初等函数的连续性课件.ppt

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页关于初等函数的连续性现在学习的是第1页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、指数函数的连续性在第一章中在第一章中,我们已经定义了指数函数我们已经定义了指数函数并指出它在并指出它在 R 内是严格单调的内是严格单调的.所以所以,若能证明指若能证明指首先证明指数函数的一个重要性质首先证明指数函数的一个重要性质.定义域内也是连续函数定义域内也是连续函数.数函数是连续函数数函数是连续函数,那么它的反函数对数函数在其那么它的反函数对数函数在其现在学习的是第2页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 当当是有理数时是有理数时,这是我们熟知的一个结果这是我们熟知的一个结果.对于任意对于任意存在有理数存在有理数定理定理4.10 设设 为任意实数为任意实数,则有则有先设先设由定义，由定义，使使现在学习的是第3页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为是任意的是任意的,所以所以反之反之,存在有理数存在有理数再取有理数再取有理数于是有于是有现在学习的是第4页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页仍因仍因 是任意的是任意的,又得又得这就证明了这就证明了只要令只要令就有就有现在学习的是第5页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理4.11 指数函数指数函数在在 R上是连上是连证证 我们仍旧先假设我们仍旧先假设 首先证明指数函数在首先证明指数函数在处连续处连续,即即这是因为对于任意的正数这是因为对于任意的正数取取所以所以在在 x=0 处连续处连续.续的续的.现在学习的是第6页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对于一般的点对于一般的点由定理由定理4.10得到得到 所以所以在在 R 上连续上连续.对于对于只要设只要设由由就可得到相应的结论就可得到相应的结论.注注现在学习的是第7页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页也是连续的也是连续的.例例1 设设证明证明 推论推论1 对数函数对数函数在定义域在定义域上是连续的上是连续的.续续,从而从而在点在点 x0 也连续也连续,于是证得于是证得 证证 设设在点在点 x0 连连推论推论2 幂函数幂函数在定义域在定义域现在学习的是第8页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 例例1的结论可改写为的结论可改写为解解 因为因为令令例例2 求求现在学习的是第9页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此求得由此求得当当故故现在学习的是第10页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i)常值函数常值函数;(vi)对数函数对数函数.(v)指数函数指数函数;(iv)幂函数幂函数;(iii)反三角函数反三角函数;(ii)三角函数三角函数;现在学习的是第11页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以上六种函数称为基本初等函数以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数因为连续函数由上面的分析由上面的分析,我们得到如下结论：我们得到如下结论：定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的上是连续的.合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数合运算所产生的函数称为初等函数.现在学习的是第12页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 求极限求极限定理定理4.12 初等函数在其有定义的区间上是连续的初等函数在其有定义的区间上是连续的.注注 上述结论中所指的上述结论中所指的“定义区间定义区间”,”,今后今后(第十六第十六解解 因为因为是初等函数是初等函数,所以在所以在 处连续处连续,从而从而章章)在一般意义下可以改为在一般意义下可以改为“定义域定义域”.”.现在学习的是第13页，共14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第14页，共14页