考点06二次函数与幂函数-备战2020年高考数学(理)考点一遍过43536.pdf

名师整理，助你成功 考点 06 二次函数与幂函数 （1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,yx yxyxyyxx的图象，了解它们的变化情况.一、二次函数 1二次函数的概念 形如2()(0)f xaxbxc a的函数叫做二次函数.2表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标.3二次函数的图象与性质 函数解析式 2()(0)f xaxbxc a 2()(0)f xaxbxc a 图象(抛物线)定义域 R 值域 24,)4acba 24(,4acba 对称性 函数图象关于直线2bxa 对称 顶点坐标 24(,)24bacbaa 奇偶性 当 b=0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数 单调性 在(,2ba 上是减函数；在,)2ba上是增函数.在(,2ba 上是增函数；在,)2ba上是减函数.名师整理，助你成功 最值 当2bxa 时，2min4()4acbf xa 当2bxa 时，2max4()4acbf xa 4常用结论(1)函数 f(x)=ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标是方程 ax2bxc=0 的实根.(2)若 x1，x2为 f(x)=0 的实根，则 f(x)在 x 轴上截得的线段长应为|x1x2|=24|baca.(3)当0a 且0(0)时，恒有 f(x)0()0f x)；当0a 且0(0)时，恒 有f(x)0 时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当 1 01 cb Babc Ccab Dbca【答案】A【解析】因为52xy 在),0(上是增函数，所以,ca 又因为xy)52(在),(上是减函数，所以bc.综上，acb.故选 A.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3已知 1252a，259b，24log e4c，则下列结论成立的是 Aabc Bcba Cbac Dacb 考向三 二次函数的图象及性质的应用 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交名师整理，助你成功 汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：1图象识别问题 辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除 2二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 3解决一元二次方程根的分布问题的方法 常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析 4求解与二次函数有关的不等式恒成立问题 往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是2040abac.(2)ax2bxcA 在区间 D 上恒成立，此时就等价于在区间 D上 f(x)minA，接下来求出函数 f(x)的最小值；若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)max 0 且 1)的图象恒过定点，若定点在幂函数()的图象上，则幂函数()的图象是 A B C D 6已知函数,abxyxyxyc的图象如图所示，则,a b c的大小关系为 Acba Babc Ccab Dacb 7已知函数 12f xx，则 A0 xR，使得 0f x B 0,0 xf x C12,0,x x，使得 12120f xf xxx D120,0,xx，使得 12f xf x 名师整理，助你成功 8已知p：幂函数21mymmx在0,上单调递增；:21q m，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知幂函数 af xx的图象过点13,3，则函数 21g xxf x在区间1,22上的最小值是 A1 B0 C2 D32 10已知函数 2313xfxaxax的定义域是，则实数的取值范围是 A13a B120a C120a D13a 11已知点2,8在幂函数 nf xx的图象上，设32,ln,32afbfcf，则,a b c的大小关系为 Abac Babc Cbca Dacb 12已知函数 2211f xxax（其中0a，且1a）在区间1,2上单调递增，则函数 1log1ag xx的定义域为 A,a B0,a C0,a D,a 13已知函数 f x既是二次函数又是幂函数，函数 g x是R上的奇函数，函数 11g xh xf x，则 201820172016101201620172018hhhhhhhhhA0 B2018 C4036 D4037 名师整理，助你成功 14已知幂函数 f xx（是实数）的图象经过点22，则 f（4）的值为_ 15已知+=25，1，0，则=_ 16若幂函数()=(22+1)21在(0,+)上为增函数，则实数的值为_ 17已知函数=22+的定义域为 R，值域为0,+)，则实数 a 的取值集合为_.18已知函数 2012201420162018,f xxxxxxR，则函数 f x的最小值是_ 19已知实数,x y满足2sin1xy，则sinyx的取值范围是_ 20已知二次函数()的最小值为 1,且()=(2),(0)=3（1）求()的解析式；（2）在区间1,1 上,=()的图象恒在=2+2+1的图象上方，试确定实数的取值范围 21已知幂函数()=(1)224+3()在(0,+)上单调递增（1）求 m 的值及()的解析式；（2）若函数()=()23+2+1 在0,2上的最大值为 3，求实数 a 的值 名师整理，助你成功 22已知()=42+4 4 2（1）当=1，1,3时，求函数()的值域；（2）若函数()在区间0,1内有最大值-5，求的值 23已知函数 214f xxmx，其中m为常数.（1）若函数 f x在区间,0上单调递减，求实数m的取值范围；（2）若x R，都有 0f x，求实数m的取值范围.名师整理，助你成功 1（2017 年高考浙江卷）若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 M m A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关 2（2017 年高考山东卷理科）已知当0,1x时，函数2(1)ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A(0,12 3,)B(0,13,)C(0,22 3,)D(0,23,)3（2016 年高考新课标 III 卷理科）已知432a，254b，1325c，则 Abac Babc Cbca Dcab 4（2019 年高考浙江卷）已知aR，函数3()f xaxx，若存在tR，使得2|(2)()|3f tf t，则实数a的最大值是_.1【答案】5,4【解析】由题意知84，故82log 43，由于()=23=23为上的偶函数且在(0,+)上单调递增，变式拓展 名师整理，助你成功(6+3)9即为(6+3)(27)，所以|6+3|27，解得5 4.2【答案】A【解析】函数()=(2 1)2+23是幂函数，2 1=1，解得：=2或=1，当=2时，5()f xx，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；当=1时，41()f xx，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故=1.故选 A 3【答案】A【解析】6155264a，4155381b，6481，11556481，即ab，425e433cb，故abc.选A 【名师点睛】本题主要考查了比较大小问题，其中解答中熟练运用幂函数与指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.求解时，根据幂函数 15f xx在0,上为单调递增函数，得出ab，再根据指数函数的性质得425e433cb，即可得到结论.4【答案】D【解析】因为函数()=42 8在5,20上具有单调性，所以208k或58k，解得 160或 40.故实数的取值范围为(，40 160，+).选 D 5【答案】C【解析】函数 f（x）x22x+1（x1）2，函数 f（x）图象的对称轴为 x1，名师整理，助你成功 在区间a，a+2上的最小值为 4，当 1a 时，函数的最小值为 f（a）（a1）24，则 a1（舍去）或 a3；当 a+21，即 a1 时，函数的最小值为 f（a+2）（a+1）24，则 a1（舍去）或 a3；当 a1a+2，即-1a 1,0，所以根据幂函数的单调性，可得，即 2+2+1在1,1上恒成立，化简得 2 3+1,设()=2 3+1,则()在区间1,1上单调递减，则()在区间1,1上的最小值为(1)=1,则有 1,故的取值范围为(,1)21【答案】（1）()=3；（2）=2.【解析】（1）幂函数()=(1)224+3()在(0,+)上单调递增，名师整理，助你成功 故211430mmm ，解得：=0，故()=3.（2）由于()=3，所以函数()=()23+2+1 =2+2+1 ，则函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为=，由于在0,2上的最大值为 3，当 2时，()在0,2上单调递增，故：()max=(2)=3 3=3，解得=2 当 0时，()在0,2上单调递减，故：()max=(0)=1 =3，解得：=2 当0 2时，()在0,上单调递增，在,2上单调递减，故：()max=()=2+1 =3，解得：=1(舍去)，或=2（舍去)，综上所述：=2 22【答案】（1）29,5；（2）=54或=5.【解析】（1）当=1时，()=42+4 5，其图象的对称轴为=12，开口向下，1,3时，函数()单调递减，当=1时，函数有最大值(1)=5，当=3时，函数有最小值(3)=29，故函数()的值域为29,5；（2）()=42+4 4 2的图象开口向下，对称轴为=12，名师整理，助你成功 当12 1，即 2时，()在0,1上单调递增，函数的最大值为(1)=4 2 令4 2=5，得2=1，=1 2（舍去）当0 12 1，即0 0)在区间 A 上单调递减(单调递增)，则 A,2ba（A,2ba），即区间 A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)名师整理，助你成功 1【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24aafb fab fb 中取，所以最值之差一定与b无关.故选 B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值 2【答案】B【解析】当01m时，11m，2(1)ymx在0,1x时单调递减，且22(1)(1),1ymxm，yxm在0,1x时单调递增，且,1yxmmm，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m，2(1)ymx在1,1m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13mmm.故选 B.【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 3【答案】A 【解析】因为422335244ab，1223332554ca，所以bac.故选 A【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性直通高考 名师整理，助你成功 来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决 4【答案】43【解析】存在tR，使得2|(2)()|3f tf t，即有332|(2)(2)|3a ttatt，化为22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)11ttt，可得403a.则实数a的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a ttatt23，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.