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第二章生命表本讲稿第一页，共四十八页本章的主要问题生命表的概念生命表函数生命表的编制本讲稿第二页，共四十八页本章重点生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定本讲稿第三页，共四十八页本章中英文单词对照死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表Age-at-deathLife tableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForce of mortalityLimiting ateSelect-and-ultimate tables本讲稿第四页，共四十八页第一节生命表函数本讲稿第五页，共四十八页1.1生命表的概念生命表的定义:生命表一般要包括两个基本要素：年龄及相应的死亡率。它是以一类、一群、一个整体的人为研究对象、研究他们的平均年龄、最高年龄、最低年龄、平均寿命等方面的特征，从而得到一张反映人的生存和死亡规律纳统计表。生命表在寿险中处于极为重要的地位，寿险保费的厘定和责任准备金的计算都是以适当的已有的生命表为基础。本讲稿第六页，共四十八页生命表的概念生命表的种类一类是以全社会或某地区为统计对象，按人口普查资料来编制的国民生命表；另一类是以寿险公司经验体而允予承保的人为调查对象制成的经验生命表。根据使用的要求不同又可将经验生命表分成多种类型。如、按应用范围不同可分为寿险生命表和年金生命表、按性别不同可分为男性及女性生命表，按统计范围的不同可分为检选生命表、终极生命表和综合生命表。本讲稿第七页，共四十八页几种常见生命表寿险生命表与年金生命表男性生命表和女性生命表检选生命表和终极生命表本讲稿第八页，共四十八页几个与生命有关的随机变量和分布函数1生存函数S(x)假设X是0岁的人在死亡时的年龄显然这是一个连续型随机变量。F(x)是它的分布函数那么F(x)P（Xx）(xo)。意思0岁的人在x岁前死亡的概率。本讲稿第九页，共四十八页生命函数的基本性质S(x)具有下面几个基本性质：(1)S(0)1即0岁的人必然能活到0岁；S()0，即0岁的入永远不死是不可能事件。(2)S(x)是关于x的递减函数。(3)一般S(x)还是一个关于x的连续函数。本讲稿第十页，共四十八页几个与生命有关的随机变量和分布函数 2连续型生存时间变量T(X)T(x)表示年龄x岁的人未来能生存的时间，通常简写为T。令G(t)是T的分布函数，则G(t)P(Tt)表示x岁的人在年内死亡的概率。本讲稿第十一页，共四十八页几个与生命有关的随机变量和分布函数 3离散型生存时间变量K(x)K(x)表示x岁的人活到死亡时已生存的整数年龄，通常简写为K。显然K(x)是T(x)取整而得到的，即K(x)LT(x)本讲稿第十二页，共四十八页生命表中所示的基本函数及其关系 (1)0岁者活到x岁的生存人数。即 (2)0岁者在x岁与(x十1)岁之间死亡的人数。即(3)X岁的人在年内生存的概率。(4)X岁的人在年内死亡的概率。本讲稿第十三页，共四十八页更一般的情况 在 岁死亡的人数。公式：岁的人在 岁死亡的概率。公式：岁的人在 岁存活的概率。公式：本讲稿第十四页，共四十八页更一般的情况 岁的人在 岁生存的人年数。公式：岁的人群未来累积生存人年数。公式：岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。公式：本讲稿第十五页，共四十八页更一般的情况运用生命表函数可以定义和表述寿险精算中常用的死亡概率：如：（1）（2）本讲稿第十六页，共四十八页例125岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算解：由已知 (a)(b)由(b)得：代入(a)得：结果：本讲稿第十七页，共四十八页例2已知 ，计算 和 。解：（1）（2）本讲稿第十八页，共四十八页生存函数定义意义：新生儿能活到 岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：本讲稿第十九页，共四十八页剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数 ：本讲稿第二十页，共四十八页剩余寿命剩余寿命的生存函数 ：特别：本讲稿第二十一页，共四十八页剩余寿命 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 本讲稿第二十二页，共四十八页整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数本讲稿第二十三页，共四十八页剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差本讲稿第二十四页，共四十八页整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差本讲稿第二十五页，共四十八页死亡力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系本讲稿第二十六页，共四十八页死亡力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数本讲稿第二十七页，共四十八页第二节生命表的构造本讲稿第二十八页，共四十八页有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729)Gompertze模型(1825)本讲稿第二十九页，共四十八页有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)本讲稿第三十页，共四十八页参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。本讲稿第三十一页，共四十八页生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）本讲稿第三十二页，共四十八页生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：本讲稿第三十三页，共四十八页生命表的构造 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作本讲稿第三十四页，共四十八页生命表的构造 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：本讲稿第三十五页，共四十八页生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89本讲稿第三十六页，共四十八页例2.1：已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。本讲稿第三十七页，共四十八页例2.1答案本讲稿第三十八页，共四十八页选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用本讲稿第三十九页，共四十八页选择-终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0297.0374.0463.0566.0652 7773.0228.0324.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326.0464.0586.0727.0889.1024 82本讲稿第四十页，共四十八页第三节有关分数年龄的假设 本讲稿第四十一页，共四十八页有关分数年龄的假设 使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)本讲稿第四十二页，共四十八页三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)本讲稿第四十三页，共四十八页三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci本讲稿第四十四页，共四十八页例2.2：已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：本讲稿第四十五页，共四十八页例2.2答案本讲稿第四十六页，共四十八页例2.2答案本讲稿第四十七页，共四十八页例2.2答案本讲稿第四十八页，共四十八页
