考点15基本不等式及其应用(2)(解析版)43742.pdf

考点 15 基本不等式及其应用（2）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017 苏北四市一模）已知正数a，b满足1a9bab5，则ab的最小值为_【答案】.36 【解析】因为正数a，b满足1a9bab5，所以ab529ab，当且仅当 9ab时等号成立，即ab5ab60，解得ab6或ab1(舍去)，因此ab36，从而(ab)min36.2、(2015 镇江期末）已知正数x，y满足1x1y1，则4xx19yy1的最小值为_ 【答案】25 【解析】因为1y11x，所以4xx19yy14xx1911y4xx19x44x19(x1)9134x19(x1)134x19(x1)又因为1y11x0，所以x1，同理y1，所以 134x19(x1)132 4925，当且仅当x53时取等号，所以4xx19yy1的最小值为 25.3、（2016 苏州期末）已知ab14，a，b(0,1)，则11a21b的最小值为_【答案】.44 23 【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量 由题意得b14a，所以 014a0，ac0，所以bccabbc1acbcbc12bc1，(*)令t2bc1(t1)，则bct212，所以(*)可化为bc12bc1t2121t2t21t12 212，当且仅当t21t即t 2时取等号，于是bccab 212，即bccab的最小值为 212.5、(2017 无锡期末）已知a0，b0，c2，且ab2，则acbcabc25c2的最小值为_【答案】.10 5 【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解 因为a0，b0，所以ab1ab12abab24ab12aba22abb24ab125a4bb4a52，当且仅当b 5a时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得acbcabc25c2cab1ab125c252c5c2.又因为52c5c252(c2)5c25105，当且仅当c22时等号成立 所以acbcabc25c2的最小值为 10 5.解后反思 多变量函数的最值问题，通常需要消元本题的关键是首先通过固定变量c(视a，b为主元)，然后利用代换(齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值 6、(2019 通州、海门、启东期末）已知实数 ab0，且 ab2，则3aba22ab3b2的最小值为_【答案】3 54 【解析】思路分析1 注意到问题中含有两个变量a，b，且满足 ab2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理 思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件 ab2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理 思路分析3 注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a3b)(ab)，因此，将 a3b，ab分别作为两个新的变量m，n，从而将问题转化为以新变量 m，n的形式来加以处理 解析 1(消元法)：因为 ab2，所以 0b2aa，解得 1ab0，所以2bb0，故 0b0，此时3aba22ab3b232；当 u0)，故由(mn)(1m5n)6nm5mn625，当且仅当 n 5m 时等号成立，此时3aba22ab3b212(1m5n)3 54.【问题探究，变式训练】题型一 运用基本不等式解决含参问题 知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，例 1、(2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym 恒成立，则实数 m的取值范围为_【答案】、(，9 【解析】、mxy 恒成立，m(xy)min.解法 1(消元法)由 x4yxy0，得 yxx4，因为 x，y 是正实数，所以 y0，x4，则 xyxxx4xx44x4x4x41(x4)4x452（x4）4x459，当且仅当 x6 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9.解法 2(“1”的代换)因为 x，y 是正实数，由 x4yxy0，得4x1y1，xy(xy)4x1y4yxxy524yxxy59，当且仅当 x6，y3 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9.解法 3(函数法)令 txy，则 ytx，代入 x4yxy0，得 x2(3t)x4t0.(t3)216tt210tq0，得 t1 或 t9.又 yxx40，且 x0，则 x4，故t4，从而 t9.所以 m9.解后反思对于含有多个变量式的最值如何求？解法 1 用了最基本的方法一消元转化为一 元变量，对于一元变量的求量值的方法就很多了，这里用了基本不等式法，解法 2 直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧，显得很方便一般地，在条件与结论中分别含有mxny以及axby(m，n，a，b 为正常数，x，y 为正参数)形式的代数式时，要求相关的最值，利用两式相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段；解法 3 则采用了方程的思想，通过将问题转化为方程有解，进而转化为方程有解来解决，这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的这里的解法1是虽然是通法，但往往计算相对比较复杂，而解法2有一定的技巧，但求解比较方便解法3 则比较通用，没有技巧，计算也不复杂 【变式 1】、(2017 镇江期末）已知不等式(mn)2(mlnn)22 对任意 mR，n(0，)恒成立，则实数的取值范围为_【答案】、1，)【解析】、思路分析 由于条件“(mn)2(mlnn)22”中平方和的特征，可联想到两点(m，m)，(n，lnn)的距离公式，而点(m，m)，(n，lnn)分别是直线yx和曲线f(x)lnx上动点，故可转化为直线yx和曲线f(x)lnx上点之间的距离大于等于2.条件“不等式(mn)2(mlnn)22 对任意mR，n(0，)恒成立”可看作“直线yx以及曲线f(x)lnx上点之间的距离恒大于等于 2”如图，当与直线yx平行的直线与曲线f(x)lnx相切时，两平行线间的距离最短，f(x)1x1，故切点A(1,0)，此切点到直线yx的距离为|1|2 2，解得1 或3(舍去，此时直线与曲线相交)【变式 2】、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围是_【答案】、，174 【解析】、思路分析 不等式x22xyy2axay10 的构造比较特殊，可以化为关于xy的不等式，再根据不等式及xy42xy求出xy的范围即可 对于正实数x，y，由xy42xy得xy42xyxy22，解得xy4，不等式x22xyy2axay10 可化为(xy)2a(xy)10，令txy(t4)，则该不等式可化为t2at10，即at1t对于任意的t4 恒成立，令u(t)t1t(t4)，则u(t)11t2t21t20对于任意的t4恒成立，从而函数u(t)t1t(t4)为单调递增函数，所以u(t)minu(4)414174，于是a174.易错警示 在求函数u(t)t1t(t4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u(t)min2，没有注意到t4 的限制，从而得到错误的答案a2.【关联 1】、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式CD2(m2)OCODm(OCOB)(ODOA)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最 大值是_【答案】、51 【解析】、思路分析 本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入，然后再将其转化为关于a，b，c，d四元的不等式问题，再利用基本不等式处理最值问题 CD2(m2)OCODm(OCOB)(ODOA)对任意实数a，b，c，d都成立等价于a2b2c2d2m(acbdbc)对任意a，b，c，d都成立，由于求m的最大值，所以可只考虑m0的情形，当acbdbc0 时，a2b2c2d2m(acbdbc)恒成立，当acbdbc0 时，则需ma2b2c2d2acbdbc恒成立，下 面 用 待 定 系 数 法 求a2b2c2d2acbdbc的 最 小 值，a2b2c2d2acbdbca2xc2yb2d21yb21xc2acbdbc2xac2ybd21x1ybcacbdbc，令xy1x1y，其中x，y(0,1)，解 得x3 52，x512，所 以a2b2c2d2acbdbc5 1，所 以ma2b2c2d2acbdbcm i n 51，故m的最大值为 51.题型二 不等式的综合运用 知识点拨：多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例 2、(2018 镇江期末）已知 a，bR，ab4，则1a211b21的最大值为_ 【答案】、2 54 【解析】、思路分析1 将1a211b21通分，变形为关于(ab)和 ab 的式子，将 ab 作为一个变元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出ab 的取值范围 思路分析2 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式，若直接进行消元去处理会打乱它的对称性，为此，应用均值换元来进行处理 解法 1(ab 作为一个变元)abab224，1a211b21a2b22（a21）（b21）（ab）22ab2（ab）22aba2b212（9ab）172aba2b2.设 t9ab5，则2（9ab）172aba2b22tt28016t2t8 5t16t524，当且仅当 t280 时等号成立，所以，1a211b21的最大值为524.解法2(均值换元)因为ab4，所以，令a2t，b2t，则f(t)1a211b211t24t51t24t52（t25）（t25）216t2，令 u t2 55，则 g(u)2uu216u802u80u1628 5162 54，当且仅当 u4 5时等号成立所以1a211b21的最大值为524.解后反思“减元”是解决不等式求最值问题的重要途径，常用的减元方法有代入消元、换元消元、二合一消元、放缩消元，本题通过变形先将条件代入，所求式子就变成了 ab 的函数2（9ab）172aba2b2，而这样的分式常将低次的看成一个整体进行换元，从而达到化简的目的当然，本题也可以直接进行消元，然后利用导数的方法来求它的最大值，只不过，此法 比较繁琐而应用均值换元的方法保持了它的对称性，从而运算比较简单，比较容易操作 【变式 1】、(2018 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 5x24xyy21，则 12x28xyy2的最小值为_【答案】73 【解析】、思路分析1 注意到所给出的条件比较复杂，且左边能进行分解因式，因此，通过双变量换元，将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理 思路分析2 注意到条件与所研究的结论是关于 x，y 的二次齐次式，因此，利用“常数 1的代换”，将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决 思路分析3 注意到条件与所研究的结论是关于x，y 的二次齐次式，因此，利用“基本不等式”进行放缩，将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决 思路分析4 令t12x28xyy2，这样，它就与已知条件构成了两个方程，它们所构成的方程组有解，通过消元后，得到关于一个元的方程，利用方程有解来进行处理 解法 1(双变量换元)因为 x0，y0，且满足 5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，令 u5xy，vxy，则有 u0，v0，uv1，并且 xuv6，y5vu6，代入 12x28xyy212uv628uv65vu65vu62u29v222uv122 u29v222uv1228uv122811273，当且仅当 u3v，uv1，即 u 3，v33，亦即 x2 39，y39时，12x28xyy2取得最小值73.解法 2(常数 1 的代换)因为 x0，y0，且满足 5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，因为 x0，y0，xy0，所以 5xy0，即有 0yx5，令 tyx，则 0t5，所以 12x28xy y212x28xyy2112x28xyy25x24xyy217x24xy5x24xyy2174yx54yxyx214t7t24t5.再令 f(t)14t7t24t5(0t5)令 f(t)4（t24t5）（4t7）（2t4）（t24t5）22（2t1）（t4）（t24t5）20，因为0t5，所以 t12.当 t0，12时，f(t)0，f(t)单调递增，所以当t12时，f(t)取极小值，也是最小值f1273.此时 x2y，结合 5x24xyy21，解得 x2 39，y39，即当 x2 39，y39时，12x28xyy2取得最小值73.解法 3(基本不等式)因为 x0，y0，设 u0，v0，则 ux2vy22 uvxy.12x28xyy212x28xyy2(2 uvxyux2vy2)，即 12x28xyy2(12u)x2(82uv)xy(v1)y2.令(12u)x2(82uv)xy(v1)y2t(5x24xyy2)t，则 12u5t，82 uv4t，v1t，解得t73，u13，v43，所以 12x28xyy2353x28xy73y213x243y2353x28xy73y2213x243y2353x2283xy73y273(5x24xyy2)73，当且仅当 x2y，结合 5x24xyy21，解得 x2 39，y39，即当x2 39，y39时，12x28xyy2取得最小值73.解法 4(利用方程组有解)令 t12x28xyy27x24xy1，则 yt17x24x，代入 5x24xyy21 并化简得 81x4(30t46)x2(t1)20，从而以 ux2(u0)为元的二次方程 81u2(30t46)u(t1)20 有正数解，故4（15t23）2481（t1）20，30t460，解得 t73，当 t73时，x2 39，y39，故等号成立，从而 12x28xyy2取得最小值73.【变式 2】、(2017 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知对任意的xR,3a(sinxcosx)2bsin2x3(a，bR)恒成立，则当ab取得最小值时，a的值是_【答案】45 【解析】、由ab取最小值，故令 3(sinxcosx)2sin2x0，则ab3，即ab的最小值是3.设 sinxcosxt，其中t 2，2，则 sin2xt21.由3t2(t21)，解得t12，则32，此时32(ab)3，所以ab2.当ab取最小值2 时，3at2(a2)(t21)3 对t 2，2恒成立，即 2(a2)t23at2a10 对t 2，2恒成立 记f(t)2(a2)t23at2a1，t 2，2 因为f120 是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以 2a20，3a4a212，解得a45.【变式 3】、(2017 南京三模）已知a，b，c为正实数，且a2b8c，2a3b2c，则3a8bc的取值范围为 【答案】27，30【解析】、本题所给条件为关于,a b c的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为,a bc c的二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围.由题意可得：28232abccccab，设,abxycc，则28232,0 xyxyx y，所求可转化为：38txy.又28232xyxy可化为28333222221,0 xyxyxxxy，可行域如下图所示，当直线38txy与曲线322xyx相切时有最小值，当直线38txy经过点A 时有最大值.令28322xyxyx，解得2,3A，即max30t.又322xyx，所以263822yx，解得3x，94y,即切点坐标为93,4,所以min27t，即t的取值范围为27，30.【变式 4】、(2017 苏锡常镇调研（一）若正数x，y满足 15xy22，则x3y3x2y2的最小值为_【答案】、1 【解析】、思路分析 本题最主要的解法是代入消元，然后用导数解决，但计算比较复杂，其余解法是猜特殊值 解法 1 由已知y15x22，所以x3y3(x2y2)x3(15x22)3x2(15x22)23 376x315 076x222 440 x11 132.令f(x)3 376x315 076x222 440 x11 132，x2215，则f(x)8(633x935)(2x3)，所以f(x)在2215，935633上单调递增，在935633，32上单调递减，在32，上单调递增所以f(x)minf321.解法 2 由f(x)x3x2，得f(x)3x22x.令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故g(x)(xx0)2(x2x01)当x012时，g(x)0，令x032，则x3x2154x92；令x012，则x3x214x，即y3y214y，所以x3y3x2y214(15xy)921.解法 3 因为y3y214y14y(4y24y1)14y(2y1)20.当y12时，x32.所以y3y214y.令ux3x2，则u3x22x.当x32时，u154，ux3x2过点32，98.切线为y154 x3298，即y154x92，即证x3x2154x92.令h(x)x3x2154x92，h(x)3x22x1543x52x32.令h(x)0 得x32.当x32时，h(x)min0，所以x3x2154x92(x0)恒成立，得x3y3x2y215xy4922249211921.解法 4 由题意y15x220，则x2215，y0，又x3y3x2y2(x3x2)(y3y2)，其中y3y214y，当且仅当y12时取等号 那么，当x32时，f(x)x3x2在x32处的导数为k 3x22xx32154.x3x2154x92等价于x322(x2)0，此式成立 因此有(x3x2)(y3y2)y4154x921，当且仅当x32，y12时取等号 解法 5 x3y3x2y2x394xy314yx2y294x14y3x2y2x2y294x14y2x2232294x14y926x94x14y92154x14y18415xy1841，当且仅当x32，y12时等号成立 解后反思 本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法，能力要求高，运算较繁如何找到解决问题的突破口是关键我们可以这样思考，从条件正数x，y满足15xy22出发，可以发现x1，将x3y3x2y2写成x2(x1)y2(y1)，如果y1，那么x3y3x2y2不可能有最小值，因此估计 0y1，从二分法的角度思考，猜想y12，代入条件可得x32，此时可以猜得其最小值为 1，下面再用基本不等式的方法加以证明【变式 5】、(2016 泰州期末）若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x12y的最大值为_ 【答案】3 221【解析】、思路分析 处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理如本题，思考方向一，可以设x12yz，代入之后转化为关于y的方程(4z25)y28(z1)y80 在(2，)上应有解，由0 解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得到2x1y22y229，直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x12y用q来表示再整理求最值 解法 1 令x12yz，则 2xy2yz1，代入(2xy1)2(5y2)(y2)整理得(4z25)y28(z1)y80(*)，由题意得y20，该方程在2，)应有解，故0，即 64(z1)232(4z25)0，化简得 2z24z70,故 00，y1y281712 24，故方程必有大于 2 的实根，所以x12y的最大值为3 221.解 法2(2xy 1)2(5y 2)(y 2)，即2x1y252y12y，则x52y12y1y2，所以 x12y12 52y12y1y 1y12941y1 1 21y12941y121 3 221，当且仅当 1y12941y1，即y43 242 时等号成立，所以x12y的最大值为3 221.解法 3 由(2xy1)2(5y2)(y2)得2x1y252y12y，即2x1y292y22，即2x1y22y229，所以 92x1y22y22122x1y2y22，所以x12y3 221.解法 4(2xy1)2(5y2)(y2)即x12y2521y121y，所以121y，x12y，521y成等比数列，设公比为q(q1)，将x，1y用q表示，则x12y3q1q21123q12q12123 221，当且仅当q12q1，即q 21 时等号成立 解后反思 处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式链：abab2 a2b22(a，b0)和abab22a2b22(a，bR).【变式 6】、(2016 南京三模）若实数x，y满足 2x2xyy21，则x2y5x22xy2y2的最大值为_【答案】24 【解析】、思路分析 在 2x2xyy21 中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由 2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，设 2xyt，xy1t，其中t0.则x13t 13t，y23t13t，从而x2yt1t，5x22xy2y2t21t2，记ut1t，则x2y5x22xy2y2uu221u2u12u2u24，当且仅当u2u，即u 2时取等号，即最大值为24.思想根源 实 质 上，已 知 条 件 为(2xy)(xy)1，而x2y5x22xy2y22xyxy2xy2xy2.相当于：已知ab1，求aba2b2的最大值 【变式 7】、（2016 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）设实数x，y满足x24y21，则3x22xy的最小值是_【答案】64 2 【解析】、思路分析 1 注意到所求的代数式为二次齐次式，所以应用“1的代换”将它进行转化 思路分析 2 令t3x22xy，由此来消去y，转化为关于x的方程，利用方程有解来加以解决 思路分析 3 注意到x24y21 是一个可分解的二次式，因此，将它分解为两个一次因式，令其中一个为t，将x，y转化为t的代数式来加以处理 解法 1 因为x24y21，所以 3x22xy3x22xyx24y232yx14yx2，令kyx12，12，则 3x22xy32k14k2432k14k2，再令t32k(2,4)，则k3t2，故 3x22xy4tt26t84t8t6462 864 2，当且仅当t2 2时等号成立 解法 2 令t3x22xy，则y3x2t2x，代入方程x24y21 并化简得 8x4(46t)x2t2 0，令ux24，则 8u2(4 6t)ut2 0 在 4，)上 有 解，从 而 由 46t232t20，6t4160，得t212t40，解得t642，当取得最小值时，u2322满足题意 解 法 3 因 为x24y2 1 x2yx2y，所 以 令x2yt，则x2y1t，从 而 xt1t，y12t1t，则 3x22xy62t24t264 2，当且仅当t2 2时等号成立 解后反思 本题的思维入口宽，可从多个角度来加以思考，从而考查了学生的思维的灵活性以及选择性解题过程中，要善于从不同的角度来认识问题，这样就可以更快地找到解题的途径【变式 8】、已知正实数x，y满足24310 xyxy，则xy的取值范围为 【答案】1，83【解析】法一：令t=xy，则x=ty，于是24310tyyyty所以，10=21(3)(4)ytty22(3)(4)tt，解得 1t83当 21(3)(4)ytty时，得y=423tt当t=1 时，y=1，x=1；当t=83时，y=43，x=2所以，1t83为所求 法二：令t=xy，则y=tx，于是23410txxxxt可得(1+4t)x210 x+2+3t=0，由1004(1+4t)(2+3t)0，得 1t83