2020年中考数学基础题提分精讲精练专题11相似形44794.pdf

1专题 11相似形必考点 1 比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a：bm：n（或nmba）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcba4、比例外项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例dcba（或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abba（或 a:b=b:c时，我们把 b叫做 a 和 d 的比例中项。8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。9、比例的基本性质：如果 a：bc：d 那么 adbc 逆命题也成立，即如果 adbc，那么a：bc：d10、比例的基本性质推论：如果 a：b=b：d 那么 b2=ad，逆定理是如果 b2=ad 那么 a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。11、合比性质：如果dcba，那么ddcbba12等比性质：如果nmdcba，（0mdb），那么bandbmca说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为 k，这种方法思路单一，方法简单不易出错。13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，2叫做把这条线段黄金分割。说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段 AB 上截取这条线段的215 倍得到点 C，则点 C 就是 AB 的黄金分割点。【典例 1】（2019四川中考真题）若:3:4ab，且14a b，则2a b的值是（）A4B2C20D14【答案】A【解析】解：由 a：b 3：4:3:4ab 知34ba，所以43ab 所以由14a b 得到：4143aa，解得6a 所以8b 所以22 6 8 4a b 故选：A【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积若a cb d，则adbc【举一反三】1 （2019安徽初三月考）若34yx，则x yx的值为（）A1B47C54D74【答案】D【解析】34yx，x yx=434=74，故选 D2（2019河南初三期末）已知23a b（a0，b0），下列变形错误的是（）3A23abB2a=3bC32baD3a=2b【答案】B【解析】解：由23ab得，3a=2b，A、由等式性质可得：3a=2b，正确；B、由等式性质可得 2a=3b，错误；C、由等式性质可得：3a=2b，正确；D、由等式性质可得：3a=2b，正确；故选 B【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积3（2019河南初三期中）已知b5a13，则abab的值是（）A23B32C94D49【答案】D【解析】b5a13，设出 b=5k，得出 a=13k，把 a，b 的值代入abab，得，ab13k5k8k4=ab13k5k18k 9故选 D必考点 2 平行线分线段成比例1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。43平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【典例 2】（2019青海中考真题）如图，/AD BE CF，直线12l l、与这三条平行线分别交于点、A BC和点D E F、已知 AB=1，BC=3，DE=1.2，则 DF 的长为（）A 3.6B4.8C 5D 5.2【答案】B【解析】解：/AD BE CF，ABDEBCEF，即1 1.23EF，3.6EF，53.61.24.8DF EF DE，故选：B【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【举一反三】1 （2019四川中考真题）如图，在ABC中，/DEBC，9AD，3DB，2CE，则AC的长为（）A6B7C8D 9【答案】C【解析】/DEBC，ADAEDBEC，即932AE，6AE，6 2 8ACAEEC 故选：C【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出 AE2 （2019广西中考真题）如图，在ABC中，,DE分别是,AB AC边上的点，/DEBC，若2,3,4ADABDE，则BC等于（）A5B6C7D 8【答案】B6【解析】解：/DEBC，ADEABC，ADDEABBC，即243 BC，解得：6BC，故选 B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键3.（2019四川中考真题）如图，在ABC中，D 在 AC 边上，1 2ADDC：，O 是 BD 的中点，连接 AO并延长交 BC 于 E，则BE EC：（）A1：2B1：3C1：4D2：3【答案】B【解析】解：如图，过 O 作/OGBC，交 AC 于 G，O 是 BD 的中点，G 是 DC 的中点又1 2ADDC：，ADDGGC，2121AGGCAOOE：，：，2AOBBOESS：设2BOEAOBSS SS，又BOOD，24AODABDSS SS，1 2ADDC：，7287BDCABDCDOESSS SS四边形，93AECABESS SS，3193ABEAECSBESEC SS故选：B【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式必考点 3相似三角形1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。（2）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。8（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。【典例 3】（2019山东中考真题）如图，在ABC中，2AC，4BC，D为BC边上的一点，且CADB 若ADC的面积为a，则ABD的面积为（）A 2aB 52aC3aD 72a【答案】C【解析】【详解】CADB，ACDBCA，ACDBCA，92ACDBCASACSAB，即14BCAaS，解得，BCA的面积为4 a，ABD的面积为：43a aa，故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.【举一反三】1（2019四川中考真题）如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C相似的是（）A BCD【答案】B【解析】解：因为111A B C中有一个角是 135，选项中，有 135角的三角形只有 B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型2 （2019四川中考真题）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使:1:3DEAD，连结 EF 交 DC于点 G，则:DEGCFGSS（）10A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】解：设DE x，:1:3DE AD，3ADx，四边形 ABCD 是平行四边形，/ADBC，BCAD3x，点 F 是 BC 的中点，1322CFBCx，/ADBC，DEGCFG，224392DEGCFGSDExSCFx，故选：D【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出 CF 是解本题的关键3 （2019海南中考真题）如图，在Rt ABC中，90 C，5AB，4BC 点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作PQ AB交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC时，AP的长度为（）11A 813B1513C 2513D 3213【答案】B【解析】解：90C，5AB，4BC，22ACABBC3，PQ AB，ABDBDQ，又ABDQBD，QBDBDQ，QBQD，2QPQB，PQ AB，CPQ CAB，CP CQ PQCA CBAB，即42345CPQBQB，解得，2413CP，1513AP CACP，故选 B【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键121（2019内蒙古中考真题）如图，D E、分别是ABC边,AB AC上的点，ADE ACB，若2,6,4ADABAC，则AE的长是（）A 1B 2C3D 4【答案】C【解析】解：,ADE ACB AA ，ADE ACB，AD AEACAB，即246AE，解得，3AE，故选：C【点睛】本题考查分线段成比例定理，熟练掌握运算法则是解题关键2（2019太原市志达中学校初三月考）若234abc，则abca的值为（）A 2B 19C12D 9【答案】C【解析】设，则 a=2k，b=3k，c=4k，原式，故选：C.13【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设 k 法”求解更简便3（2019广西中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，/DE BC，ACDB，若2ADBD，6BC，则线段CD的长为（）A 23B 3 2C26D 5【答案】C【解析】解：设2ADx，BD x，3AB x，/DE BC，ADE ABC，DE AD AEBCAB AC，263DExx，4DE，23AEAC，ACDB，ADE B，ADE ACD，AA ，ADE ACD，AD AE DEACAD CD，设2AEy，3ACy，23ADyyAD，146ADy，246yCDy，26CD，故选 C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.4（2019广西中考真题）如图，AB EF DC，AD BC，EF与 AC交于点 G，则是相似三角形共有（）A 3 对B 5 对C6 对D 8 对【答案】C图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，AB EF DC，AD BCAEG ADCCFGCBA共有 6 个组合分别为：AEG ADC，AEG CFG，AEG CBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA故选：C【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5 （2019黑龙江中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线BD上，EM AD，交AB于点M，EN AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）.A AMNEBMDEB AMANAB ADCBCBEME BDD BD BCBE EM15【答案】D【解析】解：在ABCD中，EM AD易证四边形AMEN为平行四边形易证BEMBADENDAMNE DEBMBMBE，A 项错误AMNDABAD，B 项错误BCADBDME ME BE，C 项错误BDACBCBEME ME，D 项正确故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键.6（2019湖北中考模拟）在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的12后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A（5，1）B（4，3）C（3，4）D（1，5）【答案】C【解析】以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的12后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点 C 的坐标为（3，4）故选 C点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键7 （2019辽宁中考真题）如图，点 P（8，6）在ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内16将ABC 缩小到原来的12，得到ABC，点 P 在 AC上的对应点 P的的坐标为（）A（4，3）B（3，4）C（5，3）D （4，4）【答案】A【解析】点 P（8，6）在ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来的12，得到ABC，点 P 在 AC上的对应点 P的的坐标为：（4，3）故选：A【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键8（2019西藏中考真题）如图，在ABC中，,DE分别为ABAC、边上的中点，则ADE与ABC的面积之比是（）A14：B1:3C1:2D 2:1【答案】A【解析】由题意可知：DE是ABC的中位线，1/2DE BCDEBC，ADEABC，214ADEABCSDESBC，17故选：A【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型9（2019河南初三期中）如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】解：AFBF，AFB=90，AB=10，D 为 AB 中点，DF=12AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF 平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，EDADBCAB即51610ED，解得：DE=8，EF=DE-DF=3，故选 B【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键1810 （2019江苏中考模拟）如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BADC，AB6，BD4，则 CD 的长为_【答案】5【解析】解：BAD=C，B=B，BADBCA，BABDBCBAAB=6，BD=4，64 6BC，BC=9，CD=BC-BD=9-4=5【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.11（2019广西中考真题）如图，以点O为位似中心，将OAB放大后得到OCD，2,3OAAC，则ABCD_【答案】25【解析】解：以点O为位似中心，将OAB放大后得到OCD，2,3OAAC，222 3 5OAABOCCD19故答案为：25【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键12（2016江苏中考真题）如图，ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DEBC，AD：AB=1：3，则ADE与ABC 的面积之比为_【答案】1：9【解析】由 DEBC，可得ADEABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得 SADE：SABC=（AD：AB）2=1：9.考点：相似三角形的性质.13 （2019辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，点,A B的坐标分别是 4,25,0AB,，以点O为位似中心，相们比为12，把ABO缩小，得到11A B O，则点A的对应点1A的坐标为_【答案】2,1或2,1【解析】解：以点O为位似中心，相似比为12，把ABO缩小，点A的坐标是4,2A则点A的对应点1A的坐标为114,222或114,222，即 2,1或2,1，故答案为：2,1或2,1【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.14 （2019内蒙古中考真题）已知三个边长分别为 2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_20【答案】23.75cm【解析】解：如图，对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知5105x，解得2.5x，即阴影梯形的上底就是3 2.50.5（cm）再根据相似的性质可知252.5y，解得：1y，所以梯形的下底就是3 12 cm，所以阴影梯形的面积是 220.5 3 23.75cm 故答案为：23.75cm【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例15（2019四川初三）已知654abc，且26abc，则a的值为_【答案】12【解析】654abc，设 a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，216x+5x-8x=6，解得：x=2，故 a=12故答案为 12点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键16（2019四川中考模拟）如图，已知 ABCD，若14ABCD，则OAOC=_【答案】14【解析】ABCD，AOBCOD，14OAABOCCD，故答案为14【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键17 （2019青海中考真题）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为51：，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_cm.【答案】50【解析】解：如图；AMBN、都与水平线垂直，即/AMBN；22易知：ACMBCN；ACAMBCBN，杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为51：，51AMBN，即5AMBN；当10BNcm时，50AMcm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm故答案为：50【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键