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离散数学课件第六章离散数学课件第六章集合代数集合代数现在学习的是第1页，共59页希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机 毕达哥拉斯：欧多克索斯：现在学习的是第2页，共59页贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 牛顿、莱布尼兹：贝克莱：贝克莱：现在学习的是第3页，共59页第6章 集合代数现在学习的是第4页，共59页本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容集合的基本概念集合的基本概念集集合、相等、合、相等、(真真)包含、子集、空集、全集、包含、子集、空集、全集、幂集幂集集合运算集合运算交、并、交、并、(相对和绝对相对和绝对)补、对称差、广义交、广义并补、对称差、广义交、广义并文氏图文氏图有穷集计数问题有穷集计数问题集合恒等式集合恒等式q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系是集合论后面各章的基础是集合论后面各章的基础是典型的布尔代数系统是典型的布尔代数系统现在学习的是第5页，共59页6.1 6.1 集合的基本概念集合的基本概念 q集合集合(Set)(Set)是不能精确定义的基本概念。是不能精确定义的基本概念。所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。做该集合的元素。(康托康托)直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集集合合，而这些事物就是这个集合的，而这些事物就是这个集合的元素元素或或成员成员。q例如：例如：方程方程x x2 21 10 0的实数解集合：的实数解集合：2626个英文字母的集合；个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；坐标平面上所有点的集合；q集合通常用大写的英文字母来标记。集合通常用大写的英文字母来标记。现在学习的是第6页，共59页常见的数的集合常见的数的集合qN N自然数集合自然数集合qZ Z整数集合整数集合qQ Q有理数集合有理数集合qR R实数集合实数集合qC C复数集合复数集合现在学习的是第7页，共59页集合的表示方法集合的表示方法q表示一个集合的方法主要有两种：表示一个集合的方法主要有两种：列元素法列元素法和和谓词表示法谓词表示法。q列元素法列元素法(roster)(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。隔开，并把它们用花括号括起来。A Aaa，b b，c c，zzZ Z00，11，22，C C 桌子桌子,灯泡灯泡,老虎老虎,自然数自然数 q谓词表示法谓词表示法(defining predicate)(defining predicate)是用谓词来概括集合中元是用谓词来概括集合中元素的属性。素的属性。B Bx|xRxx|xRx2 21 100q许多集合可以用两种方法来表示，如许多集合可以用两种方法来表示，如B B也可以写成也可以写成-1-1，11。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。现在学习的是第8页，共59页集合的元素集合的元素q集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。出现应该认为是一个元素。例如：例如：11，1 1，2 2，2 2，3311，2 2，33q集合的元素是无序的。集合的元素是无序的。例如：例如：11，2 2，3333，1 1，22q在本书所采用的体系中规定：在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合集合的元素都是集合。现在学习的是第9页，共59页元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系q元素和集合之间的关系是隶属关系，即元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于属于或或不属于不属于，属于记作，属于记作，不属于记作，不属于记作。q例如：例如：A Aaa，bb，cc，d d，dda aA A，bb，ccA A，d dA A，ddA A，b b A A，dd A A。b b和和dd是是A A的元素的元素。的元素的元素。q可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。系。说明说明q隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。q规定：对任何集合规定：对任何集合A A都有都有A A A A。A Aa ab,cb,cd dddb bc cddd d现在学习的是第10页，共59页子集（子集（subsetsubset）定义定义6.16.1 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果B B中的每个元素都是中的每个元素都是A A中的元素，中的元素，则称则称B B是是A A的子集合，简称的子集合，简称子集子集。这时也称。这时也称B B被被A A包含包含，或，或A A包包含含B B，记作，记作 B B A A。q包含的符号化表示为包含的符号化表示为B B A A x(xBxA)x(xBxA)q如果如果B B不被不被A A包含，则记作包含，则记作 B AB A。q例如：例如：N N Z Z Q Q R R C C，但，但Z NZ N。q显然对任何集合显然对任何集合A A都有都有 A A A A。现在学习的是第11页，共59页隶属和包含的说明隶属和包含的说明q隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。集合可以同时成立这两种关系。q例如例如 A Aaa，aa和和aa既有既有aAaA，又有，又有aa A A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。后者把它们看成是同一层次上的两个集合。现在学习的是第12页，共59页集合相等集合相等(equal)(equal)定义定义6.26.2 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果 A A B B 且且 B B A A，则称，则称A A与与B B相等相等，记作，记作A AB B。q相等的符号化表示为：相等的符号化表示为：A AB B A A B BB B A A q如果如果A A与与B B不相等，则记作不相等，则记作ABAB。现在学习的是第13页，共59页真子集真子集定义定义6.36.3 设设A A，B B为集合，如果为集合，如果 B B A A 且且 BABA，则称，则称B B是是A A的的真子集真子集，记作，记作B B A A。q真子集的符号化表示为真子集的符号化表示为B B A A B B A BAA BAq如果如果B B不是不是A A的真子集，则记作的真子集，则记作B B A A。例如：例如：N N N N现在学习的是第14页，共59页空集空集(empty set)(empty set)定义定义6.46.4 不含任何元素的集合叫做不含任何元素的集合叫做空集空集，记作，记作。空集的符号化表示为：空集的符号化表示为：x|xxx|xx。例如例如:x|xRx:x|xRx2 2+1=0+1=0是方程是方程x x2 2+1=0+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。空集。现在学习的是第15页，共59页空集的性质空集的性质推论推论 空集是唯一的。空集是唯一的。证明证明：假设存在空集：假设存在空集1 1和和2 2，由定理，由定理6.16.1有有1 1 2 2，2 2 1 1。根据集合相等的定义，有根据集合相等的定义，有 1 1 2 2。定理定理6.16.1 空集是一切集合的子集。空集是一切集合的子集。证明证明：任给集合：任给集合A A，由子集定义有，由子集定义有 A A x(xx(x xA)xA)右边的蕴涵式因前件假而为真命题，右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以所以 A A也为真。也为真。现在学习的是第16页，共59页n n元集元集q含有含有n n个元素的集合简称个元素的集合简称n n元集元集，它的含有，它的含有m(mn)m(mn)个元素个元素的子集叫做它的的子集叫做它的m m元子集元子集。例例6.16.1 A A1,2,31,2,3，将，将A A的子集分类：的子集分类：0 0元子集（空集）元子集（空集）1 1元子集（单元集）元子集（单元集）11，22，332 2元子集元子集1,21,2，1,31,3，2,32,33 3元子集元子集1,2,31,2,3现在学习的是第17页，共59页幂集幂集 (power set)q一般地说，对于一般地说，对于n n元集元集A A，它的，它的0 0元子集有元子集有 个，个，1 1元子集有元子集有 个，个，m m元子集有元子集有 个，个，n n元子集有元子集有 个。子集总数为个。子集总数为定义定义6.56.5 设设A A为集合，把为集合，把A A的全部子集构成的集合叫做的全部子集构成的集合叫做A A的的幂集幂集，记作，记作P(A)(P(A)(或或PAPA，2 2A A)。q幂集的符号化表示为幂集的符号化表示为P(A)P(A)x|xx|x A A q若若A A是是n n元集，则元集，则P(A)P(A)有有 2 2n n 个元素。个元素。现在学习的是第18页，共59页全集全集定义定义6.66.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为合的子集，则称这个集合为全集全集，记作，记作E E。说明说明q全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。题也可以取不同的全集。q例如，在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面例如，在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面(平面上所有点的集合平面上所有点的集合)取作全集，也可以把整个空间取作全集，也可以把整个空间(空间上空间上所有点的集合所有点的集合)取作全集。取作全集。q一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。现在学习的是第19页，共59页6.2 6.2 集合的运算集合的运算定义定义6.76.7 设设A A，B B为集合，为集合，A A与与B B的的并集并集ABAB，交集交集AB AB，B B对对A A的的相对补集相对补集A AB B分别定义如下：分别定义如下：ABABx|xAxB x|xAxB(union set)(union set)ABABx|xAxB x|xAxB(intersection set)(intersection set)A AB Bx|xAxx|xAx B B (difference set)(difference set)举例设设 A Aaa，b b，cc，B Baa，C Cbb，d d 则有则有 ABABaa，b b，cc，ABABaa，A AB Bbb，cc，B BA A ，BCBC说明说明q如果两个集合的交集为如果两个集合的交集为 ，则称这两个集合是不相交的。例如，则称这两个集合是不相交的。例如B B和和C C是不相交的。是不相交的。现在学习的是第20页，共59页n n个集合的并和交个集合的并和交q两个集合的并和交运算可以推广成两个集合的并和交运算可以推广成n n个集合的并和交：个集合的并和交：A A1 1AA2 2AAn nx|xAx|xA1 1xAxA2 2xAxAn n A A1 1AA2 2AAn nx|xAx|xA1 1xAxA2 2xAxAn n 上述的并和交可以简记为：上述的并和交可以简记为：A A1 1AA2 2AAn nA A1 1AA2 2AAn nq两个集合的并和交运算可以推广到无穷多个集合的情况：两个集合的并和交运算可以推广到无穷多个集合的情况：A A1 1AA2 2A A1 1AA2 2现在学习的是第21页，共59页对称差集对称差集定义定义6.86.8 设设A A，B B为集合，为集合，A A与与B B的的对称差集对称差集 A A B B定义为：定义为：A A B B(A(AB)(BB)(BA)A)q对称差运算的另一种定义是对称差运算的另一种定义是A A B B(AB)(AB)(AB)(AB)q例如例如:A:Aaa，b b，cc，B Bbb，dd，则则 A A B Baa，c c，d d 现在学习的是第22页，共59页绝对补集绝对补集定义定义6.96.9 A AE EA Ax|xExx|xEx A A q因为因为E E是全集，是全集，xExE是真命题，所以是真命题，所以A A可以定义为：可以定义为：A Ax|x x|x A A q例如例如:E:Eaa，b b，c c，dd，A Aaa，b b，cc A Ad d 现在学习的是第23页，共59页文氏图文氏图(Venn Diagram)(Venn Diagram)q集合之间的关系和运算可以用集合之间的关系和运算可以用文氏图文氏图给予形象的描述。给予形象的描述。q文氏图的构造方法如下：文氏图的构造方法如下：画一个大矩形表示全集画一个大矩形表示全集E(E(有时为简单起见可将全集省有时为简单起见可将全集省略略)。在矩形内画一些圆在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线或任何其它的适当的闭曲线)，用，用圆的内部表示集合。圆的内部表示集合。不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的不同的圆代表不同的集合。如果没有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。说明，任何两个圆彼此相交。图中阴影的区域表示新组成的集合。图中阴影的区域表示新组成的集合。可以用实心点代表集合中的元素。可以用实心点代表集合中的元素。现在学习的是第24页，共59页文氏图的实例文氏图的实例现在学习的是第25页，共59页有穷集的计数问题有穷集的计数问题q使用文氏图可以很方便地解决使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题有穷集的计数问题。q首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的q然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从通常从n n个集合的交集填起，个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为如果交集的数字是未知的，可以设为x x。q根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。需要的结果。现在学习的是第26页，共59页例例6.26.2例例6.26.2 对对2424名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为1313，5 5，1010和和9 9人，其中同时会英语和日语的有人，其中同时会英语和日语的有2 2人，会英、德和法人，会英、德和法语中任两种语言的都是语中任两种语言的都是4 4人。已知会日语的人既不懂法语也人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言不懂德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日英、德、法、日)的人数的人数和会三种语言的人数。和会三种语言的人数。解解：令：令A A，B B，C C，D D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图。设同时会三种语言的有根据题意画出文氏图。设同时会三种语言的有x x人，只会英、人，只会英、法或德语一种语言的分别为法或德语一种语言的分别为y y1 1，y y2 2和和y y3 3人。将人。将x x和和y y1 1，y y2 2，y y3 3填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。现在学习的是第27页，共59页例例6.26.24-x4-x4-x4-x4-x4-xx xy y2 2y y1 1y y3 32 25-25-2英英 1313法法 9 9德德 1010日日 5 5y y1 1+2(4-x)+x+2+2(4-x)+x+21313y y2 2+2(4-x)+x+2(4-x)+x9 9y y3 3+2(4-x)+x+2(4-x)+x1010y y1 1+y+y2 2+y+y3 3+3(4-x)+x+3(4-x)+x24-524-5现在学习的是第28页，共59页包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.26.2 设设S S为有穷集，为有穷集，P P1 1,P,P2 2,P,Pm m是是m m个性质。个性质。S S中的任何中的任何元素元素x x或者具有性质或者具有性质P Pi i，或者不具有性质，或者不具有性质P Pi i(i=1,2,(i=1,2,m),m),两种情况必居其一。令两种情况必居其一。令A Ai i表示表示S S中具有性质中具有性质P Pk k的元素构成的元素构成的子集，则的子集，则S S中不具有性质中不具有性质P P1 1,P,P2 2,P,Pm m的元素为的元素为现在学习的是第29页，共59页推论推论qS S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为现在学习的是第30页，共59页例例6.36.3例例6.3 6.3 求求1 1到到10001000之间之间(包含包含1 1和和10001000在内在内)既不能被既不能被5 5和和6 6，也，也不能被不能被8 8整除的数有多少个。整除的数有多少个。解答解答 设设S Sx|xZ1x1000 x|xZ1x1000 A A x|xSx x|xSx可被可被5 5整除整除 B B x|xSx x|xSx可被可被6 6整除整除 C C x|xSx x|xSx可被可被8 8整除整除|T|T|表示有穷集表示有穷集T T中的元素数中的元素数 x x 表示小于等于表示小于等于x x的最大整数的最大整数lcm(xlcm(x1 1,x,x2 2,x,xn n)表示表示x x1 1,x,x2 2,x,xn n的最小公倍数的最小公倍数现在学习的是第31页，共59页例例6.36.3|A|A|1000/51000/5 200200|B|B|1000/61000/6 166166|C|C|1000/81000/8 125125|AB|AB|1000/1000/lcm(5,6)lcm(5,6)3333|AC|AC|1000/1000/lcm(5,8)lcm(5,8)2525|BC|BC|1000/1000/lcm(6,8)lcm(6,8)4141|ABC|ABC|1000/1000/lcm(5,6,8)lcm(5,6,8)8 8 将这些数字依次填入文氏图，得到将这些数字依次填入文氏图，得到现在学习的是第32页，共59页例例6.36.3q根据包含排斥原理，所求不能被根据包含排斥原理，所求不能被5 5，6 6和和8 8整除的数应为整除的数应为q由文氏图也可得知，不能被由文氏图也可得知，不能被5 5，6 6和和8 8整除的数有整除的数有10001000(200+100(200+100333367)67)600600个。个。现在学习的是第33页，共59页广义并和广义交广义并和广义交定义定义6.106.10 设设A A为集合，为集合，A A的的元素的元素元素的元素构成的集合称为构成的集合称为A A的的广广义并义并，记为，记为A A。符号化表示为符号化表示为A Ax|x|z(zAxz)z(zAxz)定义定义6.116.11 设设A A为为非空非空集合，集合，A A的所有的所有元素的公共元素元素的公共元素构成的构成的集合称为集合称为A A的的广义交广义交，记为，记为A A。符号化表示为符号化表示为 A Ax|x|z(zAxz)z(zAxz)现在学习的是第34页，共59页例例6.46.4例例6.46.4 设设 A Aa,b,c,a,c,d,a,e,fa,b,c,a,c,d,a,e,f B Baa C Ca,c,da,c,d则则 A Aa,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f B Baa C Cac,dac,d A Aaa B Baa C Cac,dac,d现在学习的是第35页，共59页广义并与广义交的说明广义并与广义交的说明q若若A AAA1 1,A,A2 2,A,An n，则，则A AA A1 1AA2 2AAn nq若若A AAA1 1,A,A2 2,A,An n，则，则A AA A1 1AA2 2AAn nq在后面的叙述中，若只说并或交，则这都是指集合的初级在后面的叙述中，若只说并或交，则这都是指集合的初级并或初级交；如果在并或交前边冠以并或初级交；如果在并或交前边冠以“广义广义”两个字，则两个字，则指集合的广义并或广义交。指集合的广义并或广义交。q为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做如下规定：序做如下规定：称广义并、广义交、幂集、绝对补运算为一类运算称广义并、广义交、幂集、绝对补运算为一类运算并、交、相对补、对称差运算为二类运算。并、交、相对补、对称差运算为二类运算。一类运算优先于二类运算一类运算优先于二类运算一类运算之间由右向左顺序进行一类运算之间由右向左顺序进行二类运算之间由括号决定先后顺序。二类运算之间由括号决定先后顺序。现在学习的是第36页，共59页例例6.56.5例例6.56.5 设设 A Aa,a,ba,a,b计算计算A A，A A，A(AA(AA)A)解答解答 A Aa,ba,bAAaaAAababAAa aAA(AAA A)(ab)(ab)(ababa a)(ab)(b-a)(ab)(b-a)b b现在学习的是第37页，共59页6.3 6.3 集合恒等式集合恒等式 q下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A A，B B，C C代表任意集合。代表任意集合。幂等律幂等律 AAAAA A (6.1)(6.1)AAAAA A (6.2)(6.2)结合律结合律 (AB)C(AB)CA(BC)A(BC)(6.3)(6.3)(AB)C (AB)CA(BC)A(BC)(6.4)(6.4)交换律交换律 ABABBABA (6.5)(6.5)AB ABBABA (6.6)(6.6)分配律分配律 A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)(6.7)(6.7)A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC)(6.8)(6.8)同一律同一律 AAA A (6.9)(6.9)AE AEA A (6.10)(6.10)现在学习的是第38页，共59页6.3 6.3 集合恒等式集合恒等式零律零律 AEAEE E (6.11)(6.11)AA (6.12)(6.12)排中律排中律 AAA AE E (6.13)(6.13)矛盾律矛盾律 AAA A (6.14)(6.14)吸收律吸收律 A(AB)A(AB)A A (6.15)(6.15)A(AB)A(AB)A A (6.16)(6.16)德摩根律德摩根律 A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)(6.17)(6.17)A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)(6.18)(6.18)(BC)(BC)BBC C (6.19)(6.19)(BC)(BC)BBC C (6.20)(6.20)E E (6.21)(6.21)E E (6.22)(6.22)双重否定律双重否定律 (A)A)A A (6.23)(6.23)现在学习的是第39页，共59页集合运算性质的一些重要结果集合运算性质的一些重要结果ABAB A A，ABAB B B(6.24)(6.24)A A ABAB，B B ABAB(6.25)(6.25)A AB B A A(6.26)(6.26)A AB BAAB B (6.27)(6.27)ABABB B A A B B ABABA A A AB B(6.28)(6.28)A A B BB B A A (6.29)(6.29)(A(A B)B)C CA A(B(B C)C)(6.30)(6.30)A AA A (6.31)(6.31)A A A A (6.32)(6.32)A A B BA A C C B BC C (6.33)(6.33)现在学习的是第40页，共59页对偶对偶(dual)(dual)原理原理q对偶对偶(dual)(dual)式式：一个集合表达式，如果只含有：一个集合表达式，如果只含有、E E、，那么同时把，那么同时把与与互换，互换，把把与与E E互换，把互换，把 与与 互换互换，得到式子称为原式的，得到式子称为原式的对偶式。对偶式。q对欧原理对欧原理：对偶式同真假。或者说，集合恒等式：对偶式同真假。或者说，集合恒等式的对偶式还是恒等式。的对偶式还是恒等式。现在学习的是第41页，共59页集合恒等式的证明方法集合恒等式的证明方法q逻辑演算法逻辑演算法利用利用逻辑等值式逻辑等值式和和推理规则推理规则q集合演算法集合演算法利用利用集合恒等式集合恒等式和和已知结论已知结论现在学习的是第42页，共59页逻辑演算法的格式逻辑演算法的格式题目：题目：A AB B证明：证明：x x，x xAA x xBB所以所以 A AB B或证或证 P P Q QQ Q P P 题目：题目：A A B B证明：证明：x x，x xAA x xBB所以所以 A A B B现在学习的是第43页，共59页集合演算法的格式集合演算法的格式集合演算法的格式集合演算法的格式题目：题目：A AB B证明：证明：A A B B所以所以 A AB B题目：题目：A A B B证明：证明：A A B B所以所以 A A B B现在学习的是第44页，共59页例例6.66.6例例6.66.6 证明式证明式6.176.17，即，即 A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)证明证明 对任意的对任意的x x，有，有xAxA(BC)(BC)xA xxA x BCBCxA (xBxC)xA (xBxC)xA (xBxC)xA (xBxC)xA (xxA (x B xB x C)C)(xAx(xAx B)(xAxB)(xAx C)C)xA xAB xAB xAC C x(A x(AB)(AB)(AC)C)所以所以 A A(BC)(BC)(A(AB)(AB)(AC)C)现在学习的是第45页，共59页例例例例6.76.76.76.7例例6.76.7 证明式证明式6.106.10，即，即 AEAEA A证明证明 对任意的对任意的x x，有，有xAExAExA xExA xExA(xA(因为因为xExE是恒真命题是恒真命题)所以所以 AEAEA A现在学习的是第46页，共59页例例6.86.8例例6.86.8 假设已知等式假设已知等式6.16.16.146.14，试证等式，试证等式6.156.15，即即 A(AB)A(AB)A A。证明证明 A(AB)A(AB)(AE)(AB)(AE)(AB)(由等式由等式6.10)6.10)A(EB)A(EB)(由等式由等式6.8)6.8)A(BE)A(BE)(由等式由等式6.5)6.5)AE AE (由等式由等式6.11)6.11)A A(由等式由等式6.10)6.10)现在学习的是第47页，共59页例例6.96.9例例6.96.9 证明等式证明等式6.276.27，即即 A AB BAAB B证明证明 对于任意的对于任意的x x，有，有xAxAB B xA x xA x B B xA x xA xB B xA xAB B 所以所以 A AB BAAB B。说明说明q等式等式6.276.27把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。补的恒等式中是很有用的。现在学习的是第48页，共59页例例6.106.10例例6.106.10 证明证明 (A(AB)BB)BABAB证明证明(A(AB)BB)B(A(AB)BB)B(AB)(AB)(BB)BB)(AB)E(AB)E ABAB现在学习的是第49页，共59页例例例例6.116.116.116.11例例6.116.11 证明命题证明命题6.286.28是真命题。是真命题。ABABB B A A B B AB ABA A A AB B说明说明 式式6.286.28给出了给出了A A B B的另外三种等价的定义，这不仅为证的另外三种等价的定义，这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用明两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用于集合公式的化简。于集合公式的化简。证明思路证明思路 ABABB B A A B B AB ABA A A AB B ABABB B现在学习的是第50页，共59页例例6.116.11证明证明 ABABB B A A B B对于任意的对于任意的x x，有，有 xAxA xAxB xAxB xAB xAB xB xB(因为因为ABABB)B)所以所以 A A B B。现在学习的是第51页，共59页例例6.116.11证明证明 A A B B AB ABA A显然有显然有 AB AB A A，下面证下面证 A A AB AB。对于任意的对于任意的x x，有，有 xA xA xAxA xAxA xAxB xAxB(因为因为A A B)B)xAB xAB 所以所以 A A AB AB 由集合相等的定义有由集合相等的定义有 ABABA A。现在学习的是第52页，共59页例例6.116.11证明证明 ABABA A A AB B A AB B AAB B (AB)(AB)B B(因为因为ABABA)A)A(BA(BB)B)AA 现在学习的是第53页，共59页例例6.116.11证明证明 A AB B ABABB B。由例由例6.10(A6.10(AB)BB)BAB AB 及及 A AB B 有有 ABAB B(AB(AB)B)BB B B 现在学习的是第54页，共59页例例6.126.12例例6.126.12 化简化简(ABC)(AB)(ABC)(AB)(A(B(A(BC)A)C)A)解答解答 因为因为 AB AB ABC ABC，A A A(BA(BC)C)，由式由式6.286.28有：有：(ABABC)C)(AB)(AB)(AA(B(BC)C)AA)(AB)(AB)A AB BA A现在学习的是第55页，共59页例例6.136.13例例6.136.13 已知已知 A A B BA A C C，证明，证明B BC C。证明证明 已知已知 A A B BA A C C，所以有，所以有A A(A(A B)B)A A(A(A C)C)(A(A A)A)B B(A(A A)A)C C(由式由式6.30)6.30)B BC C(由式由式6.32)6.32)B BC C (由式由式6.29)6.29)B BC C (由式由式6.31)6.31)现在学习的是第56页，共59页学习要求学习要求 q熟熟练练掌掌握握集集合合的的子子集集、相相等等、空空集集、全全集集、幂幂集集等等概概念念及其符号化表示及其符号化表示q熟熟练练掌掌握握集集合合的的交交、并并、（相相对对和和绝绝对对）补补、对对称称差差、广义交、广义并的定义及其性质广义交、广义并的定义及其性质q掌掌握握集集合合的的文文氏氏图图的的画画法法及及利利用用文文氏氏图图解解决决有有限限集集的的计计数问题的方法数问题的方法q牢牢记记基基本本的的集集合合恒恒等等式式（等等幂幂律律、交交换换律律、结结合合律律、分分配配律律、德德摩摩根根律律、收收律律、零零律律、同同一一律律、排排中中律律、矛矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）q准准确确地地用用逻逻辑辑演演算算或或利利用用已已知知的的集集合合恒恒等等式式或或包包含含式式证证明新的等式或包含式明新的等式或包含式现在学习的是第57页，共59页作业作业q习题六习题六5 5，6 6，7 7，8 8，1717，2323，2525，2828现在学习的是第58页，共59页典型题典型题q判断元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系判断元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系q集合的基本运算题集合的基本运算题q有关集合运算性质的分析题有关集合运算性质的分析题q集合相等或者包含的证明题集合相等或者包含的证明题q有穷集合的计数问题有穷集合的计数问题现在学习的是第59页，共59页