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偏微分方程概论第一页，讲稿共五十六页哦1.1 常微分方程简介常微分方程简介1.1.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念牛顿第二定律牛顿第二定律：其中：其中：m是质量，是质量，r是位置向量，是位置向量，t是时间，是时间，F是作用于质点的是作用于质点的力力第二页，讲稿共五十六页哦牛顿引力定律：牛顿引力定律：其中：其中：G是万有引力常数，是万有引力常数，M与与m是一对相互吸引的是一对相互吸引的质点，质点，r是从是从M到到m的向量，的向量，r|r|是与是与r同向的单位向同向的单位向量量第三页，讲稿共五十六页哦这就是描述行星运动的微分方程这就是描述行星运动的微分方程微分方程微分方程中未知函数只出现一个自变量。中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令求解方程，可引入极坐标变换，令 u=1r第四页，讲稿共五十六页哦则得到下面的二阶常系数线性微分方程：则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,q q0是由初始条件确定的是由初始条件确定的2个常数。个常数。第五页，讲稿共五十六页哦1.1.2 一些典型的常微分方程一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程具有如下形式：具有如下形式：可转化为可转化为第六页，讲稿共五十六页哦两边对两边对x积分（如果可能的话）积分（如果可能的话）得得 G(y)+C1=F(x)+C2即即 G(y)=F(x)+C第七页，讲稿共五十六页哦二、齐次方程二、齐次方程具有如下形式具有如下形式作变量替换，令作变量替换，令 u=yx y=ux是可分离变量的方程是可分离变量的方程第八页，讲稿共五十六页哦三、线性变系数方程三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）具有如下形式（一阶）相应的齐次方程相应的齐次方程显然是个可分离的方程显然是个可分离的方程第九页，讲稿共五十六页哦积分得通解积分得通解 yh(x)=Cexp-P(x)其中：其中：定义积分因子定义积分因子则则 m(x)yh(x)=C第十页，讲稿共五十六页哦两边求导两边求导对于对于q(x)0 时时 m(x)y(x)=C 不成立。不成立。但由上面的推导，可有但由上面的推导，可有第十一页，讲稿共五十六页哦对上式积分得对上式积分得即有即有第十二页，讲稿共五十六页哦伯努利方程伯努利方程作变换，令作变换，令 u =y1-n第十三页，讲稿共五十六页哦n 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程其中，其中，a0,an均为常数。均为常数。先考虑齐次情形先考虑齐次情形令令 y=el lx 代入得代入得第十四页，讲稿共五十六页哦解这个方程得解这个方程得 l l=l l1 1,l ln 若若 l lil lj ,i j方程通解为方程通解为若某个若某个l lj是是 h 重根，则对应还有如下的重根，则对应还有如下的h个解个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。性组合都是齐次方程的通解。第十五页，讲稿共五十六页哦下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令令 dzdx=u第十六页，讲稿共五十六页哦这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解 y =y0(x)则，原方程通解为则，原方程通解为第十七页，讲稿共五十六页哦1.2 偏微分方程的导出与定解偏微分方程的导出与定解1.2.1 偏微分方程的概念偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。此必须用偏微分方程才能描述和求解。第十八页，讲稿共五十六页哦但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。程研究的一般性理论。第十九页，讲稿共五十六页哦1.2.2 几个典型的数学物理方程几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中其中 a0，a2=kQ，k是传热系数，是传热系数，Q是热容量。是热容量。第二十页，讲稿共五十六页哦拉普拉斯方程拉普拉斯方程调和方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）第二十一页，讲稿共五十六页哦波动方程波动方程当声波在空气中传播时，如果当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰动，表示压强的小扰动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度速度第二十二页，讲稿共五十六页哦1.2.3 初边值问题初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题柯西问题即：求波动方程的解即：求波动方程的解 u，使其满足初始条件，使其满足初始条件u0(x,y,z)和和u1(x,y,z),表示在表示在t=0时波的形状和关于时波的形状和关于t 的的变化率。变化率。第二十三页，讲稿共五十六页哦一维情形一维情形弦振动方程弦振动方程初始条件初始条件作变换作变换 x x=x-at ,h h=x+at方程变为方程变为第二十四页，讲稿共五十六页哦且通解为且通解为 u=f(x-at)+g(x+at)其中其中f与与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（dAlembert）公式）公式第二十五页，讲稿共五十六页哦高维情形，把高维情形，把(x，y，z)记记 x=(x1,x2,x3),x x=(x x1,x x2,x x3)利用傅立叶变换（利用傅立叶变换（Fourier）其中其中 x x x=x x1 x1+x x2 x2+x x3 x3第二十六页，讲稿共五十六页哦且当且当 f 满足一定条件时有满足一定条件时有Fourier逆变换逆变换另外有另外有第二十七页，讲稿共五十六页哦对于下面方程，利用对于下面方程，利用Fourier变换变换第二十八页，讲稿共五十六页哦变成解常微分方程的初值问题，解得变成解常微分方程的初值问题，解得其中其中做做Fourier逆变换，得泊松（逆变换，得泊松（Poisson）公式）公式第二十九页，讲稿共五十六页哦其中其中ds1（dsat）是球面）是球面|l|=1（|l|=at）的面积）的面积元素。元素。第三十页，讲稿共五十六页哦1.3 热传导方程初值问题的求解热传导方程初值问题的求解两边关于两边关于x 做做Fourier变换变换第三十一页，讲稿共五十六页哦解常微分方程得解常微分方程得若记若记且有且有从而从而第三十二页，讲稿共五十六页哦同理同理第三十三页，讲稿共五十六页哦代入得代入得其中其中通常称通常称K(x-x x,t-t t)为热传导方程基本解，且当为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、j j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。的初值问题解。第三十四页，讲稿共五十六页哦1.4 二阶偏微分方程的分类与化简二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：标准形式：（波动方程）（波动方程）（热传导方程）（热传导方程）（位势方程）（位势方程）第三十五页，讲稿共五十六页哦其中其中 ：f是是 (x1,xm)或或(x1,xm,t)的函数，的函数，a a为常数，为常数，是是Laplace算子。算子。二阶偏微分方程的一般形式：二阶偏微分方程的一般形式：其中其中 aij=aji、b、c、f 都是都是 (x1,xm)的函数。的函数。第三十六页，讲稿共五十六页哦用用A表示矩阵（表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取对于波动方程，取 m=n+1,t=xn+1第三十七页，讲稿共五十六页哦对于热传导方程，取对于热传导方程，取 m=n+1,t=xn+1第三十八页，讲稿共五十六页哦对于位势方程，取对于位势方程，取 m=n第三十九页，讲稿共五十六页哦如果如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵定存在一个正交矩阵 T ，使得，使得 TTAT是对角阵，且对是对角阵，且对角线上的元素就是角线上的元素就是A的特征值。的特征值。位势方程：位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即的特征是都是正（或负）的，即A是正是正定的或负定的；定的或负定的；热传导方程：热传导方程：A的特征值有一个为的特征值有一个为0，其它的都为正，其它的都为正（或负）的，即（或负）的，即A是非负（或非正）的；是非负（或非正）的；波动方程：波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即都是负（正）的，即A是不定的。是不定的。第四十页，讲稿共五十六页哦设设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，是空间中一点，A(x0)表示矩阵表示矩阵A在在x0点点的值的值定义定义：若：若A(x0)的的m个特征是全是正（或负），称方程在个特征是全是正（或负），称方程在x0点点是椭圆型的；若是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为的特征是除了一个为0外全是正（或负）外全是正（或负）的，称方程在的，称方程在x0点是抛物型的；若点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一的特征值除了一个为负（或正）外，其它个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，称个全是正（或负）的，称方程在方程在x0点是双曲型的。如果对于区域点是双曲型的。如果对于区域W WW W上每一个点，方上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域程是椭圆型的，则称方程在区域W W上是椭圆型的。类似有上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。抛物型的和双曲型的。第四十一页，讲稿共五十六页哦定理定理：如果方程的二阶项系数：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即是常数，即A是常数是常数矩阵，且它属于椭圆型矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）方程，（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。的二阶项化为三个标准形式。第四十二页，讲稿共五十六页哦1.4.2 二阶偏微分方程的化简二阶偏微分方程的化简定义：定义：称称m维空间中的一张曲面维空间中的一张曲面S=j j(x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面特征曲面，如果曲面，如果曲面S的的每一个点，有每一个点，有定义：定义：对于固定点对于固定点 x0=(x10,xm0)，如果过，如果过该点的方向该点的方向 l=(a a1 1,a am)满足特征方程满足特征方程则称则称 l 为该点的为该点的特征方向特征方向。第四十三页，讲稿共五十六页哦由于由于 表示曲面表示曲面j j(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设怎样求特征方向和特征曲面，总假设 a ai2 =1即取即取a ai为特征方向的方向余弦。为特征方向的方向余弦。第四十四页，讲稿共五十六页哦例：例：热传导方程热传导方程的特征方程为的特征方程为 a a12 +a a22 +a a32 =0由假设有由假设有 a a02 +a a12 +a a22 +a a32 =1从而从而 a a02 =1因此特征曲面为超平面因此特征曲面为超平面 t=常数常数第四十五页，讲稿共五十六页哦例：例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为其特征方程为 a11a a12 +2+2a12a a1a a2+a22a a22=0 =0 满足上述关系的方向满足上述关系的方向(a a1,a a2)为特征方向，其特征线为特征方向，其特征线 j j(x,y)=0第四十六页，讲稿共五十六页哦满足满足 a11j jx2 +2 2a a1212j jx j jy+a22j jy2=0 *求解这个方程。求解这个方程。对对 j j(x,y)=0微分并代入上式微分并代入上式 j jxdx+j jydy=0 j jx=-j jydydx a11dy2 -2a12dxdy+a22dx2=0 *偏微化为常微，求出偏微化为常微，求出*的一族积分曲线的一族积分曲线j j1(x,y)=C则，则，z=j j1(x,y)是是*方程的解。方程的解。第四十七页，讲稿共五十六页哦求求*的积分曲线，将它分解为两个方程的积分曲线，将它分解为两个方程此时在此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记的近旁有三种情况，记 0 =a122-a11a22 =0 0第四十八页，讲稿共五十六页哦即，在即，在 (x0,y0)近旁近旁 0 此时此时*有两族不同的实积分曲线有两族不同的实积分曲线 j j(x,y)=C和和 y y(x,y)=C引入自变量引入自变量 x x=j j(x,y),h h=y y(x,y)*由由*可看出可看出-j jx j jy、-y yx y yy是二次方程是二次方程 a11l l2 +2+2a12l l+a22=0 =0 两个不同实根，从而两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。即，上述自变量变换是可逆的。第四十九页，讲稿共五十六页哦由于由于ux=uxx xx+uhh hxuy=uxx xy+uh hh hyuxx=uxxx xx2+2uxhx xxh hx+uhhh hx2+uxx xxx+uhh hxxuxy=uxxx xxx xy+uxh(x xxh hy+x xyh hx)+uhhh hxh hy +uxx xxy+uhh hxyuyy=uxxx xy2+2uxhx xyh hy+uhhh hy2+uxx xyy+uhh hyy原方程化为原方程化为 b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux+c2uh+Du=f第五十页，讲稿共五十六页哦其中其中b11=a11x xx2+2a12x xxx xy+a11x xy2 b12=a11x xxh hx+a12(x xxh hy+x xyh hx )+a22x xyh hy b22=a11h hx2+2a12h hxh hy+a11h hy2 由由*和和*知知 b11=b22=0,*=b122-b11b12=*J2故故b120从而原方程化为从而原方程化为第五十一页，讲稿共五十六页哦如果令如果令 x x=(s+t)2,h h=(s-t)2方程最终化为方程最终化为第五十二页，讲稿共五十六页哦1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程1.其对应的滤波器具有锐化作用。其对应的滤波器具有锐化作用。第五十三页，讲稿共五十六页哦2.其中其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。代有一定联系。第五十四页，讲稿共五十六页哦3.这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系。迭代有一定联系。第五十五页，讲稿共五十六页哦4.这个方程导出了这个方程导出了AMSS算子，它满足平移算子，它满足平移 不变、不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。变性。第五十六页，讲稿共五十六页哦