高考数学难点之三角函数式的化简及求值23925.pdf
-高考数学难点之三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考察的重点容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.难点磁场(*)243,cos()=1312,sin(+)=53,求 sin2的值_.案例探究 例 1不查表求 sin220+cos280+3sin20cos80的值.命题意图：此题主要考察两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于*级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进展等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220+cos280+3sin20cos80=21(1cos40)+21(1+cos160)+3sin20cos80=121cos40+21cos160+3sin20cos(60+20)=121cos40+21(cos120cos40sin120sin40)+3sin20(cos60cos20sin60sin20)=121cos4041cos4043sin40+43sin4023sin220=143cos4043(1cos40)=41 解法二：设*=sin220+cos280+3sin20cos80 y=cos220+sin2803cos20sin80，则*+y=1+13sin60=21，*y=cos40+cos160+3sin100-=2sin100sin60+3sin100=0*=y=41，即*=sin220+cos280+3sin20cos80=41.例 2 设关于*的函数y=2cos2*2acos*(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的a值，并对此时的a值求y的最大值.命题意图：此题主要考察最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属*级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考察三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y=2(cos*2a)22242 aa及 cos*1，1得：f(a)2(41)22(122)2(12aaaaaa f(a)=21,14a=21a=812,+)故22a2a1=21，解得：a=1，此时，y=2(cos*+21)2+21，当 cos*=1 时，即*=2k，kZ，yma*=5.例 3函数f(*)=2cos*sin(*+3)3sin2*+sin*cos*(1)求函数f(*)的最小正周期；(2)求f(*)的最小值及取得最小值时相应的*的值；(3)假设当*12，127时，f(*)的反函数为f1(*)，求f-1(1)的值.命题意图：此题主要考察三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考察计算变形能力，综合运用知识的能力，属*级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.-解：(1)f(*)=2cos*sin(*+3)3sin2*+sin*cos*=2cos*(sin*cos3+cos*sin3)3sin2*+sin*cos*=2sin*cos*+3cos2*=2sin(2*+3)f(*)的最小正周期T=(2)当 2*+3=2k2，即*=k125(kZ)时，f(*)取得最小值2.(3)令 2sin(2*+3)=1，又*27,2,2*+33,23,2*+3=65，则*=4，故f-1(1)=4.锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的根本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2.技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4求最值问题，常用配方法、换元法来解决.歼灭难点训练 一、选择题 1.(*)方程*2+4a*+3a+1=0(a1)的两根均 tan、tan，且，(2,2)，则 tan2的值是()A.21B.2 C.34D.21或2 二、填空题 2.(*)sin=53，(2，)，tan()=21，则 tan(2)=_.3.(*)设(43,4)，(0，4)，cos(4)=53，sin(43+)=135，则 sin(+-)=_.三、解答题 4.不查表求值:.10cos1)370tan31(100sin130sin2 5.cos(4+*)=53，(1217*47)，求xxxtan1sin22sin2的值.6.(*)=38，且k(kZ).求)44(sin42sin2csc)cos(12的最大值及最大值时的条件.7.(*)如右图，扇形OAB的半径为 1，中心角 60，四边形PQRS是扇形的接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并求此最大面积.8.(*)cos+sin=3，sin+cos的取值围是 D，*D，求函数y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时*的值.参考答案 难点磁场 解法一：243,04.+43,sin()=.54)(sin1)cos(,135)(cos122 sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=135,cos(+)=54,sin2+sin2=2sin(+)cos()=6572 sin2sin2=2cos(+)sin()=6540 sin2=6556)65406572(21 歼灭难点训练-一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(2,2)、(2,),则2(2,0),又 tan(+)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa,整理得 2tan222tan32=0.解得 tan2=2.答案：B 2.解析：sin=53,(2,),cos=54 则 tan=43,又 tan()=21可得 tan=21,答案：247 3.解析：(43,4),4(0,2),又 cos(4)=53.答案：6556 三、4.答案：2 kkZ,322322k kZ 当,22322k即34kkZ时,)322sin(的最小值为1.7.解：以OA为*轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cos,sin)，则 PS=sin.直线OB的方程为y=3*，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(33sin；sin)，所以PQ=cos33sin.于是SPQRS=sin(cos33sin)=33(3sincossin2)=33(23sin222cos1)=33(23sin2+21cos221)=33sin(2+6)63.03,62+665.21sin(2+6)1.-sin(2+6)=1 时，PQRS面积最大，且最大面积是63，此时，=6，点P为的中点，P(21,23).8.解：设u=sin+cos.则u2+(3)2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即D=1,1,设t=32 x,1*1,1t5.*=232t.
