静定结构的位移计算讲稿.ppt

关于静定结构的位移计算第一页，讲稿共一百三十七页哦8.1 概述概述 建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转动，称为结结构构的位移的位移。8.1.1 位移的概念位移的概念 第二页，讲稿共一百三十七页哦 使结构发生位移的因素主要有以下三种：（1）荷载作用。）荷载作用。（2）温度变化与材料收缩。）温度变化与材料收缩。（3）支座移动和制造误差）支座移动和制造误差。第三页，讲稿共一百三十七页哦(a)例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动了一段距离 ，称为C点的线线位位移移或挠度；支座截面B转动了一个角度 ，称为截面的角位移角位移或转角。第四页，讲稿共一百三十七页哦 又如图(b)所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形。刚架上的C点移动至 点，则称 为点C的线位移，用C表示。F（b）CVCHCHCCV第五页，讲稿共一百三十七页哦还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向的两个分量，分别称为点C的水水平平位位移移和竖竖向向位位移移，分别用CH和CV表示，几何关系如图（b）所示，图中的 为截面C的转角，称为截面C的角位移，上述线位移和角位移统称为绝对位移绝对位移。第六页，讲稿共一百三十七页哦此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相相对对位位移移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。ABAHBHFF第七页，讲稿共一百三十七页哦为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称为广义位移广义位移。A、B两点的水平位移分别为AH和BH，它们之和为(AB)H=AH+BH，称为A、B两点的水平相对线位移。A、B两 个 截 面 的 转 角 分 别 为 和 ，它 们 之 和 为 ，称为A、B两个截面的相对角位移。第八页，讲稿共一百三十七页哦 静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容，在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。静定结构的位移计算也是超静定结构内力分析的基础。概括地说，它有以下三个目的：8.1.2 计算位移的目的计算位移的目的第九页，讲稿共一百三十七页哦 1.验算结构的刚度验算结构的刚度 在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外，还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求，即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中，梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200，否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。第十页，讲稿共一百三十七页哦 2.为计算超静定结构打基础为计算超静定结构打基础在计算超静定结构的反力和内力时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条件，需要计算结构的位移。因此，静定结构的位移计算是求解超静定结构的基础。第十一页，讲稿共一百三十七页哦 3.计算结构变形后的位置计算结构变形后的位置在结构的制作、架设等施工过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施，因而也需要计算结构的位移。第十二页，讲稿共一百三十七页哦本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与应变的关系符合胡克定律。第十三页，讲稿共一百三十七页哦8.2 静定结构在荷载作用下的位移计算公式静定结构在荷载作用下的位移计算公式 在力学中功的定义是：一个不变的集中力所做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线有位移时如图，作用于物体的常力F在位移上所做的功为 。8.2.1 实功与虚功实功与虚功FF第十四页，讲稿共一百三十七页哦 如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度 时，两力所做的功为 W=2Fr =M 式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩与角位移的乘积。第十五页，讲稿共一百三十七页哦由上述可知，功包含了两个因素，即力和位移。若用F表示广广义义力力，用表示广广义义位位移移，则功的一般表达式为 W=F 第十六页，讲稿共一百三十七页哦从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。第十七页，讲稿共一百三十七页哦 既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：（1）位移是由做功的力引起的）位移是由做功的力引起的 例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产生了位移11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移11上做了功。11F第十八页，讲稿共一百三十七页哦11 由于位移11是由做功的力F1引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。实功。F第十九页，讲稿共一百三十七页哦 （2）位位移移不不是是由由做做功功的的力力引引起起的的，而而是是由由其其他他因因素素引起的。引起的。若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿F1方向又产生了位移12如图所示。112212FF第二十页，讲稿共一百三十七页哦 力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在位移12上做了功。由于位移12不是F1引起的，而是由力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所做的功称为虚功虚功。第二十一页，讲稿共一百三十七页哦在虚功中，既然做功的力和相应的位移是彼此无因果关系的两个因素，所以，可将二者看成是同一结构的两种独立无关的状态。其中，力系所属的状态称为力力状状态态图(a)，位移所属的状态称为位移状态位移状态图(b)。（a）力状态（b）位移状态 第二十二页，讲稿共一百三十七页哦 如果在力状态中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，统称为广义力，用Fi表示。i表示与广义力Fi相应的广义位移，若用We表示外力虚功，则图(a)所示的力状态在图(b)所示的位移状态上所做的外力总虚功为 当力与位移的方向一致时，虚功为正值，当力与位移的方向相反时，虚功为负值。第二十三页，讲稿共一百三十七页哦 这里所说的虚功并非不存在，而是强调做功过程中力与位移之间彼此无因果关系。使力做虚功的位移，可以是荷载引起的位移、温度变化或支座移动等其他因素引起的位移，也可以是虚设的位移。但是上述的所有虚位移必须是约束条件所允许的微小位移。既然位移状态可以虚设，同样，力状态也可以虚设。第二十四页，讲稿共一百三十七页哦 变形体虚功原理是力学分析中广泛应用的一个十分重要的原理，现将其表述如下：对对于于变变形形体体系系，如如果果力力状状态态中中的的力力系系满满足足平平衡衡条条件件，位位移移状状态态中中的的变变形形满满足足约约束束条条件件，则则力力状状态态中中的的外外力力在在位位移移状状态态中中相相应应的的位位移移上上所所作作的的外外力力总总虚虚功功等等于于力力状状态态中中的的内内力力在在位位移移状状态态中中相相应的变形上所作的内力总虚功，应的变形上所作的内力总虚功，即 We=Wi8.2.2 变形体虚功原理变形体虚功原理第二十五页，讲稿共一百三十七页哦 上式称为变形体的虚功方程。式中：We表示外力虚功，即力状态中的所有外力在位移状态相应的位移上所作的虚功总和；Wi表示内力虚功，即力状态中的所有内力在位移状态相应的变形上所作的虚功总和。变形体系的虚功原理的证明从略。第二十六页，讲稿共一百三十七页哦 需要指出的是，在推导变形体的虚功方程时，并未涉及到材料的物理性质，只要在小变形范围内，对于弹性、塑性、线性、非线性的变形体系，上述虚功方程都成立。当结构作为刚体看待时，由于没有变形，则内力总虚功为零，即Wi=0，于是变形体虚功原理变成了刚刚体体的的虚虚功功原原理理。变形体虚功方程变为刚刚体体的的虚虚功功方方程程，即 We=0。所以说刚体的虚功原理是变形体虚功原理的一个特例。第二十七页，讲稿共一百三十七页哦 在工程实际中组成结构的构件都是变形体，结构在荷载作用下不仅要发生变形，同时还产生相应的内力。因此，利用虚功原理求解变形体结构问题时，不仅要考虑外力虚功，而且还要考虑与内力有关的虚功。第二十八页，讲稿共一百三十七页哦8.2.3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式1.单位荷载法单位荷载法现在，我们结合如图所示刚架，讨论如何利用变形体虚功原理来建立计算平面杆件结构位移的一般公式。第二十九页，讲稿共一百三十七页哦如图(a)中虚线表示刚架在荷载和支座移动等因素的作用下所发生的变形，这是结构的实际位移状态，简称实实际际状状态态。现在要求该状态K点沿水平方向的位移K。(a)第三十页，讲稿共一百三十七页哦利用虚功原理求解这个问题，首先要确定两个彼此独立的状态，即力状态和位移状态。由于是求实际状态下结构的位移，所以应把结构的实际状态图(a)作为结构的位移状态。(a)第三十一页，讲稿共一百三十七页哦而力状态则可以根据所求位移来虚设。为了便于求出位移和简化计算，我们选取一个与所求位移相对应的虚单位荷载，即在K点沿水平方向施加一个单位力 =1，如图(b)所示。这是一个虚设的状态，简称虚拟状态虚拟状态。(b)第三十二页，讲稿共一百三十七页哦在虚单位荷载 =1作用下，结构将产生虚反力 和虚内力 、，它们构成了一个虚设力系。(b)第三十三页，讲稿共一百三十七页哦根据变形体系的虚功原理，计算以上两种状态中虚拟状态的外力和内力在相应的实际状态上所做的虚功。则有得 （a）式中：、k实际状态中的轴向应变、剪切应变和弯曲应变。式（a）即为平面杆系结构位移计算的一般公式。第三十四页，讲稿共一百三十七页哦 由以上位移计算公式的建立过程，可归纳出用虚功原理求结构位移的基本方法：(1)把把结结构构在在实实际际各各种种外外因因作作用用下下的的平平衡衡状状态态作作为为位位移状态，即实际变形状态。移状态，即实际变形状态。(2)在在拟拟求求位位移移的的某某点点处处沿沿所所求求位位移移的的方方向向上上，施施加加与与所所求求位位移移相相应应的的单单位位荷荷载载，以以此此作作为为结结构构的的力力状状态态，即即虚设力状态。虚设力状态。第三十五页，讲稿共一百三十七页哦 (3)分分别别写写出出虚虚设设力力状状态态上上的的外外力力和和内内力力在在实实际际变变形形状状态态相相应应的的位位移移和和变变形形上上所所做做的的虚虚功功，并并由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。我们把这种在沿所求位移方向施加一个单位力 =1的位移计算方法称为单位荷载法单位荷载法。第三十六页，讲稿共一百三十七页哦需要说明的是，上述平面杆系结构位移计算的一般公式，不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由温度变化、制造误差以及支座移动等因素影响下的位移计算。第三十七页，讲稿共一百三十七页哦2.几种典型的虚拟状态几种典型的虚拟状态单位荷载法是计算结构位移的一般方法，其不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移，只要虚拟状态中所设虚单位荷载与所求的位移相对应，即保证广义力与广义位移的对应关系即可。现举出几种典型的虚拟状态如下：第三十八页，讲稿共一百三十七页哦 （1）若若计计算算的的位位移移是是结结构构上上某某一一点点沿沿某某一一方方向向的的线线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力(a)。（2）若若计计算算的的位位移移是是杆杆件件某某一一截截面面的的角角位位移移，则则应应在该截面上施加一个单位集中力偶在该截面上施加一个单位集中力偶图图(b)。第三十九页，讲稿共一百三十七页哦（3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数图(c)。第四十页，讲稿共一百三十七页哦（4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对反向共线的单位集中力图(d)。第四十一页，讲稿共一百三十七页哦 (5)若计算的位移是结构上某两个截面的相对角位移，则应在这两个截面上施加一对反向单位集中力偶图(e)。(e)第四十二页，讲稿共一百三十七页哦(6)若计算的是桁架中某两杆的相对角位移，则应在该两杆上施加两个方向相反的单位力偶 图(f)。第四十三页，讲稿共一百三十七页哦 需要明确的是，虚拟状态中单位荷载的指向是可以任意假设的，若按式（a）计算出来的结果是正值，则表示实际位移的方向与虚拟荷载的方向相同，否则相反。第四十四页，讲稿共一百三十七页哦 若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的，没有支座位移的影响（即c=0），则式(a)可简化为8.2.4 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式 式中，微段的变形ds、ds、kds是由荷载引起。(b)第四十五页，讲稿共一百三十七页哦若用 FN、FS、M表示实际位移状态中微段上由荷载产生的轴力、剪力和弯矩，在线弹性范围内，变形与内力有如下关系：式中：EA、GA、EI杆件的拉压刚度、剪切 刚度、弯曲刚度，K为剪力分布不均匀系数，其与截面形状有关。(c)第四十六页，讲稿共一百三十七页哦 将式（c）代入式（b），得(d)式（d）为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。式中，、表示在虚拟状态中由广义单位荷载引起的虚内力，这些虚内力和原结构由实际荷载引起的内力，它们都可以通过静力平衡条件求得。第四十七页，讲稿共一百三十七页哦公式（d）综合考虑了轴向变形、剪切变形和弯曲变形对结构位移的影响。在实际应用中，则根据不同形式的结构特性，对不同形式的结构分别采用不同的简化计算公式。(1)对对梁梁和和刚刚架架而而言言，弯曲变形是主要的变形，而轴向变形和剪切变形对结构位移的影响很小，可以忽略不计。所以式（d）简化为 （*）第四十八页，讲稿共一百三十七页哦 (2)对对于于桁桁架架，由于各杆件均只有轴向变形，且每一杆件的轴力和截面面积沿杆长不变，所以式（d）简化为 第四十九页，讲稿共一百三十七页哦 (3)对对于于组组合合结结构构，梁式杆件主要承受弯矩，其变形主要是弯曲变形，可只考虑弯曲变形对位移的影响。而链杆只承受轴力，只有轴向变形，所以其位移计算公式简化为 第五十页，讲稿共一百三十七页哦 (4)对对于于拱拱，当不考虑曲率的影响时，拱结构的位移可以近似的按式（*）来计算。通常情况下，只需考虑弯曲变形的影响，按式（*）计算，其结果已足够精确。仅在计算扁平拱的水平位移或者拱轴线与合理轴线接近时，才考虑轴向变形的影响，即 第五十一页，讲稿共一百三十七页哦需要说明的是，在上述位移计算公式中，都没有考虑杆件的曲率对变形的影响，这对直杆是正确的，而对曲杆则是近似的。但是，在常用的结构中，如拱结构、曲梁和有曲杆的刚架等，这些结构中构件的曲率对变形的影响都很小，可以略去不计。第五十二页，讲稿共一百三十七页哦【例例8.1】求求图图（a）所所示示简简支支梁梁的的中中点点C的的竖竖向向位位移移和截面和截面B的转角。已知梁的弯曲刚度的转角。已知梁的弯曲刚度EI为常量。为常量。(a)第五十三页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】1)求点求点C的竖向位移的竖向位移CV。在在点点C沿沿竖竖向向施施加加单单位位力力 =1，作作为为虚虚拟拟力力状状态态如图（如图（b）所示。）所示。(b)l/2l/2A第五十四页，讲稿共一百三十七页哦 分分别别建建立立虚虚设设荷荷载载和和实实际际荷荷载载作作用用下下梁梁的的弯弯矩矩方方程程。取点取点A为坐标原点，当为坐标原点，当0 xl/2时，有时，有l/2Al/2x第五十五页，讲稿共一百三十七页哦x第五十六页，讲稿共一百三十七页哦由由于于该该梁梁C点点左左右右对对称称，所所以以CV只只需需计计算算一一半半，把结果乘把结果乘2倍，即得倍，即得（）第五十七页，讲稿共一百三十七页哦 2)求截面求截面B的的转转角角 。在在B端施加一端施加一单单位力偶位力偶 ，作为虚拟力状态如，作为虚拟力状态如图图(c)所示。所示。(c)ACBl第五十八页，讲稿共一百三十七页哦分分别别建建立立虚虚设设荷荷载载和和实实际际荷荷载载作作用用下下梁梁的的弯弯矩矩方方程。程。取取A点点为为坐坐标标原原点点，当当0 xl时时，则则 和和M的的方方程为程为 ACBlx第五十九页，讲稿共一百三十七页哦x第六十页，讲稿共一百三十七页哦则则 计计算算结结果果为为负负值值，说说明明实实际际的的转转角角 与与所所设设单单位位力力偶的方向相反，即是逆时针方向。偶的方向相反，即是逆时针方向。()第六十一页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.2】求求图图（a）所所示示刚刚架架上上点点C的的水水平平位位移移CH。已知各杆的。已知各杆的EI为常数。为常数。(a)第六十二页，讲稿共一百三十七页哦【解解】在在C点点沿沿水水平平方方向向施施加加单单位位力力 ，作作为为虚虚拟力状态如图拟力状态如图(b)所示。所示。分分别别建建立立虚虚设设荷荷载载和和实实际际荷荷载载作作用用下下刚刚架架各各杆杆的弯矩方程。的弯矩方程。AB杆杆 BC杆杆第六十三页，讲稿共一百三十七页哦则点则点C的水平位移为的水平位移为 计计算算结结果果为为负负值值，表表明明实实际际位位移移方方向向与与所所设设单单位位荷荷载的方向相反载的方向相反。（）第六十四页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.3】求求图图（a）所所示示桁桁架架结结点点C的的竖竖向向位位移移。已已知知各各杆杆的的弹弹性性模模量量均均为为E=2.1105MPa，截截面面面面积积A=12cm2。(a)第六十五页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】在在点点C沿沿竖竖向向施施加加单单位位力力 ，作作为为虚虚拟力状态如图拟力状态如图(b)所示。所示。计算虚拟力状态的杆件内力如图计算虚拟力状态的杆件内力如图(b)所示。所示。(b)-5/6-5/6-4/32/32/3第六十六页，讲稿共一百三十七页哦 计算实际状态的杆件内力如图（计算实际状态的杆件内力如图（c）所示。）所示。(c)第六十七页，讲稿共一百三十七页哦具具体体计计算算过过程程列列表表进进行行，见见下下表表。由由于于桁桁架架及及荷荷载载的的对对称称性性，计计算算总总和和时时，在在表表中中只只计计算算了了半半个个桁桁架架。杆杆DE的的长度只取一半。最后求位移时乘以长度只取一半。最后求位移时乘以2。杆 件 /kN 杆长l/mm A/mm2 E/(kNmm2)/mm AC AD DE DC 2/3 -5/6 -4/3 5/6 60 -75 -60 0 4000 2500 0.54000 2500 1200 1200 1200 1200 2.1102 2.1102 2.1102 2.1102 0.63 0.62 0.63 0=1.88mmCV=21.88=3.76mm()第六十八页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.4】如如图图所所示示为为一一等等截截面面圆圆弧弧形形曲曲杆杆，已已知知杆杆的的I和和A均均为为常常数数。求求B点点的的竖竖向向位位移移。并并比比较较剪剪切切变变形形和轴向变形对位移的影响和轴向变形对位移的影响BV。忽略曲率的影响。忽略曲率的影响。F第六十九页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】1)在在B点点加加单单位位竖竖向向荷荷载载 。分分别别计计算算在在实实际际荷荷载载和和虚虚设设单单位位荷荷载载作作用用下下的的内内力力。取取B点点为为坐坐标标原原点点，在在与与OB成成角角的的任任意意截截面面上上，两两种种状状态下的内力分别为态下的内力分别为(b)(a)第七十页，讲稿共一百三十七页哦 实际荷载状态实际荷载状态 M=Frsin FS=Fcos FN=Fsin 虚设荷载状态虚设荷载状态 =Frsin =Fcos =Fsin 2)计算位移计算位移BV。位移公式为。位移公式为将将ds=rd，代入位移公式。，代入位移公式。第七十一页，讲稿共一百三十七页哦 为为比比较较，分分别别计计算算M、FN、FS引引起起的的位位移移，并并用用 、表示。表示。第七十二页，讲稿共一百三十七页哦 设设杆杆的的截截面面为为矩矩形形(K=1.2)，宽宽度度为为b，高高度度为为h,并并设设G=0.4E，h/r=1/10，则则第七十三页，讲稿共一百三十七页哦 计计算算结结果果表表明明，当当截截面面高高度度h远远小小于于半半径径r时时，轴轴向向变变形和剪切形和剪切变变形形对对位移的影响很小，可以忽略不位移的影响很小，可以忽略不计计。第七十四页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.5】组组合合结结构构如如图图（a）所所示示。其其中中CD、BD为为二二力力杆杆，其其拉拉压压刚刚度度为为EA；AC为为受受弯弯杆杆件件，其其弯弯曲曲刚刚度度为为EI。在在D点点有有集集中中荷荷载载F作作用。求用。求D点的竖向位移点的竖向位移DV。CDBAEIEAEAaaa(a)第七十五页，讲稿共一百三十七页哦(b)【解解】在在D点点沿沿竖竖向向施施加加单单位位力力 ，作作为为虚虚拟拟力力状状态态如如图（图（b）所示。）所示。分分别别计计算算虚虚设设荷荷载载和和实实际际荷荷载载作作用用下下链链杆杆的的轴轴力力图图(b，c)，并建立受弯杆的弯矩方程。并建立受弯杆的弯矩方程。CDBAEIEAEAaaa第七十六页，讲稿共一百三十七页哦(b)(c)1FBC 杆杆 AB 杆杆 CDBAEIEAEAaaaCDBAEIEAEAaaaxx第七十七页，讲稿共一百三十七页哦求得求得D点的竖向位移为点的竖向位移为 第七十八页，讲稿共一百三十七页哦8.3 图乘法图乘法 由上节知道，在计算由荷载作用引起的梁和刚架的位移时，需要建立弯矩方程和进行繁琐的积分运算，利用图乘法求位移，可以避免这些繁琐的计算。第七十九页，讲稿共一百三十七页哦 在计算由荷载作用引起的梁和刚架的位移时，需要计算积分 。8.3.1 图乘公式及适用条件图乘公式及适用条件 式中 是两个弯矩方程的乘积。若在满足一定条件的情况下，能画出两种状态下的弯矩图，则上式可以转换为用弯矩图互乘的方法，即用图乘法代替积分运算，这样可使计算得到简化。现在对上面的积分式进行分析：第八十页，讲稿共一百三十七页哦如果该杆截面的弯曲刚度EI为一常数，则 如图所示为直杆段 AB的两个弯矩图，假设 图为一直线图形，M图为任意图形。第八十一页，讲稿共一百三十七页哦 这里tan为一常数，则有 由于 图为一直线图形，所以 图中某一点的纵坐标为 第八十二页，讲稿共一百三十七页哦 式中，dA表示M图的微面积（图中阴影线部分的面积）；积分 表示M图的面积对于y轴的静矩，它等 于M图 的 面 积A乘 以 其 形 心C到y轴 的 距 离 xC，即 。所以第八十三页，讲稿共一百三十七页哦 设M图的形心C所对应的M图中的竖标为yC，由图有 第八十四页，讲稿共一百三十七页哦对于由多个弯曲刚度EI为常数的杆段组成的结构，用图乘法计算位移的公式为显然，图乘法是将积分运算问题简化为求图形的面积、形心和竖标的问题。第八十五页，讲稿共一百三十七页哦需要说明的是，用图乘法计算位移时，梁和刚架的杆件必须满足以下条件：（1）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度 EI为常数。为常数。（2）杆段的轴线为直线。）杆段的轴线为直线。（3）各各杆杆段段的的 M 图图和和 图图中中至至少少有有一一个个为为直直线线图图形。形。第八十六页，讲稿共一百三十七页哦对于等截面直杆，前两个条件自然满足。至于第三个条件，虽然在均布荷载的作用下M图的形状是曲线形状，但 图却总是由直线段组成，只要分段考虑也可满足。于是，对于由等截面直杆段所构成的梁和刚架，在计算位移时均可应用图乘法。第八十七页，讲稿共一百三十七页哦应用图乘法时应注意：(1)在在图图乘乘前前要要先先对对图图形形进进行行分分段段处处理理，保保证证两两个个图形中至少有一个是直线图形。图形中至少有一个是直线图形。(2)A与与yC是是分分别别取取自自两两个个弯弯矩矩图图，竖竖标标yC必必须须取取自直线图形。自直线图形。(3)当当A与与yC在在杆杆的的同同侧侧时时，乘乘积积AyC取取正正号号；A与与yC在杆的异侧时，乘积在杆的异侧时，乘积AyC取负号。取负号。第八十八页，讲稿共一百三十七页哦下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积及其形心位置。在应用图示抛物线图形的公式时，必须注意曲线在顶点处的切线应与基线平行，即在顶点处剪力为零。第八十九页，讲稿共一百三十七页哦第九十页，讲稿共一百三十七页哦 在图乘运算中，经常会遇到一些不规则的复杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定，在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。8.3.2 图乘技巧图乘技巧第九十一页，讲稿共一百三十七页哦（1）若若两两个个图图形形都都是是直直线线，但都含有正、负两部分如图所示，可将其中一个图形分解为ABD和ABC两个三角形，分别与另一个图形图乘并求和。M图ACDBC1C2yC2yC1第九十二页，讲稿共一百三十七页哦（2）如如果果M图图为为梯梯形形如如图图所所示示，可以把它分解为两个三角形，然后把它们分别与 图相乘，最后再求和，即 C1C2ldcyC1CabDBAM图式中：yC2第九十三页，讲稿共一百三十七页哦 （3）若若M图图是是非非标标准准抛抛物物线线图图形形时时，可以把AB段的弯矩图分解为一个梯形和一个标准抛物线图形如图所示两部分，这段直杆的弯矩图与相应简支梁在两端弯矩MA、MB和均布荷载q作用下的弯矩图是一样的。ABABqaABCDdxdxaqABMBMA第九十四页，讲稿共一百三十七页哦 从上图可以看出，以C、D连线为基线的抛物线在形状上虽不同于水平基线的抛物线，但两者对应的弯矩图竖标处处相等且垂直于杆轴，因此两个抛物线图形的面积大小和形心位置是相等的，即（不能采用上图中的虚线CD长度）。必须指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图竖标的叠加。第九十五页，讲稿共一百三十七页哦（4）如如果果杆杆件件（或或杆杆段段）的的两两种种弯弯矩矩图图都都不不是是直直线线图图形形，其中一个图形为折线形，应按折线分段的方法进行处理 如图所示，然后分别进行图乘再求和。另外，即使弯矩图是直线图形，但杆件为阶梯杆，在这种情况下，由于各杆段的弯曲刚度不同，所以也应分段图乘。第九十六页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.6】求求图图示示简简支支梁梁中中点点C的的竖竖向向位位移移CV。梁的梁的EI为常数。为常数。第九十七页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】在在简简支支梁梁中中点点C加加单单位位竖向力竖向力 ，如图，如图(c)所示。所示。分分别别作作荷荷载载产产生生的的弯弯矩矩图图M图图和单位力产生的弯矩图和单位力产生的弯矩图 图，如图（图，如图（b，c）所示。）所示。C第九十八页，讲稿共一百三十七页哦 因因M图是曲线，应以图是曲线，应以M图作为图作为A，而，而 图是由折线组图是由折线组成，应分两段图乘。但因图形对称，可计算一半再乘两倍。成，应分两段图乘。但因图形对称，可计算一半再乘两倍。所以所以第九十九页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.7】求求图图示示悬悬臂臂梁梁在在B点点的的竖竖向向位位移移BV。梁的梁的EI为常数。为常数。第一百页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】在在悬悬臂臂梁梁B点点加加竖竖向向单单位位力力 ，如图，如图(c)所示。所示。分分别别作作荷荷载载产产生生的的弯弯矩矩图图M图图和和单单位位力力产产生生的的弯弯矩矩图图 图图，如如图图(b，c)所所示。示。lABql2第一百零一页，讲稿共一百三十七页哦图图乘乘时时要要注注意意，此此时时的的M图图的的B点点不不是是抛抛物物线线的的顶顶点点，因因而而面面积积和和形形心心不不能能直直接接用用公公式式。而而是是应应将将M图图分分解解为为一一个个上上边边受受拉拉的的三三角角形形A1和和一一个个下下边边受受拉拉的的抛抛物物线线图图形形A2。图图形形的的面积和纵坐标计算如下：面积和纵坐标计算如下：lABql2A1A2y1y2第一百零二页，讲稿共一百三十七页哦 于是于是B点的点的竖竖向位移向位移为为lABql2A1A2y1y2第一百零三页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.8】求求图图（a）所所示示外外伸伸梁梁C点点的的竖竖向向位位移移CV。梁的。梁的EI为常数。为常数。(a)第一百零四页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】在在C点点加加竖竖向向单单位位力，如图力，如图(c)所示。所示。分分别别作作荷荷载载及及单单位位力力所所产生的产生的M图图图图(b)和和 图图图图(c)。第一百零五页，讲稿共一百三十七页哦 A1A2 图图包包括括两两段段直直线线，所所以以，整整个个梁梁应应分分为为AB和和BC两两段段进进行行图图乘乘。AB段段的的M图图可可以以分分解解为为一一个个在在基基线线上上边边受受拉拉的的三三角角形形A1和和一一个个在在基基线线下下边边受受拉拉的的标标准准二二次次抛物线图形抛物线图形A2。第一百零六页，讲稿共一百三十七页哦BC段段的的M图图则则为为一一个个标标准准二二次次抛抛物物线线图图形形A3。M图图中各分面积与相应的图中的纵坐标分别计算如下：中各分面积与相应的图中的纵坐标分别计算如下：于是于是C点的竖向位移为点的竖向位移为A1A2（）yc3yc2yc1第一百零七页，讲稿共一百三十七页哦 【例例8.9】求求图图（a）所所示示悬悬臂臂刚刚架架梁梁中中点点D的的竖竖向向位移位移DV。各杆的。各杆的EI为常数。为常数。F(a)第一百零八页，讲稿共一百三十七页哦 【解解】在在梁梁中中点点D加加竖竖向向单单位力位力图图(c)。分分别别作作荷荷载载作作用用下下的的M图图图图(b)和单位力作用的和单位力作用的图图图图(c)。FlFlFl0.5l0.5l0.5l(c)(b)第一百零九页，讲稿共一百三十七页哦在在应应用用图图乘乘法法时时，把把单单位位力力产产生生的的 图图作作为为图图形形的的面面积积，梁梁上上的的 图图面面积积作作为为A1，柱柱上上的的 图图面积作为面积作为A2图图(c)。FlFlFl0.5l0.5l0.5lA1A2y1y2(c)(b)第一百一十页，讲稿共一百三十七页哦 于是于是D点的点的竖竖向位移向位移为为第一百一十一页，讲稿共一百三十七页哦8.4 支座移动引起的位移计算支座移动引起的位移计算 静定结构是无多余约束的几何不变体系，支座移动对静定结构不产生任何内力和变形，只产生刚体位移。如图所示，静定刚架由于地基的沉陷，使支座A发生了竖向位移，整个刚架发生了如图中虚线所示的刚体位移。第一百一十二页，讲稿共一百三十七页哦 因此，静定结构在支座移动时的位移计算，属于刚体的位移计算问题，位移计算公式可简化为 式中：虚拟状态的支座反力；c 实际状态的支座位移；虚拟状态下所有支座反力在实际状 态的支座位移上所做的外力虚功之和。第一百一十三页，讲稿共一百三十七页哦在上式中，当虚拟状态的支座反力方向与实际支座位移的方向一致时乘积 取正号，否则取负号。第一百一十四页，讲稿共一百三十七页哦【例例8.10】如如图图（a）所所示示结结构构，若若A端端发发生生水水平平移移动动a，竖竖向向下下沉沉b，转转角角 。求求由由此此引引起起的的点点B的的水水平平位位移移BH和竖向位移和竖向位移BV。(a)第一百一十五页，讲稿共一百三十七页哦【解解】1)求求BH 。在在B点加一水平单位力，如图（点加一水平单位力，如图（b）所示。）所示。由结构的整体平衡条件，计算支座反力。由结构的整体平衡条件，计算支座反力。（b）第一百一十六页，讲稿共一百三十七页哦 （）位移位移BH为为 2)求求BV。在在B点点加加一一竖竖向向单单位位力力，如如图图（c）所示。）所示。(c)第一百一十七页，讲稿共一百三十七页哦 由结构的整体平衡条件，计算支座反力。由结构的整体平衡条件，计算支座反力。位移位移BV为为（）(c)第一百一十八页，讲稿共一百三十七页哦8.5 互等定理互等定理 本节介绍线弹性体系的三个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，其余两个定理可由功的互等定理推导得到。这几个定理在计算位移和求解超静定结构时是很有用的，也是今后学习、研究其他有关内容的基础。第一百一十九页，讲稿共一百三十七页哦设同一结构分别受到两组外力F1和F2的作用，如图(a，b)所示的两种状态。8.5.1 功的互等定理功的互等定理（a）状态IAB12（b）状态IIAB12F1F2第一百二十页，讲稿共一百三十七页哦状态中，在F1产生的内力用FN1、FS1、M1表示，F1产生的与F2相应的位移为21。状态中，在F2产生的内力用FN2、FS2、M2表示，F2产生的与F2相应的位移为12。（a）状态I21AB12（b）状态II12AB12F1F2第一百二十一页，讲稿共一百三十七页哦若以We12表示状态的外力在状态的位移上所做的虚功，则根据虚功原理可写出虚功方程如下：反过来，若以We21表示状态的外力在状态的位移上所做的虚功，可写出虚功方程如下：(a)(b)第一百二十二页，讲稿共一百三十七页哦比较(a)、(b)，可知以上两式的右边完全相同，故有We12=We21。或写为 F112=F221上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功功的的互互等等定定理理。显然，功的互等定理研究的是同一结构的两种状态的虚功关系。第一百二十三页，讲稿共一百三十七页哦位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况，研究的是同一体系的两种状态，在两个作用点分别作用单位力时，在单位力的作用点沿单位力方向的位移之间的关系。8.5.2 位移互等定理位移互等定理第一百二十四页，讲稿共一百三十七页哦 在如图所示的两种状态中，结构受到的荷载均为单位荷载，即都只受一个单位力F1=F2=1的作用。设用12表示由F2=1引起的与F1相应的位移，用21表示由F1=1引起的与F2相应的位移，则由功的互等定理可得 F112=F221 因F1=F2=1，故有 12=21（a）状态I21AB12（b）状态II12AB12 F1=1F2=1第一百二十五页，讲稿共一百三十七页哦上式表明：第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿第二个单位力方向上的位移，等于第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿第一个单位力方向上的位移。这就是位位移移互互等等定定理理。显然，位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况。需要说明的是，这里的单位力可以是广义力，而位移是相应的广义位移。位移互等定理将在后面的力法中求解超静定结构时用到，并起到简化计算的作用。第一百二十六页，讲稿共一百三十七页哦这个定理也是功的互等定理的一种特殊情况，用它可以来说明超静定结构在两个支座间分别发生单位位移时，在两种状态中反力间的互等关系。8.5.3 反力互等定理反力互等定理第一百二十七页，讲稿共一百三十七页哦图(a)表示支座1发生单位位移1=1，在支座2处产生的反力为r21。图(b)表示支座2发生单位位移2=1，在支座1处产生的反力为r12。其他支座反力因为它们所对应的另一状态的位移为零，不作虚功，因此，未在图中绘出。12121=12=1(a)(b)r21r12第一百二十八页，讲稿共一百三十七页哦根据功的互等定理可得r12=r21上式表明：在任一线弹性体系中，支座1由于支座2的单位位移引起的的反力r12，在数值上等于支座2由支座1的单位位移所引起的的反力r21。这就是反力互等定理反力互等定理。第一百二十九页，讲稿共一百三十七页哦这里所讲的支座也可以是别的约束，而支座位移可以换成是与该约束相应的广义位移，支座反力则是与该约束相应的广义力。反力互等定理将在后面的位移法中求解超静定结构时用到，并起到简化计算的作用。第一百三十页，讲稿共一百三十七页哦小小 结结本章介绍了结构位移的概念，主