2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题03平面向量小题全归类(解析版)43419.pdf

专题 03 平面向量小题全归类【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等【核心考点目录】核心考点一：平面向量基本定理及其应用 核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用 核心考点三：平面向量的数量积 核心考点四：平面向量的模与夹角 核心考点五：等和线问题 核心考点六：极化恒等式 核心考点七：矩形大法 核心考点八：平面向量范围与最值问题【真题回归】1（2022全国高考真题）已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,a cb c，则t（）A6 B5 C5 D6【答案】C【解析】3,4ct,cos,cos,a cb c,即931635ttcc,解得5t,故选：C 2（2022全国高考真题）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAm CDn，则CB（）A32mn B23mn C32mn D23mn【答案】B【解析】因为点 D 在边 AB 上，2BDDA，所以2BDDA，即2CDCBCA CD，所以CB 3232CDCAnm23mn 故选：B 3（2022北京高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCC P 为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PA PB的取值范围是（）A 5,3 B 3,5 C 6,4 D 4,6【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinP，0,2，所以3 cos,sinPA，cos,4sinPB，所以 cos3 cos4sinsinPA PB 22cos3cos4sinsin 1 3cos4sin 1 5sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以41 5sin6 ，即4,6PA PB；故选：D 4（2022天津高考真题）在ABC中，,CAa CBb，D 是 AC 中点，2CBBE，试用,a b表示DE为_，若ABDE，则ACB的最大值为_【答案】3122ba 6【解析】方法一：31=22DE CECDba，,(3)()0ABCBCAba ABDEbaba，2234baa b222 333cos244a ba bbaACBa ba ba b，当且仅当3ab时取等号，而0ACB，所以(0,6ACB 故答案为：3122ba；6 方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)EBCA x y，3(,),(1,)22xyDEABxy，23()(1)022xyDEABx22(1)4xy，所以点A的轨迹是以(1,0)M 为圆心，以2r 为半径的圆，当且仅当CA与M相切时，C最大，此时21sin,426rCCCM 故答案为：3122ba；6【方法技巧与总结】1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程 进行求解 2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决【核心考点】核心考点一：平面向量基本定理及其应用【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果【典型例题】例 1（2022全国模拟预测）如图，在ABC中，点 D 是边 AB 上一点且2BDAD，E 是边 BC 的中点，直线 AE 和直线 CD 交于点 F，若 BF 是ABC的平分线，则BCBA（）A4 B3 C2 D12【答案】C【解析】因为 BF 是ABC的平分线，所以存在一个实数使得BABCBFBABC，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为 E 是边 BC 的中点，所以2BABEBFBABC，又点 A，E，F 共线，所以21BABC（三点共线的应用：OAOBOC（，为实数），若 A，B，C 三点共线，则1）因为2BDAD，所以32BDBCBFBABC，又点 C，F，D 共线，所以312 BABC，联立，得112 BABC，则2BCBA，即2BCBA.故选：C 例 2（2022全国模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且EBmDE（mR），若ACAEAD（，R）且20，则m（）A13 B3 C14 D4【答案】B【解析】方法 1：在平行四边形ABCD中，因为EB mDE，所以ABAEm AEAD，所以11AEABm1mADm，又ABDCACAD，111mAEACADADmm，11ACm AEm AD，又ACAEAD，1m，1 m，（平面向量基本定理的应用）又20，12 10mm，解得3m，故选：B.方法 2：如图，以 A 为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则0,0A，设,0B a，,D b c，ABDC 则,C ab c，又EBmDE，设,E x y，则11mbaxaxm xbmym ycmcym 即：,11mbamcEmm,11mbamcAEmm，,ACab c，,ADb c，又ACAEAD，20 2ACAEAD ,=2,11mbamcab cb cmm 2()121abmabbmmcccm 由得1=1mm，将其代入得3m，故选：B.例 3（2022北京牛栏山一中高三期中）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F 若AB a=，ADb，则AF（）A1344ab B2133ab C3144ab D1233ab【答案】D【解析】12AEADDEADAB.设AFAE01，则1122BFAFABADABABADAB,又BDADAB，且,B F D三点共线，则,BF BD共线，即R，使得BFBD，即12ADABADAB，又,AB AD不共线，则有12 ，解得2323，所以，22112123323333AFAEADABABADab.故选：D.例 4（2022广东广州高三期中）如图，在平行四边形ABCD中，,M N分别为,AB AD上的点，且42,53AMAB ANAD，连接,AC MN交于P点，若APAC，则的值为（）A35 B57 C411 D815【答案】C【解析】设MPkMN 则45APAMMPABkMN 显然2435MNANAMADAB 得42424153535kAPABkADABADk AB 显然ACADAB 因为APAC 所以有24135kADk ABADAB 即24135kADk ABADAB 根据向量的性质可知23415kk 解得611411k 故选：C 例 5（2022安徽省舒城中学模拟预测（文）已知平面向量OA，OB满足2OAOB，2OA OB，点D 满足2DAOD，E 为AOB的外心，则OB ED的值为（）A83 B83 C163 D163【答案】A【解析】2OAOB，cos4c2osOA OOA OBBAOBAOB，1cos2AOB，23AOB，以 O 为原点，OA，垂直于 OA 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则0,0O，2,0A，1,3B，设,0D x 又2DAOD，知,022,0 xx，解得23x，2,03D 又 E 为AOB的外心，123AOEAOB，OEEA 3AOEEAOOEA ，AOE为等边三角形，1,3E，1,33ED，83OB ED 故选：A 例 6（多选题）（2022湖北华中师大一附中高三期中）如图，ABC中，13BDBC，12AEAC，AD与BE交于点F，则下列说法正确的是（）A1233ADABAC B12BFBE C:1:3BFDAFESS D20AFBFCF【答案】BCD【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设,A B C三点共线，O 为线外一点，则1OBmOCm OA，即OA与OC前系数和为 1，证：,A B C三点共线，ABmAC，OBOAm OCOA，1OBmOCm OA 11213333ADABBDABBCABACABABAC，故 A 错；,B F E三点共线，112AFABAEABAC，,A F D三点共线，233AFADABAC，23132，解得1234，1122AFABAE，F 为 BE 的中点，12BFBE，故 B 对；111443BFDABDABCSSS，111222AFEABEABCSSS，:1:3BFDAFESS，故 C 对；取 AB 中点 G，BC 中点 H，如下图，则,G F H三点共线，2AFBFCFAFBFBFCFFBFBFFAC 220FGFHEAEC ，故 D 对 故选：BCD 例 7（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测）在ABC中，13AADB，34AAEC，BE与DC交于点F，若AFABAC，则的值为_.【答案】79【解析】由已知可得，13AADB，34AAEC.因为，,D F C三点共线，设DFmDC，01m.13DCACADACAB，则111333mAFADDFABm ACABABmAC.1233mmBFAFABABmACABABmAC，又34BEAEABABAC，因为,B E F三点共线，则存在Rn，使得BFnBE，即233344mnABmACnABACnABAC，因为，,AB AC不共线，所以有2334mnnm，解得2389mn，所以，1293AFABAC，即19，23，79.故答案为：79.例 8（2022全国高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AFABADxy，则xy_ 【答案】12【解析】如图，以 A 为原点，分别以,AB AD为,x y轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为3a，正方形EFGC边长为a 可知0,0A，2,0Ba，0,2Da，31DFa 则31cos30Fxa，31sin302Fyaa，即3353,22Faa 又AFABADxy，3353,2,00,22,222aaxayaaxay 即33225322axaaya，即33532222axayaa，化简得12xy 故答案为：12 核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用【规律方法】1、平面向量共线定理：已知OAOBOC，若1，则,A B C三点共线；反之亦然 2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量11,ax y，22,bxy，则/ab的充要条件是12210 x yx y；（2）若/(0)ab b，则ab【典型例题】例 9（2022全国高三阶段练习（理）已知点G是ABC的中线AF的中点，过点G的直线交边AB于点D，交边AC于点E若0ADAB，0AEAC，则的最小值为（）A12 B1 C2 D4【答案】B【解析】G是AF中点，1124AGAFABAC，0ADAB，0AEAC，1144AGADAE，又,D G E三点共线，11144，11112144244244（当且仅当12时取等号），的最小值为1.故选：B.例 10（2022安徽合肥一中高三阶段练习）已知向量6,1a ，5,2b，且/3ambab，则m _.【答案】13【解析】由题设(56,1 2)ambmm，3(23,5)ab，又/3ambab，所以5(56)23(12)mm，解得13m .故答案为：13 例 11（2022 全国高三专题练习）已知1,2a，1,1b，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_【答案】5,00,3【解析】因为1,2a，1,1b，所以1,2ab，因为a与ab的夹角为锐角，所以0aab，且a与ab不共线，所以12 20且2 12，解得53 且0，所以的取值范围为5,00,3，故答案为：5,00,3 例 12（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测）在ABC中，13AADB，34AAEC，BE与DC交于点F，若AFABAC，则的值为_.【答案】79【解析】由已知可得，13AADB，34AAEC.因为，,D F C三点共线，设DFmDC，01m.13DCACADACAB，则111333mAFADDFABm ACABABmAC.1233mmBFAFABABmACABABmAC，又34BEAEABABAC，因为,B E F三点共线，则存在Rn，使得BFnBE，即233344mnABmACnABACnABAC，因为，,AB AC不共线，所以有2334mnnm，解得2389mn，所以，1293AFABAC，即19，23，79.故答案为：79.例 13（2022吉林东北师大附中模拟预测）在ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且23ANAC，13AMAB，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足340(0)OAOBOC，则_ 【答案】8【解析】因为23ANAC，13AMAB，所以23ANOCOA，13AMOBOA，即32OCANOA，3OBAMOA，因为340OAOBOC，所以33 3402OAAMOAANOA，即769AOANAM，即6977AOANAM，因为M，O，N三点共线，故69177，解得8 故答案为：8 例 14（2022辽宁沈阳高三阶段练习）如图，点 G 为ABC的重心，过点 G 的直线分别交直线 AB，AC 点D，E 两点，3(0)ABm AD m，3(0)ACn AE n，则 mn_ 【答案】1【解析】延长AG交BC于F，因为点 G 为ABC 的重心，则11211,22333AFABACAFABAC，所以1133AGABAC 因为3(0)ABm AD m，3(0)ACn AE n，所以AGmAD n AE，因为,D G E三点共线，所以1mn.故答案为：1 核心考点三：平面向量的数量积【规律方法】1、向量的数量积：设两个非零向量,a b的夹角为，则|cosab叫做a与b的数量积，记作a b 2、数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度|a与b在a的方向上的投影|cosb的乘积 3、设向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y，由此得到：（1）若(,)ax y，则222|axy或22|axy（2）设1122,A x yB xy，则 A，B 两点间的距离AB 222121|ABxxyy（3）设两个非零向量,a b，且11,ax y，22,bxy，则ab12120 x xy y（4）若,a b都是非零向量，是a与b的夹角，则121222221122cos|x xy ya ba bxyxy 【典型例题】例 15（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期中）已知 A，B，C，D 在同一平面上，其中162BCBD，若点 B，C，D 均在面积为36的圆上，则ABACBADA（）A36 B36 C18 D18【答案】B【解析】依题意可知：圆的半径为6，设圆心为O，因为162BCBD，所以BD为圆的直径，因为6BC，则BCO为等边三角形，所以,BC BD所成的角为60，则,CB BD所成的角为120，所以()()cos12036ABACBADACB BDCB BD ，故选：B.例 16（2022山东淄博高三期中）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且6,4bc，点O为外心，则AO BC（）A20 B10 C10 D20【答案】C【解析】记BC的中点为D，连结,AO OD AD，如图，因为点O为ABC的外心，D为BC的中点，所以ODBC，则0OD BC，所以AO BCADODBCAD BCOD BCAD BC2222111136 16102222ACABACABACABbc.故选：C.例 17（2022江苏南京市天印高级中学高三期中）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，G是菱形ABCD内一点，若0GAGBGC，则AG AB（）A12 B1 C32 D2【答案】D【解析】在菱形ABCD，120BAD，则ABC为等边三角形，因为0GAGBGC，所以GAGBGC，设点M为BC的中点，则2GAGD，所以GA GD，所以,G A M三点共线，所以AM为BC的中线，同理可得点,AB AC的中线过点G，所以点G为ABC的重心，故22 333AGAM，在等边ABC中，M为BC的中点，则30BAM，所以2 332232AG AB.故选：D.例 18（2022四川省遂宁市教育局模拟预测（文）在ABC中，3AC，5BC，D为线段BC的中点，12ADBC，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则2AE CB（）A73 B4 C7 D6【答案】C【解析】因为在ABC中，D为线段BC的中点，所以12ADABAC，即2ADABAC，因为3AC，5BC，12ADBC，所以22242cosADABACAC ABA，即2166cosABABA，因为BCACAB，所以2222cosBCACABAC ABA，即2166cosABABA，所以，22166cos6cosABABAABABA，即12cos0ABA，所以cos0A，因为0,A，所以2A，即ABC为直角三角形，所以22216ABBCAC 因为E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，所以AEADDE，CBABAC，DECB，所以22222AE CBCBCAADDEADABBACD 221697ABACABACABAC 故选：C 例 19（2022江苏南通高三期中）已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为 1，1122AOABAC，BA在BC上的投影向量为14BC，则OA BC（）A3 B1 C1 D3【答案】B【解析】1122AOABAC，则O为BC中点，O又是外接圆圆心，则ABC为直角三角形，14BC为BA在BC上的投影向量，cos14BABBCBCBC，cos14BABBC，21cos4B，1cos2B 3B，6C，221122OA BCAO BCABACACABACAB ABC的外接圆半径为 1，2BC，1AB，3AC 13 112OA BC ，故选：B.核心考点四：平面向量的模与夹角【规律方法】(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为0,(2)求非零向量,a b的夹角一般利用公式121222221122cos|x xy ya ba bxyxy先求出夹角的余弦值，然后求夹角也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象【典型例题】例 20（2022湖北武汉市武钢三中高三阶段练习）设2a，3b，若对x R，axbab，则a与b的夹角等于（）A30 B60 C120 D150【答案】D【解析】axbab，设cos,a bt 22axbab，即2222222axa bx baa bb ，即244 3344 33xtxt对x R恒成立，即234 34 330 xxtt对x R恒成立，24 3124 330tt，解得32t ，即2cos3,a b ，又0,180a b，a与b的夹角等于 150，故选：D.例 21（2022江苏连云港高三期中）已知向量a，b满足5a，1b，且对任意实数x，不等式axbab恒成立，设a与b的夹角为，则tan2（）A125 B125 C43 D43【答案】D【解析】222222222 5 cos12 5cos0,axbabaxa bx baa bbxx要想不等式axbab恒成立，只需22(2 5cos)4(12 5cos)0(5cos1)0，而2(5cos1)0，所以2(5cos1)0，即55cos10cos0,5 ，则有212 5sin1 cos155，则有2 5sin5tan2cos55，所以22tan44tan21tan143，故选：D 例 22（2022甘肃兰州五十一中高三期中（理）已知向量a与b的夹角是56，且aab，则向量a与ab的夹角是（）A60 B30 C150 D120【答案】D【解析】由向量的平方等于模长的平方可得 222222aabaaa bb，所以22252cos6aaa bb，解得3 ab，所以2222cos,1cos,2aabaa baa ba ba aba abaa，即向量a与ab的夹角为120，故选：D.例 23（2022浙江绍兴一模）已知向量a，b满足1a，27ab，,150a b，则b（）A2 B3 C1 D32【答案】D【解析】因为27ab，所以2222224444cos,7ababa baba ba b，因为1a，,150a b，所以2142 37bb，即22330bb，解得b 32或3b （舍）所以，b 32 故选：D 例 24（2022全国高三专题练习）已知向量a，b满足1a，2b，3,2ab，则2ab（）A2 2 B2 5 C17 D15【答案】C【解析】因为3,2ab，所以5ab，所以222|2|525abaa bba b，则0a b，所以2222|44|1 1617abaa bb，即217ab 故选：C 例 25（2022山西晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知ABC为等边三角形，D为BC的中点，3AB AD，则BC（）A2 B3 C2 D4【答案】C【解析】由题意知ABC为等边三角形，D为BC的中点，故30BAD，设BCa，则2333cos3224AB ADABADBADaaa，所以2a，故选：C.核心考点五：等和线问题【规律方法】等和线 平面内一组基底,OA OB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线 当等和线恰为直线AB时，1k；当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；当等和线过O点时，0k；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【典型例题】例 26（2022全国高三专题练习）在矩形ABCD中，4AB，3AD，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足21AMAN，设ACxAMyAN，则23xy的最小值为（）A48 B49 C50 D51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，则0,0A，4,0B，4,3C，0,3D，设,0M m，0,Nn，因为21AMAN，所以21mn，102m，01n 因为ACxAMyAN，所以4xm，3yn，所以898981823225252449nmxymnmnmnmn 当且仅当818nmmn，即27m，37n 时取等号 故选：B 例 27（2022山东烟台三模）如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若APxAByAC，则22xy的最大值为（）lAQBOA1B1P A83 B2 C43 D1【答案】A【解析】作 BC 的平行线与圆相交于点 P，与直线 AB 相交于点 E，与直线 AC 相交于点 F，设APAEAF，则1，BC/EF，设AEAFkABAC，则40,3k ,AEkAB AFkAC，APAEAFk ABk AC,xk yk 22xy=8223kk（）故选：A 例 28（2022全国高一期末）在ABC中，M 为 BC 边上任意一点，N 为线段 AM 上任意一点，若ANABAC（，R），则的取值范围是（）A10,3 B1 1,3 2 C0,1 D1,2【答案】C【解析】由题意，设ANtAM，01t，当0t时，0AN，所以0ABAC，所以0，从而有0；当01t 时，因为ANABAC（，R），所以BtAAAMC，即BAAMACtt，因为M、B、C三点共线，所以1tt，即0,1t 综上，的取值范围是0,1 故选：C 例 29（2022江苏高二）如图，已知点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行，若OPxOByOA，当12x 时，y的取值范围是（）A 0,1 B1,12 C1 3,2 2 D1 3,2 2【答案】D【解析】/ODAB，OPxOAyOB，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA与OB的反向延长线为两邻边，当12x 时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在EF上，13,22CEOA CFOA，y的取值范围为1 32 2，故选：D 核心考点六：极化恒等式【规律方法】极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222|2(|)ababab 证明：不妨设,ABa ADb，则CAab，DBab 22222C2ACAabaa bb 222222DBDBabaa bb 两式相加得：22222222ACDBabABAD（2）极化恒等式：上面两式相减，得：2214abab极化恒等式 平行四边形模式：2214a bACDB 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14 三角形模式：2214a bAMDB（M 为 BD 的中点）【典型例题】例 30（2022山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是_【答案】10,4【解析】如下图所示：设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，22214PM PNPOOMPOOMPOOMPO，当P为正方形ABCD的某边的中点时，min12OP，当P与正方形ABCD的顶点重合时，max22OP，即1222OP，因此，2110,44PM PNPO 故答案为：10,4 例 31（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形 ABCD 中，EF 是 CD 边上长为 6 的可移动的线段，4AD，8 3AB，12BC ，则BE BF的取值范围为 _ 【答案】99,148【解析】在BC上取一点G，使得4BG，取EF的中点P，连接DG，BP，如图所示：A B C M 则8 3DG，8GC，2288 316CD，8 3tan38BCD，即60BCD 22222112944BE BFBEBFBEBFBPFEBP，当BPCD时，BP取得最小值，此时12 sin606 3BP，所以2min6 3999BE BF 当F与D重合时，13CP，12BC，则222112132 12 131572BP，当E与C重合时，3CP，12BC，则22211232 12 31172BP ，所以max1579148BE BF，即BE BF的取值范围为99,148 故答案为：99,148 例 32（2022全国高一）设三角形 ABC，P0是边 AB 上的一定点，满足 P0B=14AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒有00PB PCP B PC，则三角形 ABC 形状为_【答案】等腰三角形【解析】取 BC 的中点 D，连接 PD，P0D，如图所示：22111224PB PCPDBCPDBCPDBC ，同理2200014PB PCPDBC，00PB PCP B PC，222201144PDBCPDBC 0PDP D0P DAB，设 O 为 AB 的中点，001/,2P BOBP DOCOCABACBC即三角形 ABC 为以 C 为顶角的等腰三角形 故答案为：等腰三角形 例 33（2022全国高三专题练习）已知直线:2l yxa与圆222:0Cxayrr相切于点01,My，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA PM的最大值为_【答案】36 18 5【解析】圆222:0Cxayrr的圆心的为,0a，因为直线l与圆C相切于点01,My则 021ya 所以2223,2121araar得2440aa，所以2a，3 2r，所以直线方程为4yx，圆的方程为22218xy，所以4,0A，1,3M，AM的中点5 3,2 2Q，则22221144PA PMPQQAPQQMPQAMQCrAM 因为22533 102222QC，22333 2AM 所以222221123618 544QCrAMQCr QCrAM 故3618 5PA PM，所以PA PM的最大值为36 18 5 故答案为：36 18 5 核心考点七：矩形大法【规律方法】矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：2222OAOCOBOD【典型例题】例 34（贵州省贵阳市第一中学 2022 届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学（文）试题）已知平面向量a，b，c，满足2aba b，且20acbc，则ac的最小值为（）A312 B732 C32 D72【答案】B【解析】因为2aba b，所以21cos2 22a ba bab，因为0a b，所以3a b 不妨设1,3A，2,0B，,C x y，=2,0b OB，1,3aOA，,cOCx y，则2,bcxy，212,32acxy，因为20acbc，所以212320 xxy y，化简为：22533444xy，所以,cx y对应的点,C x y是以53,44M为圆心，半径为32R 的圆，所以ac的最小值为2253373134422MAR，故选：B 例 35（北京市人大附中朝阳学校 2021-2022 学年度高一下学期期末模拟数学试题（1）设向量a，b，c满足|1ab，12a b，()()0acbc，则|c的最小值是（）A312 B312 C3 D1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别为3 1,22，3,221，设c的坐标为,x y，因为()()0acbc，所以3131,02222xyxy ，化简得223124xy，表示以3,02为圆心，12为半径的圆，则|c的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122，故选：B 例 36（四川省资阳市 2021-2022 学年高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知e为单位向量，向量a满足：50aeea，则ae的最大值为（）A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】可设1,0e，,ax y，则 221,5,6055aeexyxayxxy，即2234xy，则15x，22y，22184axyxe，当5x 时，84x取得最大值为 6，即ae的最大值为 6 故选：C 核心考点八：平面向量范围与最值问题【规律方法】平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论（2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果【典型例题】例 37（2022全国高三专题练习）已知在OAB中，2OAOB，2 3AB，动点P位于线段AB上，当PA PO取得最小值时，向量PA与PO的夹角的余弦值为（）A2 77 B2 77 C217 D217【答案】C【解析】因为在OAB中，2OAOB，2 3AB，所以6OAB，所以 PA POPA 225+|cos|36PA AOPAPAAOPAPA 2333244PA，当且仅当32PA 时取等号，因此在OAP中，3337422,4222PO 所以向量PA与PO的夹角的余弦值为7342144773222，故选：C.例 38（2022全国高三阶段练习）已知平面向量a，b，c，d，满足ab，1ab，1bc，若 124bdad，则cd的取值范围是_【答案】17172222，【解析】由已知1ab，1bc，ab，设,cccx y 不妨设1,0a，0,1b，,dx y 1cb 可得2211ccxy 又因为124bdad，故221,21,24xyxyxxyy 所以22124xxyy，即 221112xy 所以 cddc，易知，c终点在以10,1O为圆心，11r 为半径的圆上.d终点在以21,12O为圆心，21r 为半径的圆上.cddc 的取值范围为d与c终点距离的取值范围 故17172222cd，故答案为：17172222，例 39（2022黑龙江哈师大附中高三阶段练习）已知等边ABC 的内接于圆22:1O xy，点 P 是圆 O 上一点，则PAPBPC的最大值是_【答案】2【解析】设 BC 的中点为 E，连接 AE，向量,PO OE的夹角为，因为等边ABC 内接于圆22:1O xy，所以点 O 在 AE 上，且 POAO2OE1，所以()2PAPBPCPAPE2()()POOAPOOE22()POPOOAOEOA OE222()2POPOOEOE 2112 1 1cos21 cos22 ，所以当cos1，即点 P 为 AE 的延长线与圆的交点时，()PAPBPC取最大值 2，故答案为：2 例 40（2022四川资阳一模（理）已知平面向量a，b，c满足2abab，且27abc，则c的最大值为_【答案】3 7【解析】由题意，222()24abaa bb，又2ab，故2a b，故2222(2)4448 162 7ababaa bb ，由向量模长的三角不等式，2|22abcabcabc，即2 772 7cc，解得：73 7c，则c的最大值为3 7.故答案为：3 7 例 41（2022湖南长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，,ADBC ABBC，1,2,ADBCP是线段AB上的动点，则4PCPD的最小值为_.【答案】6【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设,(0ABa BPxxa），因为1,2ADBC，所以0,2,0,1,Px CDa，所以2,1,44,44PCxPDaxPDax，所以46,45PCPDax，所以2436456PCPDax，所以当450ax，即45xa时，4PCPD的最小值为 6.故答案为：6【新题速递】一、单选题 1（2022全国模拟预测）如图，在矩形 ABCD 中，24ABBC，E 为边 AB 上的任意一点（包含端点），O 为 AC 的中点，则OB DE的取值范围是（）A2,10 B2,8 C2 8,D4,20【答案】A【解析】法一：设 0,1AEAB，因为 O 为 AC 的中点，所以1122BOBABCABAD，所以12OBABAD又DEAEADABAD，所以12OB DEABADABAD221822ABAD，因为 0,1，所以822,10，所以2,10OB DE；法二：以 A 为坐标原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则2,1O，0,2D，4,0B，设,004E mm，所以2,1OB，,2DEm，所以22OB DEm 因为04m，所以222,10m，即2,10OB DE.故选：A 2（2022江苏南京模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线C：2yx.过点,0T t（0t）的直线l与C交于A，B两点，且2AOB，则t的取值范围为（）A0,1 B0,2 C1,D2,【答案】A【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为xt，则(,),(,)A ttB tt，因为2AOB所以0OB OA，即20OB OAtt，解得：01t，因为0t，所以01t