第五节函数展开成幂级数及其应用课件.ppt
第五节函数展开成幂级数及其应用第五节函数展开成幂级数及其应用第1页，此课件共29页哦统计学2第2页，此课件共29页哦第七章第七章 无穷级数无穷级数 第3页，此课件共29页哦v7.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v7.2 正项级数正项级数v7.3 任意项级数任意项级数v7.4 幂级数幂级数v7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用v7.6 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用v7.7 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的 基本性质基本性质v7.8 傅里叶级数傅里叶级数v7.9 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数v7.10 以以2l为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数目录目录 4第4页，此课件共29页哦学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。v 2）熟悉几何级数与级数的收敛性。）熟悉几何级数与级数的收敛性。v 3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根式审敛法。根式审敛法。v 4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。）掌握交错级数的莱布尼兹定理。v 5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。系。v 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。v 7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。间及收敛域的求法。5第5页，此课件共29页哦学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。v 9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。v 10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。幂级数。v 11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。了解幂级数在近似计算中的简单应用。v 12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。6第6页，此课件共29页哦7.5.2 泰勒级数泰勒级数7.5.4 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数7.5.5 欧拉公式欧拉公式 7.5.1 问题的提出问题的提出7第7页，此课件共29页哦 本节讨论的问题是：给定函数本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 f(x)如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展在该区间内能展开成幂级数开成幂级数7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.1 问题的提出问题的提出8第8页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用定理定理5.1(泰勒泰勒Taylor中值定理中值定理)泰勒泰勒 英国数学家英国数学家.16851731如果函数如果函数f(x)在含有在含有x0的某个开区间的某个开区间(a,b)内内具有直到具有直到(n1)的阶导数，则当的阶导数，则当x 在在(a,b)内内时，时，f(x)可以表示为可以表示为(xx0)的一个的一个n次多项式次多项式与一个余项与一个余项Rn(x)之和：之和：泰勒多项式泰勒多项式这里这里x x是是x0与与x 之间的某个值之间的某个值泰勒余项泰勒余项9第9页，此课件共29页哦7.5.2 泰勒级数泰勒级数7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用 注：注：只要函数有导数就会有泰勒级数，除了只要函数有导数就会有泰勒级数，除了xx0外，外，f(x)的泰的泰勒级数是否收敛勒级数是否收敛?如果收敛，它是否一定收敛于如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?定义定义5.1 如果如果 f(x)在点在点 x0 的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数 f(x)，f(x)，f(n)(x)，则记，则记称称这这一一级级数数为为 f(x)在点在点 x0 的的泰勒泰勒级级数数。特别，当。特别，当x0=0时，时，称为称为麦克劳林级数麦克劳林级数，其系数称为，其系数称为泰勒（泰勒（麦克劳林）系麦克劳林）系数数10第10页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用由数学归纳法由数学归纳法例例5.1 设函数设函数 证明证明 f(x)任意阶可导，任意阶可导，并且并且 f(n)(0)=0，进一步有麦克劳林级数和为进一步有麦克劳林级数和为S(x)=0.一般地，一般地，其中其中p(x),q(x)为多项式为多项式进一步有麦克劳林级数为进一步有麦克劳林级数为11第11页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用定义定义4.2 设函数设函数 f(x)在在 x0 的某邻域具有任意阶导数的某邻域具有任意阶导数，如果所导出的级，如果所导出的级数在区间数在区间 I I 上仍然收敛与上仍然收敛与 f(x)，则称，则称函数可展开成为泰勒级数函数可展开成为泰勒级数。注注:区间区间 I I 不一定是泰勒级数的收敛域不一定是泰勒级数的收敛域,同样也不一定是函数同样也不一定是函数 f(x)导导函数存在区域，更不是函数存在区域，更不是函数函数 f(x)定义域，它是使定义域，它是使级数的和函数级数的和函数 s(x)就等于就等于 f(x)的区域。的区域。12第12页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用 注：注：唯一性指明不论什么方法展开其结果是一样的。唯一性指明不论什么方法展开其结果是一样的。定理定理5.2 如果如果 f(x)在点在点 x0 的某邻域内具有任意阶导数，则的某邻域内具有任意阶导数，则 f(x)在点在点 x0 的某邻域内可展开成为泰勒级数的充分必要条的某邻域内可展开成为泰勒级数的充分必要条件是件是 f(x)的泰勒公式中的余项趋于零，即的泰勒公式中的余项趋于零，即定理定理5.3 如果如果 f(x)在点在点 x0 的某邻域内可展开成为泰勒级数，的某邻域内可展开成为泰勒级数，则展开式是唯一的，即则展开式是唯一的，即 x 的的 n 次幂项系数为次幂项系数为13第13页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数幂级数直接展开法幂级数直接展开法如果极限为零，则函数在如果极限为零，则函数在(-R,R)内可展开为泰勒内可展开为泰勒级数级数。第一步，求出第一步，求出 f(x)的各阶导数：的各阶导数：f(n)(x)；第二步，计算各阶导数在第二步，计算各阶导数在 x0 的值：的值：f(n)(x0)；第三步，写出泰勒级数：第三步，写出泰勒级数：；并求出收敛；并求出收敛半径半径R；第四步，考察余项在第四步，考察余项在(-R,R)内的极限：内的极限：x x是是x0与与x 之间的某个值之间的某个值14第14页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用例例5.2 求下列函数的幂级数展开求下列函数的幂级数展开特别特别15第15页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用幂级数间接展开法幂级数间接展开法间接展开法是指：利用一些已知函数的幂级数展开式及其幂级数的间接展开法是指：利用一些已知函数的幂级数展开式及其幂级数的运算运算(如四则运算、逐项求导求积、变量替换与恒等变形等），将如四则运算、逐项求导求积、变量替换与恒等变形等），将所给函数展开成为幂级数，包括收敛域。所给函数展开成为幂级数，包括收敛域。间接法成立的依据是展开式的唯一性。间接法成立的依据是展开式的唯一性。间接法中常常使用下列函数的展开式作为已知：间接法中常常使用下列函数的展开式作为已知：16第16页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用例例5.3 求下列函数的幂级数展开求下列函数的幂级数展开17第17页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.4 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用两类问题：两类问题：给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;给出精度给出精度,确定项数确定项数.关键关键是通过估计余项是通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数。近似计算近似计算误差误差18第18页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用例例5.4 计算下列函数的近似值计算下列函数的近似值sin90,误差不超过误差不超过10-3ln2,误差不超过误差不超过10-4e,误差不超过误差不超过10-519第19页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用计算数项级数的和计算数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和常用的方法有：直接法，拆项法，递推法常用的方法有：直接法，拆项法，递推法2.阿阿贝贝尔尔法法(构造构造幂级幂级数法数法)(逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)20第20页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用例例5.5 计算下列数项级数的和计算下列数项级数的和21第21页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用计算定积分计算定积分第一步，将被积函数展开幂级数第一步，将被积函数展开幂级数第二步，对幂级数逐项求积第二步，对幂级数逐项求积第三步，计算数项级数的和第三步，计算数项级数的和(精确到精确到10-4)例例5.6 求下列定积分的值求下列定积分的值.22第22页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.5 欧拉公式欧拉公式v复数项级数：复数项级数：设有复数项级数设有复数项级数(u1+iv1)+(u2+iv2)+(un+ivn)+其中其中un，vn（n=1，2，3，）为实常数或实函数如果实部）为实常数或实函数如果实部所成的级数所成的级数u1+u2+un+收敛于和收敛于和u，并且虚部所成的级数，并且虚部所成的级数v1+v2+vn+收敛于和收敛于和v，就说复数项级数收敛且和为，就说复数项级数收敛且和为u+iv23第23页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用v 绝对收敛：绝对收敛：v复变量指数函数：复变量指数函数：考察复数项级数考察复数项级数此级数在复平面上是绝对收敛的，在此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数轴上它表示指数函数ex，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez 即即24第24页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用v 欧拉公式：欧拉公式：当当x=0时，时，z=i y，于是，于是25第25页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.欧拉公式欧拉公式26第26页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用7.5.6 练习练习27第27页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用28第28页，此课件共29页哦7.5 函数展开成幂级数及其应用函数展开成幂级数及其应用参考答案参考答案29第29页，此课件共29页哦
