高中数学必修2--第一章《空间几何体》知识点总结与练习(共26页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高中数学必修2_第一章空间几何体知识点总结与练习第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图知识能否忆起一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°(或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图空间几何体的结构特征典题导入例1(2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线自主解答A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥； 图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾答案D由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断以题试法1(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题几何体的三视图典题导入例2(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()自主解答根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.答案C由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”注意画三视图时，要注意虚、实线的区别以题试法2(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)(2012·济南模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A2B4C. D2解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，的矩形，故其面积是2.几何体的直观图典题导入例3已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原ABC的面积自主解答建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高把y轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OC a a，所以原三角形ABC的高OCa.所以SABC×a×aa2.由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”“三变”“三不变”以题试法3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A2B.C. D1解析：选A恢复后的原图形为一直角梯形S(11)×22.第二节空间几何体的表面积和体积知识能否忆起柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rlVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR31.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行2求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性3求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理几何体的表面积典题导入例1(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_自主解答由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)在四边形ABCD中，作DEAB，垂足为E，则DE4，AE3，则AD5.所以其表面积为2××(25)×42×44×54×54×492.答案92由题悟法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用以题试法1(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为()A.B2C4D4解析：选D依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×4.几何体的体积典题导入例2 (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A72B48C30 D24 (2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_自主解答(1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.VV半球V圆锥··33··32·430.(2)VADED1VEADD1×SADD1×CD××1.答案(1)C(2)本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为_解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积VV圆柱V圆锥×32×4×32×424.答案：24由题悟法1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”以题试法2(1)(2012·长春调研)四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为()A12 B13C14 D18解析：选C设正方形ABCD面积为S，PDh，则体积比为.(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A32 B24C8 D.解析：选B此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S92××3×112，所以几何体体积V12×224.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入例3(2012·新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B.C. D.自主解答由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABC×AB2，高OD ，VSABC2VOABC2×××.答案A由题悟法1解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，正方体的外接球，则2Ra；正方体的内切球，则2Ra；球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为13.以题试法3(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A2 B.C4 D.(2)(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示其中侧面DBC底面ABC，取BC的中点O1，连接AO1，DO1知DO1底面ABC且DO1，AO11，BO1O1C1.在RtABO1和RtACO1中，ABAC，又BC2，BAC90°.BC为底面ABC外接圆的直径，O1为圆心，又DO1底面ABC，球心在DO1上，即BCD的外接圆为球大圆，设球半径为R，则(R)212R2，R.S球4R24×2.(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|2R，所以R.故球O的体积V.答案：(1)D(2)某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在 解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的 几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破 解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题 策略补形法.常见的补形法有对称补形、联系 补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.1对称补形典例1(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B3C. D6解析 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V××12×43.答案B题后悟道“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助2联系补形(2012·辽宁高考)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析由PA底面ABCD，且ABCD为正方形，故可补形为长方体如图，知球心O为PC的中点，又PA2，ABBC2，AC2，PC4，OAOB2，即AOB为正三角形，S3.答案3题后悟道三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求练习题1(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选AB中正方体的放置方向不明，不正确C中三视图不全是正三角形D中俯视图是两个同心圆2(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3下列三种叙述，其中正确的有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0个 B1个C2个 D3个解析：选A中的平面不一定平行于底面，故错可用下图反例检验，故不正确4(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：正方形的直观图一定是菱形；菱形的直观图一定是菱形；三角形的直观图一定是三角形以上结论正确的是_解析：中其直观图是一般的平行四边形，菱形的直观图不一定是菱形，正确答案：5一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为.答案：1(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()ABC D解析：选A的三个视图都是边长为1的正方形；的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形2有下列四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选A命题不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选CC选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确5.如图ABC是ABC的直观图，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：选B由斜二测画法知B正确6(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为()A2 B1C22 D4解析：选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22×2×4.7(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图1所示，直三棱柱ABEA1B1E1符合题设要求，此时俯视图ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABCA1B1C1符合题设要求，此时俯视图ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCDA1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有，故排除.答案：8(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为×2×2sin 60°×2××2×2sin 60°×1.答案：9正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正视图的周长为22.答案：2210已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体11(2012·银川调研)正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)解：如图所示，正四棱锥SABCD中，高OS，侧棱SASBSCSD，在RtSOA中，OA2，AC4.ABBCCDDA2.作OEAB于E，则E为AB中点连接SE，则SE即为斜高，在RtSOE中，OEBC，SO，SE，即棱锥的斜高为.12(2012·四平模拟)已知正三棱锥VABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)三棱锥的直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC×2×26.1(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是()A.a2B.a2C.a2 D.a2解析：选A侧面都是直角三角形，故侧棱长等于a，S全a23××2a2.2已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12 B36C72 D108解析：选B依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×6，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4×3236.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为()A24 B80C64 D240解析：选B结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V×8×6×580.4(教材习题改编)表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则rlr23，l2r.解得r1，即直径为2.答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2.两部分加起来即为几何体的表面积，为2()答案：2()1(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A8B.C4D.解析：选D将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积VS正方形ABCD×PA××2×2×2.2(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB3，BC2，则棱锥OABCD的体积为()A.B3C2 D6解析：选A依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥OABCD的高等于，所以棱锥OABCD的体积等于×(3×2)×.3(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()A4 B.C5 D.解析：选D由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为·4·123···12.4(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为()A24 B23C22 D21解析：选C这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5 (2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为()A. B5C. D4解析：选D由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可由俯视图和主视图可知，底面面积为1×22××2×14，所以该几何体的体积为4×14.6.如图，正方体ABCDABCD的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF2，动点Q在棱DC上，则三棱锥AEFQ的体积()A与点E，F位置有关B与点Q位置有关C与点E，F，Q位置都有关D与点E，F，Q位置均无关，是定值解析：选D因为VAEFQVQAEF××4，故三棱锥AEFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值7(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V×1×1×.答案：8(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析：因为半圆的面积为2，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为，体积为.答案：9(2013·郑州模拟)在三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4R243.答案：4310(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC.(1)求证：面ABEF平面BCDE；(2)求五面体ABCDEF的体积解：设原正六边形中，ACBEO，DFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC，ACBE，DFBE.(1)证明：在五面体ABCDE中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA平面BCDE.OA平面ABEF，平面ABEF平面BCDE.(2)由BEOA，BEOC知BE平面AOC，同理BE平面FOD，平面AOC平面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2×××()2×1×()2×24.11(2012·大同质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中ADAB，CDAB，AB4，CD2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点(1)求证：DE平面PBC；(2)求三棱锥APBC的体积解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.在直角梯形ABCD中，CDAB，且AB4，CD2，所以BF綊CD.所以四边形BCDF为平行四边形所以DFBC.在PAB中，PEEA，AFFB，所以EFPB.又因为DFEFF，PBBCB，所以平面DEF平面PBC.因为DE平面DEF，所以DE平面PBC.(2)取AD的中点O，连接PO.在PAD中，PAPDAD2，所以POAD，PO.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.在直角梯形ABCD中，CDAB，且AB4，AD2，ABAD，所以SABC×AB×AD×4×24.故三棱锥APBC的体积VAPBCVPABC×SABC×PO×4×.12(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BCB1C11，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积VSABC·BB1×1××.(2)证明：由(1)知平面AA1C1C平面BB1C1C且B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1.所以B1C1A1C.因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1CAC1.而B1C1AC1C1，所以A1C平面AB1C1.1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D.8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为13，选C.专心-专注-专业