2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(一)1560.pdf

1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析（一）例 1 直线113yx 分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点(1)写出点A、B、C、D的坐标；(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3)在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 解析（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0)三点，所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc 所以抛物线的解析式为yx2 2x 3(x 1)2 4，顶点G的坐标为(1，4)（3）如图2，直线BG的解析式为y 3x 1，直线CD的解析式为y 3x 3，因此CD/BG 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ 90 因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x 1)，那么22(3)10BQxxx RtCOD的两条直角边的比为1 3，如果RtABQ与 RtCOD相似，存在两种情况：当3BQBA时，10310 x解得3x 所以1(3,10)Q，2(3,8)Q 当13BQBA时，101310 x解得13x 所以31(,2)3Q，41(,0)3Q 2 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是22(3)10BQxxx 我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N 通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG 90 在 RtBGH中，1sin110，3cos110 当3BQBA时，3 10BQ 在 RtBQN中，sin13QNBQ，cos19BNBQ 当Q在B上方时，1(3,10)Q；当Q在B下方时，2(3,8)Q 当13BQBA时，1103BQ 同理得到31(,2)3Q，41(,0)3Q 例 2 RtABC在直角坐标系内的位置如图1 所示，反比例函数(0)kykx在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2 （1）求m与n的数量关系；（2）当tanA12时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标 图 1 解析（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数kyx的图像上，所以4,2.mknk 整理，得n 2m （2）如图2，过点E作EHBC，垂足为H在RtBEH中，tanBEH tanA12，EH 2，所以BH 1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m 1)3 已知BDE的面积为2，所以11(1)2222BD EHm解得m 1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点D（4，1）在反比例函数kyx的图像上，所以k 4因此反比例函数的解析式为4yx 设直线AB的解析式为ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.kbkb 解得12k，1b 因此直线AB的函数解析式为112yx 图 2 图 3 图 4（3）如图3，因为直线112yx与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD/x轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相 似存在两种情况：如图3，当EAEFAOFP时，2 552FP解得FP 1此时点P的坐标为（1，1）如图4，当EAFPAOEF时，2 525FP解得FP 5此时点P的坐标为（5，1）考点伸展 本题的题设部分有条件“RtABC在直角坐标系内的位置如图1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5 的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为12yx，直线AB为172yx第（3）题FD不再与x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似