第十二章推理与证明、算法、复数(单元测试)(解析版)43568.pdf

第十二章 推理与证明、算法、复数（单元测试）【满分：100 分 时间：90 分钟】一、选择题(本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分)1（安徽省安庆一中 2019 届模拟）观察下列算式：212,224,238,2416,2532,2664,27128,28256，用你所发现的规律得出 22 018的末位数字是()A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】通过观察可知，末位数字的周期为 4,2 01845042，故 22 018的末位数字为 4.故选 B.2（江西省吉安一中 2019 届模拟）观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10()A28 B76 C123 D199【答案】C【解析】记 anbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b10123.3（广东省韶关一中 2019 届模拟）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位：米)1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳(单位：次)63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则()A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛【答案】B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 18 号，所以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 18 号里产生数据排序后可知 3 号，6 号，7 号必定进入 30 秒跳绳决赛，则得分为 63，a,60,63，a1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以 1 号，5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛故选 B.4（福建省泉州五中 2019 届模拟）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 abc0，求证 b2ac0 Bac0 C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)bc，且 abc0 得 bac，a0，c0.要证 b2ac 3a，只要证(ac)2ac0，即证 a(ac)(ac)(ac)0，即证 a(ac)b(ac)0，即证(ac)(ab)0.故求证“b2ac0.故选 C.5（浙江省温州中学 2019 届模拟）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数 A B C D【答案】B【解析】根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：ycos x(xR)是三角函数是“小前提”；三角函数是周期函数是“大前提”；ycos x(xR)是周期函数是“结论”故“三段论”模式排列顺序为.故选 B.6（山西省临汾一中 2019 届模拟）设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，则ABC的内切圆半径为 r2Sabc.将此结论类比到空间四面体：设四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为 r()A.VS1S2S3S4 B.2VS1S2S3S4 C.3VS1S2S3S4 D.4VS1S2S3S4【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为：V13(S1S2S3S4)r，所以 r 3VS1S2S3S4.7（江苏省淮安一中 2019 届模拟）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C乙盒中红球不多于丙盒中红球 D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除 A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除 C；故选 B.8（辽宁省锦州一中 2019 届模拟）下面是关于复数 z2i 的四个命题，p1：|z|5；p2：z234i；p3：z 的共轭复数为2i；p4：z 的虚部为1.其中真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4【答案】C【解析】因为 z2i，所以|z|55，则命题 p1是假命题；z2(2i)234i，所以 p2是真命题；易知 z 的共轭复数为 2i，所以 p3是假命题；z 的实部为 2，虚部为1，所以 p4是真命题故选 C.9（河北省沧州一中 2019 届模拟）设 z11ii，则|z|()A.12 B.22 C.32 D2【答案】B【解析】11ii1i(1i)(1i)i1i2i1212i，则|z|12212222，选 B.10（江苏省泰州一中 2019 届模拟）若复数 z 满足 iz12(1i)，则 z 的共轭复数的虚部是()A12i B.12i C12 D.12【答案】C【解析】由题意，得 z121ii12i(1i)i21212i，所以 z 的共轭复数的虚部是12，故选 C.11（齐齐哈尔一中 2019 届模拟）若 z(a21)(a1)i 为纯虚数，其中 aR，则a2i1ai等于()Ai Bi C1 D1 或 i【答案】B【解析】由题意 a210，a10，解得 a1，所以a2i1ai1i1i(1i)2(1i)(1i)2i2i.故选 B.12（湖北省荆门一中 2019 届模拟）已知 f(x)x2，i 是虚数单位，则在复平面内复数f(1i)3i对应的点在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】由题可知f(1i)3i(1i)23i12ii23i2i3i2i(3i)32i226i101535i，所以其在复平面内对应的点的坐标为15，35，该点在第一象限，故选 A.13（吉林省通化一中 2019 届模拟）如图是计算 11315131的值的程序框图，则图中处可以填写的语句分别是()Ann2，i16?Bnn2，i16?Cnn1，i16?Dnn1，i16?【答案】A【解析】式子 11315131中所有项的分母构成公差为 2 的等差数列，1,3,5，31,311(k1)2，k16，共 16 项，故选 A.14（福建省泉州五中 2019 届模拟）高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1.执行图2 所示的程序框图，若输入的 ai(i1,2，15)分别为这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为()A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】由程序框图可知，其统计的是成绩大于或等于 110 的人数，所以由茎叶图知，成绩大于或等于 110 的人数为 9，因此输出的结果为 9.故选 D.15（广东省佛山一中 2019 届模拟）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为()(参考数据：31.732，sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)A12 B24 C36 D48【答案】B【解析】执行程序框图，可得 n6，S3sin 603 32；不满足条件 S3.10，n12，S6sin 303；不满足条件 S3.10，n24，S12sin 15120.258 83.105 6；满足条件 S3.10，退出循环故输出 n 的值为 24.故选 B.16（安徽省淮北一中 2019 届模拟）秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求 5 次多项式 f(x)a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0当 xx0(x0是任意实数)时的值的过程，若输入 a02，a15，a26，a34，a47，a52，x03，则输出的v 的值为()A984 B985 C986 D987【答案】C【解析】执行程序框图，输入 a02，a15，a26，a34，a47，a52，x03，经过第 1 次循环得 v13，n2；经过第 2 次循环得 v35，n3；经过第 3 次循环得 v111，n4；经过第 4 次循环得v328，n5；经过第 5 次循环得 v986，n6，退出循环故输出的 v 的值为 986，故选 C.17（山东省青岛二中 2019 届模拟）某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的 S()A28 B29 C196 D203【答案】B【解析】由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的 S20222633333435729，故选 B.18（广西省北海一中 2019 届模拟）我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为 521，则由此可估计 的近似值为()A3.119 B3.126 C3.132 D3.151【答案】B【解析】在空间直角坐标系 O-xyz 中，不等式组 0 x10y10z1表示的区域是棱长为 1 的正方体区域，相应区域的体积为 131；不等式组 0 x10y10z1x2y2z21表示的区域是棱长为 1 的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为1843136，因此65211 000，即 3.126，选 B.二、填空题(本大题共 4 小题，共 16 分)19（广东省潮州一中 2019 届模拟）已知复数 zxyi，且|z2|3，则yx的最大值为_【答案】3【解析】复数 zxyi 且|z2|3，复数 z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆(x2)2y23.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设yxk，即 ykx，|2k|1k2 3，可得 k3，3，则yx的最大值为 3.20（山东省滨州一中 2019 届模拟）在复平面内，复数21i对应的点到直线 yx1 的距离是_ 【答案】22【解析】21i2(1i)(1i)(1i)1i，所以复数21i对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线 yx1 的 距离为11112(1)222.21（四川省自贡一中 2019 届模拟）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_【答案】乙【解析】由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯 22（广西省百色一中 2019 届模拟）观察下列等式：123n12n(n1)；13612n(n1)16n(n1)(n2)；141016n(n1)(n2)124n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515124n(n1)(n2)(n3)_.【答案】1120n(n1)(n2)(n3)(n4)【解析】根据式子中的规律可知，等式右侧为154321n(n1)(n2)(n3)(n4)1120n(n1)(n2)(n3)(n4)三、解答题(本大题共 3 小题，共 30 分)23（云南省曲靖一中 2019 届模拟）设集合 M1,2,3，n(n3)，记 M 的含有三个元素的子集的个数为 Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为 Tn.(1)求T3S3，T4S4，T5S5，T6S6的值；(2)猜想TnSn的表达式，并证明之 【解析】(1)当 n3 时，M1,2,3，S31，T32，T3S32，当 n4 时，M1,2,3,4，S44，T4223310，T4S452，同理可得T5S53，T6S672.(2)猜想TnSnn12，n3.当 n3 时，由(1)知猜想成立；假设当 nk(k3)时，猜想成立，即TkSkk12，而 SkC3k，所以 Tkk12C3k，当 nk1 时，易知 Sk1C3k1，而当集合 M 从1,2,3，k变为1,2,3，k，k1时，Tk1在 Tk的基础上增加了 1 个 2,2 个 3,3 个4，(k1)个 k，所以 Tk1Tk213243k(k1)k12C3k2(C22C23C24C2k)k12C3k2(C33C23C24C2k)k22C3k12C3k1 k22C3k1(k1)12Sk1，即Tk1Sk1(k1)12，所以当 nk1 时，猜想也成立 综上所述，猜想成立 24（四川省乐山一中 2019 届模拟）数列an满足 an1an2an1，a11.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前 n 项和 Sn，并证明1S11S21Snnn1.【解析】(1)证明：an1an2an1，1an12an1an，化简得1an121an，即1an11an2，故数列1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)知1an2n1，Snn(12n1)2n2.法一：1S11S21Sn1121221n21121231n(n1)(112)(1213)(1n1n1)11n1nn1.法二：(数学归纳法)当 n1 时，1S11，nn112，不等式成立 假设当 nk 时，不等式成立，即1S11S21Skkk1.则当 nk1 时，1S11S21Sk1Sk1kk11(k1)2，又kk11(k1)2k1k211k11(k1)211k21k2k(k1)21k2(k1)20，1S11S21Sk1Sk1k1k2，原不等式成立 25（陕西省榆林一中 2019 届模拟）设函数 f(x)x2mln(x1)(1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数，求实数 m 的取值范围；(2)若 m1，试比较当 x(0，)时，f(x)与 x3的大小；(3)证明：对任意的正整数 n，不等式 e0e14e29e(1n)n2n(n3)2成立【解析】(1)f(x)2xmx12x22xmx1，又函数 f(x)在定义域上是单调函数，f(x)0 或 f(x)0 在(1，)上恒成立，若 f(x)0 在(1，)上恒成立，即函数 f(x)是定义域上的单调递增函数，则 m2x22x2(x12)212在(1，)上恒成立，由此可得 m12；若 f(x)0 在(1，)上恒成立，即函数 f(x)是定义域上的单调递减函数，则 m2x22x2(x12)212在(1，)上恒成立 y2(x12)212在(1，)上没有最小值，不存在实数 m 使 f(x)0 在(1，)上恒成立 综上所述，实数 m 的取值范围是12，)(2)当 m1 时，函数 f(x)x2ln(x1)令 g(x)f(x)x3x3x2ln(x1)，则 g(x)3x22x1x13x3(x1)2x1，显然，当 x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)在(0，)上单调递减，又 g(0)0，当 x(0，)时，恒有 g(x)g(0)0，即 f(x)x30 恒成立 故当 x(0，)时，f(x)x3.(3)证明：当 n1 时，左边e01，右边1422，原不等式成立 设当 nk 时，原不等式成立，即 e0e14e29e(1k)k2k(k3)2，则当 nk1 时，左边e0e14e29e(1k)k2e(1k1)(k1)2k(k3)2ek(k1)2，只需证明k(k3)2ek(k1)2(k1)(k4)2，即证 ek(k1)2k2，即证k(k1)2ln(k2)由(2)知 x2x3ln(x1)(x(0，)，即 x2(1x)ln(x1)，令 xk1，即有k(k1)2ln(k2)当 nk1 时不等式成立 由知，原不等式成立