常数项级数的审敛法.ppt
上页下页铃结束返回首页关于常数项级数的审敛法现在学习的是第1页，共31页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的 而单调有界数列是有极限 下页v定理1(正项级数收敛的充要条件)现在学习的是第2页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理2(比较审敛法)推论 下页现在学习的是第3页，共31页上页下页铃结束返回首页 解 下页v定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛 若级数un发散 则级数vn发散 现在学习的是第4页，共31页上页下页铃结束返回首页因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若现在学习的是第5页，共31页上页下页铃结束返回首页 设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛 若级数un发散 则级数vn发散 vp级数的收敛性 证 下页v定理2(比较审敛法)现在学习的是第6页，共31页上页下页铃结束返回首页调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切现在学习的是第7页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理3(比较审敛法的极限形式)下页 解 现在学习的是第8页，共31页上页下页铃结束返回首页 下页 解 v定理3(比较审敛法的极限形式)现在学习的是第9页，共31页上页下页铃结束返回首页下页收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)解 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 例5 证明级数是收敛的 现在学习的是第10页，共31页上页下页铃结束返回首页所以 根据比值审敛法可知所给级数发散 下页 解 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)现在学习的是第11页，共31页上页下页铃结束返回首页提示所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 下页 解 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)现在学习的是第12页，共31页上页下页铃结束返回首页讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;现在学习的是第13页，共31页上页下页铃结束返回首页下页v定理5(根值审敛法 柯西判别法)收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 现在学习的是第14页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理5(根值审敛法 柯西判别法)收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 下页现在学习的是第15页，共31页上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明说明:但级数收敛;级数发散.现在学习的是第16页，共31页上页下页铃结束返回首页证明级数收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 现在学习的是第17页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法)因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 下页现在学习的是第18页，共31页上页下页铃结束返回首页v定理6(极限审敛法)因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 首页现在学习的是第19页，共31页上页下页铃结束返回首页设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.现在学习的是第20页，共31页上页下页铃结束返回首页1.判别级数的敛散性:解解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.现在学习的是第21页，共31页上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 下页 例如 现在学习的是第22页，共31页上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 v定理7(莱布尼茨定理)(1)unun1(n1 2 3 )则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 下页现在学习的是第23页，共31页上页下页铃结束返回首页这是一个交错级数 解 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11首页则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 v定理7(莱布尼茨定理)因为此级数满足 例12 现在学习的是第24页，共31页上页下页铃结束返回首页收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛现在学习的是第25页，共31页上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 下页 例如 现在学习的是第26页，共31页上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛 v定理8(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题 下页现在学习的是第27页，共31页上页下页铃结束返回首页 解 下页v定理8(绝对收敛与收敛的关系)例13 现在学习的是第28页，共31页上页下页铃结束返回首页例例14.证明级数绝对收敛:令因此收敛,绝对收敛.现在学习的是第29页，共31页上页下页铃结束返回首页结束v定理8(绝对收敛与收敛的关系)解 例14 现在学习的是第30页，共31页上页下页铃结束返回首页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第31页，共31页
