专题9.6双曲线(讲)(原卷版)43712.pdf

专题 9.6 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2)的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF22a，|F1F22c，其中 a，c 为常数，且 a0，c0.(1)当 ac 时，点 P 的轨迹是双曲线；(2)当 ac 时，点 P 的轨迹是两条射线；(3)当 ac 时，点 P 不存在 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标 准 方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 性质 范围 xa或xa，yR ya或ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线 ybax yabx 离心率 e ca，e(1，)a，b，c的关系 c2a2b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 考点一 双曲线的定义及其应用【典例 1】（华东师范大学附中 2019 届模拟）(1)设 F1，F2是双曲线 x2y2241 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF14|PF2，则PF1F2的面积等于()A4 2 B8 3 C24 D48(2)设双曲线x24y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|BF2|AF2|的最小值为_【方法技巧】(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立为|PF1|PF2|的关系(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支【变式 1】（黑龙江大庆实验中学 2019 届模拟）椭圆x2m2y2n21(mn0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b 0)的公共焦点为 F1，F2，若 P 是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ama Bm2a2 C.ma2 D.m a 考点二 双曲线的标准方程【典例 2】(2018天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241 C.x23y291 D.x29y231【方法技巧】求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值【变式 2】（辽宁葫芦岛高级中学 2019 届模拟）根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)考点三 双曲线的几何性质及其应用【典例 3】【2019 年全国卷】设 F 为双曲线 C：22221(0,0)xyabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于 P，Q 两点若PQOF，则 C 的离心率为 A2 B3 C2 D5 【举一反三】(1)(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y52x，且与椭圆x212 y231 有公共焦点，则 C 的方程为()A.x28y2101 B.x24y251 C.x25y241 D.x24y231(2)(2018全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2x By 3x Cy22x Dy32x(3)(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MAN60，则 C 的离心率为_【方法技巧】双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出 a，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解【变式 3】(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_ 考点四 直线与双曲线的位置关系【典例 4】（辽宁鞍山一中 2019 届模拟）一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线x2a2y2b21(a0，b0)交于 P，Q 两点，直线 l 与 y 轴交于点 R，且OPOQ3，PR3RQ，求直线和双曲线的方程【方法技巧】解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的问题常用点差法(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系 【变式 4】（河北衡水中学 2019 届模拟）若双曲线 E：x2a2y21(a0)的离心率等于 2，直线 ykx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|AB6 3，点 C 是双曲线上一点，且OCm(OAOB)，求 k，m 的值