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简单巨系统简单巨系统本讲稿第一页，共三十四页简单系统与简单巨系统简单系统与简单巨系统熵熵简单巨系统的基本概念简单巨系统的基本概念系统演化的分析方法系统演化的分析方法简单巨系统理论的应用简单巨系统理论的应用简单巨系统是研究其他巨系统的基础。自组织理论是其研究工具。简单巨系统是研究其他巨系统的基础。自组织理论是其研究工具。2023/4/12本讲稿第二页，共三十四页一、简单系统与简单巨系统一、简单系统与简单巨系统 指不需要分层次或仅有一个层次的系统。用牛顿力学理论（叠加原理）指不需要分层次或仅有一个层次的系统。用牛顿力学理论（叠加原理）来讨论的系统即是简单系统，判断简单系统的主要标准。应着重在以下方面来讨论的系统即是简单系统，判断简单系统的主要标准。应着重在以下方面理解简单系统理论：理解简单系统理论：(1)简单系统是一个模型。可以包括从宇宙天体系统到微观原子系统在简单系统是一个模型。可以包括从宇宙天体系统到微观原子系统在内的一大类系统。内的一大类系统。(2)简单系统看重分析方法与思想。不在于子系统数量的多少。简单系统看重分析方法与思想。不在于子系统数量的多少。(3)简单系统的子系统与系统之间满足叠加原理。简单系统的子系统与系统之间满足叠加原理。(4)简单系统没有层次概念。简单系统没有层次概念。1、简单系统、简单系统2023/4/13本讲稿第三页，共三十四页现实中简单系统很少。可以简化成简单系统的条件：现实中简单系统很少。可以简化成简单系统的条件：(1)子系统之间非线性作用微弱；子系统之间非线性作用微弱；(2)子系统之间关系只发生在两两之间，不涉及第子系统之间关系只发生在两两之间，不涉及第3个子系统。个子系统。一个简单系统可以得到对系统状态描述完全确定性的结果，不存在演化，是一个简单系统可以得到对系统状态描述完全确定性的结果，不存在演化，是完全静止的。完全静止的。简单巨系统比简单系统复杂，但仍然是一种理论模型。简单巨系统比简单系统复杂，但仍然是一种理论模型。简单巨系统内子系统之间的相互作用通常是已知的、确定的，可简单巨系统内子系统之间的相互作用通常是已知的、确定的，可以用确定的规律来描述各子系统之间的作用。以用确定的规律来描述各子系统之间的作用。但各子系统之间的作用规律是非线性的，系统的整体性质不能从子系统但各子系统之间的作用规律是非线性的，系统的整体性质不能从子系统叠加得到，会叠加得到，会“涌现涌现”新的性质。这是与简单系统的根本差别。新的性质。这是与简单系统的根本差别。2、简单巨系统、简单巨系统2023/4/14本讲稿第四页，共三十四页简单巨系统也出现层次的概念。至少可以分成两个层次，即系统层次和简单巨系统也出现层次的概念。至少可以分成两个层次，即系统层次和子系统层次，两个层次之间不存在叠加原理。不同层次上对系统演化描述是子系统层次，两个层次之间不存在叠加原理。不同层次上对系统演化描述是不同的。如热力学系统，在系统层次通常采用温度、压强、体积等物理量，不同的。如热力学系统，在系统层次通常采用温度、压强、体积等物理量，而在子系统层次则用分子的动能、速度等物理量。而在子系统层次则用分子的动能、速度等物理量。简单巨系统不再适用叠加原理，其两个层次之间的物理量不能通简单巨系统不再适用叠加原理，其两个层次之间的物理量不能通过叠加原理得出，通常需在各层次上独立分析，得到结果。过叠加原理得出，通常需在各层次上独立分析，得到结果。2023/4/15本讲稿第五页，共三十四页二、熵二、熵简单巨系统的基本概念简单巨系统的基本概念 熵：衡量子系统对系统总体性质的贡献大小的物理量。熵：衡量子系统对系统总体性质的贡献大小的物理量。通过对熵概念发展历史的了解和熵物理量性质的认识，给出简单巨系通过对熵概念发展历史的了解和熵物理量性质的认识，给出简单巨系统熵的定义和性质。统熵的定义和性质。在热力学中熵是热力学系统演化过程中不可逆性的一个度量：在在热力学中熵是热力学系统演化过程中不可逆性的一个度量：在孤立的热力学系统孤立的热力学系统(热力学第二定律热力学第二定律)中，自发演化过程中熵不可能减少，中，自发演化过程中熵不可能减少，系统最终达到熵最大的状态。演化中，两个状态之间熵变化的具体数值，由系统最终达到熵最大的状态。演化中，两个状态之间熵变化的具体数值，由联系两个状态之间可逆等温过程中系统吸收的热量除以温度的商值表示：联系两个状态之间可逆等温过程中系统吸收的热量除以温度的商值表示：1、波尔兹曼、波尔兹曼(L.Boltzman)熵熵这是熵最初的概念和性质。是描述系统状态的量，以系统状态之这是熵最初的概念和性质。是描述系统状态的量，以系统状态之间的差值表示。间的差值表示。2023/4/16本讲稿第六页，共三十四页 Boltzman在统计物理学中讨论由大量微观粒子组成的系统，通过平在统计物理学中讨论由大量微观粒子组成的系统，通过平衡态的衡态的热力学第一定律热力学第一定律，在给定了熵的零点值后，得到系统某个宏观状，在给定了熵的零点值后，得到系统某个宏观状态的熵值态的熵值S，其表达式为：，其表达式为：kB为波尔兹曼常量，为波尔兹曼常量，W为宏观状态下对应系统的微观状态数。热力学为宏观状态下对应系统的微观状态数。热力学系统的一种微观状态就是分子的一种分布排列。系统的一种微观状态就是分子的一种分布排列。对于系统某一宏观状态而言，其包含的微观状态数量多，系统宏观状态对于系统某一宏观状态而言，其包含的微观状态数量多，系统宏观状态的熵就高，表明其混乱程度大。的熵就高，表明其混乱程度大。系统不同的状态对应不同的熵值，熵值大小与演化过程无关。统计物系统不同的状态对应不同的熵值，熵值大小与演化过程无关。统计物理熵仅适用于平衡态，因平衡态下的物理量如温度、压强等才有意义。理熵仅适用于平衡态，因平衡态下的物理量如温度、压强等才有意义。2023/4/17本讲稿第七页，共三十四页 一个处在非平衡态的系统，熵等于其各个局部分别处在各自平衡态一个处在非平衡态的系统，熵等于其各个局部分别处在各自平衡态上的熵之和。上的熵之和。两个要求：两个要求：(1)系统的各个局部处在平衡态；系统的各个局部处在平衡态；(2)系统满足叠加原理，即系统满足叠加原理，即每个局部在构成系统时满足，而不是子系统满足。每个局部在构成系统时满足，而不是子系统满足。信息论将信息概念加以推广，可在一般系统范围内使用。在概率论基础上，信息论将信息概念加以推广，可在一般系统范围内使用。在概率论基础上，将信息熵加以推广，形成概率测度熵。将信息熵加以推广，形成概率测度熵。定义：设一样本空间定义：设一样本空间X有有n个事件个事件Xi，Xi出现的概率为出现的概率为Pi，存在，存在2、概率测度熵、概率测度熵2023/4/19本讲稿第九页，共三十四页若有一函数若有一函数H(P1,Pn)满足下列条件：满足下列条件：(1)对于固定的对于固定的n,H是是P1,Pn的连续函数；的连续函数；(2)若若Pi=1/n,则对应的则对应的H(1/n,1/n)应是应是n的单调递增函数；的单调递增函数；(3)若将一试验分解成多个相继的试验，则原先的若将一试验分解成多个相继的试验，则原先的H值应为分解后多个试值应为分解后多个试验相应各个验相应各个H值的加权和（叠加原理）。值的加权和（叠加原理）。则则H(P1,Pn)为熵。可以证明：为熵。可以证明：一个系统内每一个元素的概率测度，即不确定性为一个系统内每一个元素的概率测度，即不确定性为Pi，则整个系统的，则整个系统的不确定性程度为不确定性程度为H。对于具有。对于具有n个子系统的系统，其各个子系统的测度个子系统的系统，其各个子系统的测度Pi(Xi)=1/n时可有：时可有：2023/4/110本讲稿第十页，共三十四页即，等同于波尔兹曼熵，可以认为波尔兹曼熵是概率测度熵在各子系统即，等同于波尔兹曼熵，可以认为波尔兹曼熵是概率测度熵在各子系统出现概率一样的特殊情况。出现概率一样的特殊情况。一个包含有一个包含有N个子系统的系统，系统整体层次的不确定性是由子系统的不确个子系统的系统，系统整体层次的不确定性是由子系统的不确定性造成的。如何衡量系统的整体不确定性？就是要满足概率测度熵的三个条件。定性造成的。如何衡量系统的整体不确定性？就是要满足概率测度熵的三个条件。如果简单巨系统的一部分具有可加性或具有可加性的物理量，则可以如果简单巨系统的一部分具有可加性或具有可加性的物理量，则可以建立熵概念。建立熵概念。2023/4/111本讲稿第十一页，共三十四页3、简单巨系统熵的定义、简单巨系统熵的定义简单巨系统熵：对于一个由简单巨系统熵：对于一个由N个子系统组成的简单巨系统，若系统个子系统组成的简单巨系统，若系统具有可加性的某性质具有可加性的某性质，其测得总量为，其测得总量为X，子系统，子系统i的测量值为的测量值为Xi，对总量，对总量的贡献为的贡献为Pi=Xi/X，则系统关于性质，则系统关于性质 的熵值为：的熵值为：适用范围：适用范围：(1)只能衡量满足叠加原理的简单巨系统，或具有可加性性质的整体只能衡量满足叠加原理的简单巨系统，或具有可加性性质的整体与局部之间的关系；与局部之间的关系；(2)同一简单巨系统可以定义多个熵，对应不同具有可加性的性质，同一简单巨系统可以定义多个熵，对应不同具有可加性的性质，讨论不同性质下系统整体与局部的关系。讨论不同性质下系统整体与局部的关系。2023/4/112本讲稿第十二页，共三十四页4、简单巨系统熵对系统的描述、简单巨系统熵对系统的描述简单巨系统熵可以描述系统的状态，是态函数。其零值也被指定，即当简单巨系统熵可以描述系统的状态，是态函数。其零值也被指定，即当系统该性质数值仅由其中一个确定的子系统提供，其余子系统对该性质的贡系统该性质数值仅由其中一个确定的子系统提供，其余子系统对该性质的贡献为零时，系统对该性质的熵定为零。献为零时，系统对该性质的熵定为零。简单巨系统熵可以描述系统以该物理量为标志的演化方向。在简简单巨系统熵可以描述系统以该物理量为标志的演化方向。在简单巨系统与外界交流进行演化时，其熵值增加，表示系统向着各子系单巨系统与外界交流进行演化时，其熵值增加，表示系统向着各子系统对系统该性质均匀进行贡献的方向发展；熵值减少，表示系统向着统对系统该性质均匀进行贡献的方向发展；熵值减少，表示系统向着某一单个子系统对系统该性质主要进行贡献的方向发展。某一单个子系统对系统该性质主要进行贡献的方向发展。【例例】一个由一个由A、B、C三个子系统三个子系统(工厂工厂)组成的简单巨系统组成的简单巨系统(某个行业某个行业)，总生产量为，总生产量为300单位不变，三个子系统生产量不同，系统熵值不同。单位不变，三个子系统生产量不同，系统熵值不同。2023/4/113本讲稿第十三页，共三十四页若三个子系统生产量均匀，此时系统的熵值：若三个子系统生产量均匀，此时系统的熵值：若若A生产生产150，B生产生产100，C生产生产50，此时系统的熵值：，此时系统的熵值：显然显然H1H2，即均匀贡献的系统熵值大于某个子系统贡献大的系统熵值。，即均匀贡献的系统熵值大于某个子系统贡献大的系统熵值。2023/4/114本讲稿第十四页，共三十四页三、系统演化的分析方法三、系统演化的分析方法 简单巨系统的演化性质一般是由非线性微分方程解的特点来反简单巨系统的演化性质一般是由非线性微分方程解的特点来反映的，所以主要讨论方程解的性映的，所以主要讨论方程解的性 质，但通常无法给出精确解的解析质，但通常无法给出精确解的解析表达式。现有多种方法来讨论：表达式。现有多种方法来讨论：（1）计算机数值模拟，属于计算数学；）计算机数值模拟，属于计算数学；（2）微分方程稳定性理论可以定性分析系统性质。）微分方程稳定性理论可以定性分析系统性质。本节介绍几种处理无法精确求解微分方程的较常见的数学分析方法。本节介绍几种处理无法精确求解微分方程的较常见的数学分析方法。2023/4/115本讲稿第十五页，共三十四页(6-1)1 1、微扰论、微扰论渐变分析方法渐变分析方法 其中：其中：为小数（为小数（0 1）将将x写成写成的幂级数：的幂级数：(6-2)以振动原理为例：以振动原理为例：2023/4/116本讲稿第十六页，共三十四页将将(6-2)带入带入(6-1)，按，按的不同幂次可将的不同幂次可将(6-1)写成微分方程组：写成微分方程组：(6-3a)(6-3b)(6-3c)2023/4/117本讲稿第十七页，共三十四页将将x0(t)代入（代入（6-3b），带有驱动项的振动方程：），带有驱动项的振动方程：（6-3a）为标准简谐振动方程，）为标准简谐振动方程，0为振动频率，解为：为振动频率，解为：(6-4)2023/4/118本讲稿第十八页，共三十四页 此此解解的的第第二二项项随随时时间间增增加加而而无无限限增增大大，称称为为久久期期项项。(6-1)的的解解应应反反映映系系统统在在有有限限范范围围内内运运动动，这这里里出出现现矛矛盾盾的的原原因因在在于于解解的的级级数性质。微扰论就是解决久期项使方程解不发散。数性质。微扰论就是解决久期项使方程解不发散。从从系系统统演演化化机机制制上上分分析析，若若外外加加周周期期驱驱动动力力的的频频率率与与系系统统振振动动固固有有频频率率一一致致，则则振振幅幅不不断断加加大大，直直至至无无穷穷。非非线线性性恢恢复复力力的的存在使如何判断外界驱动力对系统产生共振作用的部分带来困难。存在使如何判断外界驱动力对系统产生共振作用的部分带来困难。（6-4）方程解为：）方程解为：2023/4/119本讲稿第十九页，共三十四页处理办法：处理办法：首先，把系统振动频率首先，把系统振动频率也写成幂级数，且当也写成幂级数，且当=0时时=0；第第二二，在在具具体体求求解解xi中中，将将驱驱动动力力中中与与固固定定频频率率0一一样样的的部部分分之之系系数取为零。数取为零。令令=t，假假定定系系统统开开始始无无运运动动，初初速速度度为为零零，即即t=0，x0(0)=A0，x0(0)=0，按上述方法可求得：，按上述方法可求得：2023/4/120本讲稿第二十页，共三十四页 该该方方法法由由天天文文学学家家林林德德斯斯泰泰特特（Lindstedt）于于1883年年提提出出，庞庞加加莱莱于于1892年年完完善善。微微扰扰论论的的Lindstedt-Poincare method 适适用用于于为为小小量量，否则选用的级数不收敛。否则选用的级数不收敛。2、平均值分析、平均值分析变量相关性讨论变量相关性讨论 按数学理论，可定义一个变量的均值按数学理论，可定义一个变量的均值E(X)，涨落，涨落Var(X)，以及两个，以及两个变量的关联变量的关联Cov(X,Y)。对函数的导数可定义平均数：。对函数的导数可定义平均数：2023/4/121本讲稿第二十一页，共三十四页若演化过程有限，不论若演化过程有限，不论t取何值，取何值，X值均不会为无穷，则值均不会为无穷，则(6-5)（6-5）表表明明导导数数平平均均值值为为零零，可可用用于于讨讨论论一一些些生生物物化化学学系系统统演演化化方方程程的性质。的性质。生物界及经济、社会等领域存在生存竞争现象，可建立相似的生存竞争模型。生物界及经济、社会等领域存在生存竞争现象，可建立相似的生存竞争模型。捕食者捕食者被捕食者演化系统为例。被捕食者演化系统为例。设设X表示被捕食者，表示被捕食者，Y表示捕食者。表示捕食者。X的增加依赖于外界食物的供应量的增加依赖于外界食物的供应量A，即，即A+X2X；捕食过程，捕食过程，X减少和减少和Y增加的程度与其数量成正比，即增加的程度与其数量成正比，即X+Y2Y；Y的减少，的减少，Y+B2E。可以看成化学反应，。可以看成化学反应，X、Y分别表示反应中的中间产物，每一分别表示反应中的中间产物，每一个式子表示一个反应。个式子表示一个反应。2023/4/122本讲稿第二十二页，共三十四页 上上述述三三式式中中，A、B由由外外界界条条件件控控制制其其浓浓度度变变化化，X、Y的的浓浓度度变变化化完完全全依依靠靠系系统统内内的的动动力力学学过过程程。三三个个反反应应的的速速率率系系数数分分别别为为k1、k2、k3，则则X增加率：增加率：捕食过程：捕食过程：Y减少减少率：率：2023/4/123本讲稿第二十三页，共三十四页总括两个变量，三步反应，则系统总的演化方程为：总括两个变量，三步反应，则系统总的演化方程为：经适当变换，标准的洛特卡经适当变换，标准的洛特卡沃尔泰拉方程：沃尔泰拉方程：（6-6）2023/4/124本讲稿第二十四页，共三十四页 将（将（6-6）式稍作变化：）式稍作变化：（1）令）令aX=I(t)已知的规律变化已知的规律变化;（2）被捕食者受环境影响，自身存在死亡率）被捕食者受环境影响，自身存在死亡率C；（3）捕食者的演化机制不变。）捕食者的演化机制不变。（6-7a）（6-7b）2023/4/125本讲稿第二十五页，共三十四页 比较上述两式知比较上述两式知 Cov(X,Y)=0，表明表明X、Y之间无关联，各自以自之间无关联，各自以自身的规律趋于定态解。由（身的规律趋于定态解。由（6-7a）可变化）可变化:利用平均值方法对利用平均值方法对(6-7b)求：求：（6-8）2023/4/126本讲稿第二十六页，共三十四页 由由此此可可知知，X、Y变变量量的的均均值值与与I为为常常数数的的定定态态解解一一样样，在在I随随时时间间变变化化时时，只只需需要要将将I(t)用用均均值值代代替替即即可可，其其原原因因是是定定态态解解X*、Y*是是稳定的。稳定的。再进一步分析，可得：再进一步分析，可得：（1）X与其增长率与其增长率I是正相关的是正相关的 （2）0Cov(Y,I)QVar(Y)即即：外外界界控控制制被被捕捕食食者者X增增长长的的速速率率函函数数I与与捕捕食食者者Y之之间间如如果果不不是是负负相相关关，其其关关联联程程度度也也不不可可能能大大于于捕捕食食者者Y的的涨涨落落量量与与Q的的乘乘积。积。利用（利用（6-8）可有）可有:2023/4/127本讲稿第二十七页，共三十四页四、简单巨系统理论的应用四、简单巨系统理论的应用 建立模型需要根据理论的框架和特点，针对实际问题的内容进行分析而建建立模型需要根据理论的框架和特点，针对实际问题的内容进行分析而建立。立。牛顿力学理论研究在外力作用下系统机械运动的规律，对实际问题建立牛顿力学理论研究在外力作用下系统机械运动的规律，对实际问题建立模型时，应着重分析系统受外力情况，并尽量设法描写系统整体的位置和速模型时，应着重分析系统受外力情况，并尽量设法描写系统整体的位置和速度。度。控制理论研究系统在某些控制参量作用下运动变化的特点，建立模控制理论研究系统在某些控制参量作用下运动变化的特点，建立模型时一定要选择确定控制参量，并主要分析控制参量与系统状态之间的联型时一定要选择确定控制参量，并主要分析控制参量与系统状态之间的联系。系。简单巨系统理论则不同，其子系统数目多，建立系统模型时没有确定的简单巨系统理论则不同，其子系统数目多，建立系统模型时没有确定的模式或要求，但其演化方程必须是非线性微分方程，具有多个定态解，才能模式或要求，但其演化方程必须是非线性微分方程，具有多个定态解，才能反映系统从无序到有序状态的变化。反映系统从无序到有序状态的变化。讨论实际系统的演化性质可分为：建立模型、求解模型、根据解来讨论讨论实际系统的演化性质可分为：建立模型、求解模型、根据解来讨论系统性质等几个步骤。系统性质等几个步骤。2023/4/128本讲稿第二十八页，共三十四页1、建立模型、建立模型 人口空间分布：研究由于经济发展影响人口迁移造成空间分布上人口空间分布：研究由于经济发展影响人口迁移造成空间分布上的变化。将人口系统看成由各种不同密度地区的人口（子系统）组成的变化。将人口系统看成由各种不同密度地区的人口（子系统）组成的复杂系统，地区的人口数量是重要的状态变量。的复杂系统，地区的人口数量是重要的状态变量。从演化机理上看，经济水平是迁移的主要原因，地区经济的整体水平从演化机理上看，经济水平是迁移的主要原因，地区经济的整体水平是重要的状态变量。重点讨论城镇人口的变化。是重要的状态变量。重点讨论城镇人口的变化。设某城镇设某城镇i的总人口为的总人口为pi，其中在业人口，其中在业人口Xi和非在业人口和非在业人口ni，马尔萨斯人，马尔萨斯人口方程：口方程：2023/4/129本讲稿第二十九页，共三十四页 假定经济仅影响失业人口假定经济仅影响失业人口ni 的迁移，的迁移，Xi 变化可用逻辑斯谛方程描述：变化可用逻辑斯谛方程描述：（6-9）为为Xi 增增长长速速度度系系数数，N为为环环境境限限制制因因子子，(6-9)表表示示Xi 增增长长的的最最大大极极限。限。Xi增增长长由由二二方方面面描描述述，Xi本本身身表表明明增增长长的的动动力力，(N-Xi)表表明明增增长长的的可可能和余地。增长的动力由非在业人口能和余地。增长的动力由非在业人口ni而来。而来。非在业人口非在业人口ni的演化由两部分组成：的演化由两部分组成：（1）单纯由出生率、死亡率决定的；）单纯由出生率、死亡率决定的；（2）由人口迁移而来。）由人口迁移而来。2023/4/130本讲稿第三十页，共三十四页用吸引力来描述人口迁移机制：用吸引力来描述人口迁移机制：Vij表示表示i点对点对j 点的人口吸引力。点的人口吸引力。（6-10）（6-11）（6-12）2023/4/131本讲稿第三十一页，共三十四页 设设Ji表表示示i点点所所具具有有的的工工作作岗岗位位数数，则则Ji/Xi表表示示i点点工工作作岗岗位位缺缺额额数数；地地点点远远近近对对人人口口迁迁移移的的影影响响用用exp(-dij)表表示示；生生活活环环境境的的好好坏坏用用i点总人口数点总人口数pi表示。表示。（6-13）Ji的变化可用逻辑斯蒂方程描述：的变化可用逻辑斯蒂方程描述：Mi表示第表示第i点工作岗位数发展的限制，由生产的需求决定。点工作岗位数发展的限制，由生产的需求决定。上上述述模模型型参参数数、k、，不不能能由由统统计计数数据据直直接接给给出出，需需要要通通过过计计算机模拟。算机模拟。2023/4/132本讲稿第三十二页，共三十四页 人口空间分布演化模型具有以下特点：人口空间分布演化模型具有以下特点：（1）模模型型简简单单，结结构构简简单单，人人口口变变化化除除了了考考虑虑人人口口的的自自然然增增长长外外，主主要分析经济和人口之间的关系。考虑的因素适中，既实用又解决问题。要分析经济和人口之间的关系。考虑的因素适中，既实用又解决问题。（2）模模型型有有深深刻刻的的动动力力学学基基础础。依依赖赖于于系系统统结结构构的的分分析析，人人口口空空间间分分布布演演化化机机制制，不不会会因因各各省省具具体体情情况况的的差差别别而而不不同同。建建模模时时，只只分分析析系系统统的的结结构构关系，不考虑具体数据，给出了系统演化的规律。关系，不考虑具体数据，给出了系统演化的规律。（3）通通过过调调节节参参数数实实现现对对系系统统演演化化的的控控制制。考考虑虑非非线线性性性性质质，没没有有随随时时间间变变化化的的控控制制参参量量，而而是是通通过过参参数数来来实实现现对对系系统统的的控控制制，是是一一种种自自组组织织控制。控制。2023/4/133本讲稿第三十三页，共三十四页2、分析计算，结果讨论、分析计算，结果讨论 利利用用模模型型建建立立时时，国国家家统统计计局局等等部部门门得得到到的的数数据据，通通过过计计算算机机模模拟拟，得得模模型型参数：参数：=0.0052b，k=2.422，=0.0755，=0.7。以以1980年年全全国国29个个省省/市市城城镇镇人人口口的的统统计计数数据据作作为为初初始始条条件件，可可求求出出各各省省不不同同预预测测年年份份的的Xi、ni和和Ji。比比仅仅依依靠靠当当前前人人口口数数适适当当外外推推的的预预测测结结果果要要符符合合实实际。际。2023/4/134本讲稿第三十四页，共三十四页