 错误;对于选项 C,当1x 时,0 xexf xx,可判断 C 错误;对于选项 D,22111=+xf xxxx,可知函数在第一象限的图象无增区间,故 D 错误;故选:A.【答案点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、30,2【答案解析】由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域【题目详解】231 cos231113sincoscossin2sin2cos2sin 22222262xyxxxxxxx0,2x，72,666x，则1sin 2,162x，13sin 20,622x.故答案为：3(0,2【答案点睛】本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论 14、3365【答案解析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得sin，sin4的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin4的值.【题目详解】，3,4，4cos5，5cos413，3,22，3,424，23sin1 cos5 ，212sin1 cos4413，sinsin443541233sincoscossin4451351365 .故答案为：3365【答案点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.15、231,321,301,1【答案解析】分个位数字是 1、3 两种情况讨论，即得解【题目详解】0,1,2,3 这 4 个数字所组成的无重复数字比 210 大的所有三位奇数有：（1）当个位数字是 1 时，数字可以是 231,321,301；（2）当个位数字是 3 时数字可以是 1 故答案为：231,321,301，1【答案点睛】本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.16、1【答案解析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在BC方向上的投影即可.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：0,0A，2,0B，1,3C，则：2,0AB，1,3BC ，2AB BC 且2AB，10BC，据此可知AB在BC方向上的投影为212AB BCAB.【答案点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）22143xy；（）AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为633xy.【答案解析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用1|2ABd（d表示原点到直线AB的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【题目详解】解：（）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a，1c.因此椭圆的方程为22143xy.（）设直线l的方程为3xty与椭圆22143xy交于点11(,)A x y，22(,)B xy，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)6 330tyty，即1226 334tyyt，122334y yt.AOB面积可表示为212121211|3()422AOBSOQyyyyy y 2222222216 3332 363()4934312343423434tttttttt 令231tu，则1u，上式可化为266333uuuu，当且仅当3u，即63t 时等号成立，因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为633xy.【答案点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),(,0)McN c，若点(,)P x y满足|2PMPNa且22ac，则P的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),(,0)McN c，若点(,)P x y满足|2PMPNa且22ac，则P的轨迹是双曲线.18、（1）证明见解析，132nan；（2）31nn【答案解析】（1）利用1130nnnnaaaa，推出1113nnaa，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知1111.()3 3231nna ann，利用裂项法，即可求解数列的前 n 项和.【题目详解】（1）由题意，数列 na满足0na 且1130nnnnaaaa 可得11130nnaa，即1113nnaa，所以数列1na是公差3d，首项11111a的等差数列，故113(1)32nnna，所以132nan.（2）由（1）知11111.()(32)(31)3 3231nna annnn，所以数列1.nna a的前 n 项和：1111111.33 1 23 1 13 223 2 13231nsnn =111 111111-.344 77 103231nn=111-)33131nnn（【答案点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前 n 项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19、（1）证明见解析（2）33【答案解析】(1)取DE中点 R，连接PR，BR,可知DEF中,/PR FE且1=2PRFE,由 Q 是BC中点,可得则有/BQ PR且=BQ PR,即四边形BQPR是平行四边形,则有/PQ BR,即证得/PQ平面DEB.(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:2,0,1m ,0,0,1n 然后利用空间向量的相关结论可求得二面角ABED的余弦值.【题目详解】（1）取DE中点 R，连接PR，BR，则在DEF中，/PR FE，且12PRFE，又 Q 是BC中点，所以1122BQBCEF，而且/BQ EF，所以/BQ PR，所以四边形BQPR是平行四边形，所以/PQ BR，又PQ 平面DEB，BR 平面DEB，所以/PQ平面DEB.（2）在平面ABE内作EGBE交AB于点 G，以 E 为原点，EG，EB，EF分别为 x，y，x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为0,0,0E，0,2,0B，2,2,2D，所以0,2,0EB，2,2,2ED，设平面BED的一个法向量为,mx y z，则0,0,m EDm EB即22200 xyzy，取1z，得2,0,1m ，又平面ABE的一个法向量为0,0,1n，所以13cos,33 1m nm nmn.因此，二面角ABED的余弦值为33【答案点睛】本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.20、（1）见解析；（2）310P 【答案解析】（1）补充完整的22列联表如下：合格 不合格 合计 高一新生 12 14 26 非高一新生 18 6 24 合计 30 20 50 则2K的观测值250(12614 18)2254.3273.8413020242652k，所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关（2）抽取的 5 名学生中竞赛成绩合格的有530350名学生，记为,a b c，竞赛成绩不合格的有520250名学生，记为,m n，从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生的基本事件有：,ab ac bc am an bm bn cm cn mn，共 10 种，这 2 名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,ab ac bc，共 3 种，所以这 2 名学生竞赛成绩都合格的概率为310P 21、（1）1414ab；（2）1,【答案解析】(1)对函数求导，运用 112f 可求得a的值，再由 1,1f在直线上，可求得b的值；(2)由已知可得2ln0 xaxax恒成立，构造函数 2lng xxaxax，对函数求导，讨论a和 0 的大小关系，结合单调性求出最大值即可求得a的范围.【题目详解】（1）由题得 ln1 2fxxax，因为 yf x在点 1,1f与12yxb相切 所以 111221112fafab ，1414ab（2）由 231fxaxax得2ln0 xaxax，令 2lng xxaxax，只需 max0g x 21212axaxgxaxaxx，设 221h xaxax（1x），当0a 时，0gx，g x在1x 时为增函数，所以 10g xg，舍；当0a 时，h x开口向上，对称轴为14x，110ha，所以 g x在1x 时为增函数，所以 10g xg，舍；当0a 时，二次函数 h x开口向下，且 010h，所以 h x在0 x 时有一个零点0 x，在00,x时 0h x，在0,x 时 0h x，当 110ha 即1a 时，h x在1,小于零，所以 g x在1x 时为减函数，所以 10g xg，符合题意；当 110ha 即1a时，h x在01,x大于零，所以 g x在01,x时为增函数，所以 010g xg，舍.综上所述：实数a的取值范围为1,【答案点睛】本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值 22、121nan，13nnb；23nnS.【答案解析】1由11a，公差0d，有1，1 d，1 4d成等比数列，所以21114dd，解得2d.进而求出数列 na，nb的通项公式；2当1n 时，由121cab，所以13c，当2n时，由3121123nnnccccabbbb，31121231nnnccccabbbb，可得12 3nnc，进而求出前n项和nS【题目详解】解：1由题意知，11a，公差0d，有1，1 d，1 4d成等比数列，所以21114dd，解得2d 所以数列 na的通项公式21nan 数列 nb的公比3q，其通项公式13nnb 2当1n 时，由121cab，所以13c 当2n时，由3121123nnnccccabbbb，31121231nnnccccabbbb，两式相减得1nnnncaab，所以12 3nnc 故13,12 3,2nnncn 所以 nc的前n项和23132 32 32 32 3nnS 131 33231 3nn，2n 又1n 时，1113Sa，也符合上式，故3nnS.【答案点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题