双曲线知识点归纳总结11028.pdf
第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax 标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay 定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e 时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围 xa，yR ya，xR 对称轴 x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对 称 中心 原点(0,0)O xyP 1F2F xyP xyP 1F 2F x y xyP 1F2FxyxyP 1F 2F x y P 焦 点 坐标 1(,0)Fc 2(,0)F c 1(0,)Fc 2(0,)Fc 焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc 顶 点 坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率 eace(1)准 线 方程 cax2 cay2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22 顶 点 到准 线 的距离 顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2 顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2 焦 点 到准 线 的距离 焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cac2 焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2 渐近线 方程 xaby xbay 共 渐 近线 的 双曲 线 系方程 kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）1.双曲线的定义 当|MF1|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当aMFMF212时，则表示点M在双曲线左支上；注意定义中的“（小于12FF）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若 2a=2c时，即2121FFMFMF,当2121FFMFMF，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当2112FFMFMF时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；若 2a2c时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的内外部 (1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.4.形如)0(122ABByAx的方程可化为11122ByAx 当01,01BA，双曲线的焦点在y轴上；当01,01BA，双曲线的焦点在x轴上；5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解.6.离心率与渐近线之间的关系 222222221ababaace 1）21abe 2）12eab 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x A2F24轴上，0，焦点在 y 轴上）.(4)与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0(5)与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax(6)当 时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为 y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；8.双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0AxByC相切的条件是22222A aB bc.9.直线与双曲线的位置关系 直线l：)0(mmkxy 双曲线C：12222byax（a0，b0）12222byaxmkxy 02)(222222222bamamkxaxkab 1)当0222kab，即abk时，直线l与双曲线的渐进线 _平行_，直线与双曲线 C 相交于一点；2)当 b2-a2k20，即abk时，=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点 0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点 0时，直线l与双曲线相离，无公共点 3)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）10.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线l：)0(mmkxy 双曲线C：12222byax（a0，b0）联立方程法：12222byaxmkxy 02)(222222222bamamkxaxkab 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy2)(212121，2212122121)()(mxxkmxxkmkxmkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦 AB 的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21 或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b.中点),(00yxM,2210 xxx，2210yyy 点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入双曲线方程，得 1221221byax 1222222byax 将两式相减，可得 2212122121)()(byyyyaxxxx)()(2122122121yyaxxbxxyy a.在涉及斜率问题时，)()(212212yyaxxbkAB b.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时，设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，02020202212122yaxbyaxbxxyy，即0202yaxbkAB，11.焦点三角形面积公式：)(,2tan21221PFFbSPFF。
