(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何5第5讲椭圆高效演练分层突破15820.pdf

第 5 讲 椭 圆 基础题组练 1已知椭圆x2m2y210m1 的焦点在x轴上，焦距为 4，则m等于()A8 B7 C6 D5 解析：选 A.因为椭圆x2m2y210m1 的焦点在x轴上 所以10m0，m20，m210m，解得 6mb0)的离心率为32，短轴长为 4，则椭圆的标准方程为_ 解析：由题意可知eca32，2b4，得b2，所以ca32，a2b2c24c2，解得a4，c2 3，所以椭圆的标准方程为x216y241.答案：x216y241 8(2020义乌模拟)已知圆(x2)2y21 经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_ 解析：圆(x2)2y21 经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c1，a3，因此椭圆的离心率为13.答案：13 9(2020瑞安四校联考)椭圆x2a2y251(a为定值，且a 5)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_ 解析：设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立 此时周长最大，即 4a12，则a3.故椭圆方程为x29y251，所以c2，所以eca23.答案：23 10已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点1，22在椭圆上，且点(1，0)到直线PF2的距离为4 55，其中点P(1，4)，则椭圆的标准方程为_ 解析：设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF24c1，故直线PF2的方程为y4c1(xc)，即4c1xy4cc10，点(1，0)到直线PF2的距离d4c14cc14c12144c1214 55，即4c124，解得c1 或c3(舍去)，所以a2b21.又点1，22在椭圆E上，所以1a212b21，由可得a22，b21，所以椭圆的标准方程为x22y21.答案：x22y21 11已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为 5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点求该椭圆的标准方程 解：由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，（2c）25232，解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.12已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若AF22F2B，AF1AB32，求椭圆的方程 解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以a 2c，eca22.(2)由题知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中ca2b2，设B(x，y)由AF22F2B，得(c，b)2(xc，y)，解得x3c2，yb2，即B3c2，b2.将B点坐标代入x2a2y2b21，得94c2a2b24b21，即9c24a2141，解得a23c2.又由AF1AB(c，b)3c2，3b232，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为x23y221.综合题组练 1(2020浙江百校联盟联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.35 B.12 C.23 D.34 解析：选 A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为bca，即|OC|bca，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为ac2，bca，代入椭圆方程得（ac）24a2c2b2a2b21，所以 5e22e30，又 0e1，所以e35.故选 A.2设A、B是椭圆C：x23y2m1 长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，)B(0，39，)C(0，14，)D(0，34，)解析：选 A.依题意得，3mtan AMB20m3，所以3mtan 600m3，解得 0b0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为12.若动点P满足OPOM2ON，求点P的轨迹方程 解：(1)因为e22，所以b2a212，又椭圆C经过点(2，1)，所以2a21b21，解得a24，b22，所以椭圆C的方程为x24y221.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OPOM2ON得xx12x2，yy12y2，因为点M，N在椭圆x24y221 上，所以x212y214，x222y224，故x22y2(x214x1x24x22)2(y214y1y24y22)(x212y21)4(x222y22)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkONy1y2x1x212，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故点P的轨迹方程是x220y2101.6已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP2PB.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围 解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b 2，所以椭圆的方程为y24x221.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，得y22x24，ykxm.则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0.由根与系数的关系知x1x22mk2k2x1x2m242k2，又由AP2PB，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故x1x2x2，x1x22x22，可得m242k222mk2k22，整理得(9m24)k282m2，又 9m240 时不符合题意，所以k282m29m240，解得49m20，解不等式49m24，得23m2 或2m23，所以m的取值范围为2，2323，2.