多元随机变量及其分布 (2)精选PPT.ppt

关于多元随机变量及其分布(2)1第1页，讲稿共125张，创作于星期日二元随机变量二元随机变量 例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高高H H的分布或仅研究体重的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。变量。问题的提出问题的提出第2页，讲稿共125张，创作于星期日3例例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。们是定义在同一样本空间的两个随机变量。第3页，讲稿共125张，创作于星期日定义：定义：设设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设；设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由它们构成的向上的随机变量，由它们构成的向量量(X,Y)(X,Y)叫做叫做二元随机变量二元随机变量或或二维随机变量二维随机变量。Se第4页，讲稿共125张，创作于星期日1 1 二元离散型随机变量二元离散型随机变量定义：若二元随机变量定义：若二元随机变量(X,Y)(X,Y)全部可能取到的不同值全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称是有限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是离散型随机是离散型随机变量。变量。（一）联合概率分布（一）联合概率分布第5页，讲稿共125张，创作于星期日6y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij为二元离散型随机变量为二元离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率分布律。可以用如的联合概率分布律。可以用如右表格表示：右表格表示：离散型随机变量的离散型随机变量的联合概率分布律联合概率分布律：第6页，讲稿共125张，创作于星期日分布律的性质第7页，讲稿共125张，创作于星期日8例例1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数四个整数中等可能地取中等可能地取 一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一中等可能地取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。第8页，讲稿共125张，创作于星期日9 解：解：(X=i,Y=j)(X=i,Y=j)的取值情况为：的取值情况为：i=1,2,3,4i=1,2,3,4；j j取不大于取不大于i i的正整数。的正整数。第9页，讲稿共125张，创作于星期日10YX12344000120300即即(X,Y)(X,Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为：第10页，讲稿共125张，创作于星期日第11页，讲稿共125张，创作于星期日12第12页，讲稿共125张，创作于星期日13对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X,Y)(X,Y)，分布律为分布律为X,Y的边际（边缘）分布律边际（边缘）分布律为：（二）边际分布（二）边际分布第13页，讲稿共125张，创作于星期日p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1注意：注意：第14页，讲稿共125张，创作于星期日第15页，讲稿共125张，创作于星期日16X0210.050.800.15p 0 1 0120.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.8875 0.11251第16页，讲稿共125张，创作于星期日17第17页，讲稿共125张，创作于星期日（三）条件分布（三）条件分布第18页，讲稿共125张，创作于星期日19由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。第19页，讲稿共125张，创作于星期日 定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于固对于固定的定的 ，第20页，讲稿共125张，创作于星期日21同样，对于固定的 ，第21页，讲稿共125张，创作于星期日求：求：(1)a,b的值；的值；(2)X=2条件下条件下Y的条件分布律；的条件分布律；(3)X+Y=2条件下条件下X的条件分布律。的条件分布律。YX-1 1 0 0.2 a0.2120.1 0.1 b例4：(X,Y)的联合分布律为第22页，讲稿共125张，创作于星期日23解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4第23页，讲稿共125张，创作于星期日24第24页，讲稿共125张，创作于星期日例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。第25页，讲稿共125张，创作于星期日26解：解：第26页，讲稿共125张，创作于星期日27第27页，讲稿共125张，创作于星期日第28页，讲稿共125张，创作于星期日29第29页，讲稿共125张，创作于星期日0称为称为二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数。2 2 二元随机变量的分布函数二元随机变量的分布函数（一）（一）分布函数分布函数定义：设定义：设(X,Y)是二元随机变量是二元随机变量,对于任意实数对于任意实数x,y，二元函数，二元函数第30页，讲稿共125张，创作于星期日分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)第31页，讲稿共125张，创作于星期日x2y1x1y2第32页，讲稿共125张，创作于星期日二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布函数作为整体，有分布函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的分布函数都是随机变量，它们的分布函数,记为：记为：称为称为边际分布函数。边际分布函数。（二）（二）边际（边缘）边际（边缘）分布函数分布函数第33页，讲稿共125张，创作于星期日34事实上，事实上，第34页，讲稿共125张，创作于星期日 定义：条件分布函数定义：条件分布函数（三）（三）条件条件分布函数分布函数第35页，讲稿共125张，创作于星期日36第36页，讲稿共125张，创作于星期日3 二元连续型随机变量（一）（一）联合概率密度联合概率密度第37页，讲稿共125张，创作于星期日第38页，讲稿共125张，创作于星期日39第39页，讲稿共125张，创作于星期日例例1：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：第40页，讲稿共125张，创作于星期日41第41页，讲稿共125张，创作于星期日第42页，讲稿共125张，创作于星期日43第43页，讲稿共125张，创作于星期日对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为（二）（二）边际（边缘）概率密度边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为的边际概率密度为：对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为第44页，讲稿共125张，创作于星期日45事实上，事实上，同理：同理：第45页，讲稿共125张，创作于星期日 例例3：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)的联合的联合概率密度为概率密度为 第46页，讲稿共125张，创作于星期日47第47页，讲稿共125张，创作于星期日 定义：条件概率密度定义：条件概率密度（三）（三）条件概率密度条件概率密度第48页，讲稿共125张，创作于星期日49第49页，讲稿共125张，创作于星期日 第50页，讲稿共125张，创作于星期日51第51页，讲稿共125张，创作于星期日例例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过时间不能超过30分钟。设甲先干了分钟。设甲先干了X分钟，再由分钟，再由乙完成，加起来共用乙完成，加起来共用Y分钟。若分钟。若XU(0,30)，在，在X=x条件下，条件下，YU(x,30)。(1)求求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密度的联合概率密度以及条件概率密度 ；(2)当已知两人共花了当已知两人共花了25分钟完成工作时，求甲分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过的工作时间不超过10分钟的概率。分钟的概率。第52页，讲稿共125张，创作于星期日53第53页，讲稿共125张，创作于星期日54第54页，讲稿共125张，创作于星期日55第55页，讲稿共125张，创作于星期日二元均匀分布与二元正态分布二元均匀分布与二元正态分布（1）若二元随机变量）若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域在二维有界区域D上取上取值，且具有概率密度值，且具有概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在D D上服从上服从均匀分布均匀分布。第56页，讲稿共125张，创作于星期日57第57页，讲稿共125张，创作于星期日例例5 5：设二元随机变量：设二元随机变量(X,Y)(X,Y)在区域在区域 内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度第58页，讲稿共125张，创作于星期日59解：解：根据题意，根据题意，(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：Y Y的边际概率密度为：的边际概率密度为：第59页，讲稿共125张，创作于星期日60于是给定于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：的条件概率密度为：二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布第60页，讲稿共125张，创作于星期日第61页，讲稿共125张，创作于星期日第62页，讲稿共125张，创作于星期日第63页，讲稿共125张，创作于星期日第64页，讲稿共125张，创作于星期日第65页，讲稿共125张，创作于星期日66第66页，讲稿共125张，创作于星期日67第67页，讲稿共125张，创作于星期日第68页，讲稿共125张，创作于星期日694 随机变量的独立性第69页，讲稿共125张，创作于星期日第70页，讲稿共125张，创作于星期日 例例1 1：33例例1 1中中X X和和Y Y是否相互独立？即是否相互独立？即(X,Y)(X,Y)具具有概率密度有概率密度第71页，讲稿共125张，创作于星期日72解：计算得，解：计算得，X X和和Y Y的边际概率密度分别为：的边际概率密度分别为：第72页，讲稿共125张，创作于星期日73 请问：连续型随机变量请问：连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密度函相互独立，其密度函数有何特征？数有何特征？第73页，讲稿共125张，创作于星期日XY01P(X=j)12P(Y=i)第74页，讲稿共125张，创作于星期日75XY01P(X=j)12P(Y=i)第75页，讲稿共125张，创作于星期日第76页，讲稿共125张，创作于星期日第77页，讲稿共125张，创作于星期日78第78页，讲稿共125张，创作于星期日第79页，讲稿共125张，创作于星期日第80页，讲稿共125张，创作于星期日81第81页，讲稿共125张，创作于星期日一般一般n n元随机变量的一些概念和结果元随机变量的一些概念和结果 第82页，讲稿共125张，创作于星期日 第83页，讲稿共125张，创作于星期日 边际分布边际分布第84页，讲稿共125张，创作于星期日85 第85页，讲稿共125张，创作于星期日86相互独立相互独立第86页，讲稿共125张，创作于星期日 第87页，讲稿共125张，创作于星期日 定理1：定理2：第88页，讲稿共125张，创作于星期日895 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布第89页，讲稿共125张，创作于星期日第90页，讲稿共125张，创作于星期日第91页，讲稿共125张，创作于星期日92第92页，讲稿共125张，创作于星期日第93页，讲稿共125张，创作于星期日94第94页，讲稿共125张，创作于星期日第95页，讲稿共125张，创作于星期日96第96页，讲稿共125张，创作于星期日第97页，讲稿共125张，创作于星期日98第98页，讲稿共125张，创作于星期日第99页，讲稿共125张，创作于星期日100第100页，讲稿共125张，创作于星期日例例4 4：设：设X X和和Y Y是相互独立的标准正态随机变量，是相互独立的标准正态随机变量，求求 的概率密度。的概率密度。第101页，讲稿共125张，创作于星期日102解：由卷积公式：解：由卷积公式：第102页，讲稿共125张，创作于星期日103一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，第103页，讲稿共125张，创作于星期日 例例5 5：X,YX,Y相互独立，同时服从相互独立，同时服从0,10,1上的均匀分上的均匀分布，求布，求 的概率密度。的概率密度。第104页，讲稿共125张，创作于星期日105xx=zz120 x=z-1 1解：根据卷积公式：解：根据卷积公式：易知仅当易知仅当参考图得：参考图得：第105页，讲稿共125张，创作于星期日例例6 6：设随机变量（：设随机变量（X,YX,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为记记Z=X+Y，求，求Z的概率密度。的概率密度。第106页，讲稿共125张，创作于星期日107x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：参考图得：第107页，讲稿共125张，创作于星期日例例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为为10元、元、20元、元、30元的概率各为元的概率各为1/3,另一份工作的另一份工作的酬金酬金YN(15,4).设设X,Y相互独立，记一天的酬相互独立，记一天的酬金总数为金总数为Z，Z=X+Y。求。求(1)Z的概率密度；的概率密度；(2)求一天酬金多于求一天酬金多于30元的概率。元的概率。第108页，讲稿共125张，创作于星期日109解解:(:(1)1)先求先求Z Z的分布函数，利用全概率公式的分布函数，利用全概率公式第109页，讲稿共125张，创作于星期日110第110页，讲稿共125张，创作于星期日第111页，讲稿共125张，创作于星期日112第112页，讲稿共125张，创作于星期日 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：推广到推广到n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况第113页，讲稿共125张，创作于星期日114第114页，讲稿共125张，创作于星期日第115页，讲稿共125张，创作于星期日116第116页，讲稿共125张，创作于星期日117第117页，讲稿共125张，创作于星期日例例9 9：设系统：设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联结而成，联结而成，联结的方式分别为：联结的方式分别为：(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当系统当系统L L1 1损坏时，系统损坏时，系统L L2 2开始工作开始工作)。如图，设。如图，设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X,YX,Y，已知它们的概率密度分别为：，已知它们的概率密度分别为：第118页，讲稿共125张，创作于星期日119试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L的寿命的寿命Z的概率的概率密度。密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1第119页，讲稿共125张，创作于星期日(1)串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：L1L2第120页，讲稿共125张，创作于星期日121故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：即即Z Z仍服从指数分布仍服从指数分布Z的概率密度为：的概率密度为：第121页，讲稿共125张，创作于星期日(2)(2)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停止才停止工作，所以这时工作，所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分的分布函数为：布函数为：L1L2Z的概率密度为：的概率密度为：第122页，讲稿共125张，创作于星期日(3)(3)备用的情况备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2第123页，讲稿共125张，创作于星期日124第124页，讲稿共125张，创作于星期日02.04.2023感谢大家观看第125页，讲稿共125张，创作于星期日