专题3.4导数的综合应用(讲)(原卷版)43696.pdf

专题 3.4 导数的综合应用 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题。考点一 利用导数证明不等式【典例 1】【2019 年高考天津】设函数()e cos,()xf xxg x为 f x的导函数（）求 f x的单调区间；（）当,4 2x 时，证明()()02f xg xx；（）设nx为函数()()1u xf x在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明20022sinc seonnnxxx 【变式 1】(2019山东师大附属中学模拟)已知函数 f(x)1ln xx，g(x)aeex1xbx(e 为自然对数的底数)，若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A 处的切线互相垂直(1)求 a，b 的值；(2)求证：当 x1 时，f(x)g(x)2x.考点二 不等式恒成立【典例 2】【2019 年高考浙江】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围 注：e=2.71828为自然对数的底数 【方法技巧】1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如 af(x)(或 af(x)的形式，通过求函数 yf(x)的最值求得参数范围。【变式 2】（2019湖北黄冈中学模拟）已知函数 f(x)x2(2a1)xaln x(aR).(1)若 f(x)在区间1，2上是单调函数，求实数 a 的取值范围；(2)函数 g(x)(1a)x，若x01，e使得 f(x0)g(x0)成立，求实数 a 的取值范围.考点三 判断零点的个数【典例 3】(2019湖北合肥一中质检)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1x3，xR.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)f（x）x4ln x 的零点个数.【方法技巧】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数 g(x)(要求 g(x)易求，g(x)0 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出 g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.【变式 3】(2019山西平遥中学模拟)设函数 f(x)ln xmx，mR.讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数 考点四 由函数零点个数求参数 【典例 4】(2018全国卷)已知函数 f(x)exax2.(1)若 a1，证明：当 x0 时，f(x)1；(2)若 f(x)在(0，)只有一个零点，求 a.【方法技巧】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与 x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”【变式 4】(2019河北衡水第一中学调研)已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0).(1)若 f(0)2，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2，1上的最小值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围.考点五 函数零点的综合问题 【典例 4】【2019 年高考江苏】设函数()()()(),f xxa xb xc a b cR、()f x为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和()f x的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若0,01,1abc，且 f（x）的极大值为 M，求证:M427 【举一反三】(2018江苏卷)若函数 f(x)2x3ax21(aR)在区间(0，)内有且只有一个零点，求 f(x)在1，1上的最大值与最小值的和.【变式 4】(2019湖南湘潭一中调研)已知函数 f(x)ln xax2x，aR.(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围