复变函数幂级数.ppt

复变函数幂级数现在学习的是第1页，共34页1 幂级数的定义幂级数的定义：形式的复函数项级数称为幂级数形式的复函数项级数称为幂级数,其中其中 c0,c1,c2,a都是复常数都是复常数.幂级数是最简单的解析函数项级数幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清为了搞清楚它的敛散性楚它的敛散性,先建立以下的先建立以下的阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理.4.2.1 幂级数的敛散性幂级数的敛散性具有具有若令若令zz-a,则以上幂级数还可以写成如下形式则以上幂级数还可以写成如下形式现在学习的是第2页，共34页 定理定理4.10：如果幂级数如果幂级数(4.3)在某点在某点z1(a)收敛收敛,则它必在圆则它必在圆K:|z-a|z1-a|(即以即以a为圆心为圆心圆周通过圆周通过z1的圆的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛内绝对收敛且内闭一致收敛.证证:设设z是所述圆内任意点是所述圆内任意点.因为因为(n=0,1,2,),注意到注意到|z-a|z1-a|,故级数故级数 a收敛收敛,它的各项必然有界它的各项必然有界,即有正数即有正数M,使使收敛收敛z1现在学习的是第3页，共34页其次其次,对对K内任一闭圆内任一闭圆在圆在圆 K 上有收敛的优级数上有收敛的优级数因而它在因而它在 K 上一致收敛上一致收敛.再由定理再由定理4.8,此级数此级数必在圆必在圆K内内闭一致收敛内内闭一致收敛.在圆在圆K内绝对收敛内绝对收敛.上的一切点来说上的一切点来说,有有:a现在学习的是第4页，共34页 推论推论4.11 若幂级数若幂级数(4.3)在某点在某点z2(a)发散发散,则它在以则它在以a为圆心并且通过点为圆心并且通过点z2的圆周外部发散的圆周外部发散.az1z2现在学习的是第5页，共34页 其敛散性有以下三种情况其敛散性有以下三种情况:(1)对所有的复数对所有的复数z都收敛都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.2.幂级数的敛散性讨论幂级数的敛散性讨论对于一个幂级数对于一个幂级数,首先它在首先它在z=a点处总是收敛的，点处总是收敛的，例如例如,级数级数对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有于是有于是有故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.现在学习的是第6页，共34页(2)除除 z=a 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.例如例如,级数级数通项不趋于零通项不趋于零,故级数发散故级数发散.(3)存在一点存在一点z1a,使级数收敛使级数收敛(此时此时,根据定理根据定理4.10的的第一部分知第一部分知,它必在圆周它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛内部绝对收敛),另另外又存在一点外又存在一点z2,使使现在学习的是第7页，共34页发散发散.(肯定肯定|z2-a|z1-a|);根据推论根据推论4.11知知,它必在圆它必在圆周周|z-a|=|z2-a|外部发散外部发散.)在在这这种种情情况况下下,可可以以证证明明,存存在在一一个个有有限限正正数数R,使使得得级级数数(4.3)在在圆圆周周|z-a|=R内内部部绝绝对对收收敛敛,在在圆圆周周|z-a|=R外外部部发发散散.R称称为为此此幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径;圆圆|z-a|R和和圆圆周周|z-a|=R分分别别称称为为它它的的收收敛敛圆圆和和收收敛敛圆圆周周.在在第第一一情情形形约约定定R=0;在在第第二二情情形形,约约定定R=+,并并也也称称它它们们为为收收敛敛半半径径.现在学习的是第8页，共34页.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以的收敛范围是以a点为中心的圆域点为中心的圆域.收敛圆周收敛圆周现在学习的是第9页，共34页答案答案:幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般不能作出一般的结论的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?现在学习的是第10页，共34页例如例如,级数级数:收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.现在学习的是第11页，共34页 一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种可能可能:(1)处处发散处处发散;(2)既有收敛点既有收敛点,又有发散点又有发散点;(3)处处收敛处处收敛.定理定理4.12 如果幂级数如果幂级数(4.3)的系数的系数cn合于合于或或或或4.2.2幂级数的收敛半径的求法幂级数的收敛半径的求法现在学习的是第12页，共34页则幂级数则幂级数 的收敛半径为的收敛半径为:(4.4)定理定理4.13(1)幂级数幂级数(4.5)的和函数的和函数f(z)在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析内解析.4.2.3 幂级数的和函数的解析性幂级数的和函数的解析性现在学习的是第13页，共34页 (2)在在K内内,幂级数幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶可以逐项求导至任意阶,即：即：(p=1,2,)(4.6)(3)(p=0,1,2,).(4.7)证证 由阿贝尔定理由阿贝尔定理(定理定理4.10),幂级数幂级数现在学习的是第14页，共34页在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内闭一致收内闭一致收敛于敛于f(z),而且各项而且各项 又都在又都在z平平面上解析面上解析.故由维尔斯特拉斯定理故由维尔斯特拉斯定理(定理定理4.9),本定本定理的理的(1)、(2)部分得证部分得证,逐项求逐项求p阶导数阶导数(p=1,2,)后后,即得即得(4.6).在在(4.6)中令中令z=a,得得注意到注意到 即得即得(4.7).现在学习的是第15页，共34页4.2.4、典型例题、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为现在学习的是第16页，共34页级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,现在学习的是第17页，共34页例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)或或解解(1)因为因为现在学习的是第18页，共34页所以收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上,级数级数现在学习的是第19页，共34页说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，(2)现在学习的是第20页，共34页故收敛半径故收敛半径例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解现在学习的是第21页，共34页解解所以所以例例4 求求 的收敛半径的收敛半径.现在学习的是第22页，共34页例例5 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出现在学习的是第23页，共34页级数收敛级数收敛,且其和为且其和为现在学习的是第24页，共34页例例6 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以现在学习的是第25页，共34页例例7 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解现在学习的是第26页，共34页例例8 计算计算解解现在学习的是第27页，共34页五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.现在学习的是第28页，共34页思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?现在学习的是第29页，共34页由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按Esc退出退出.现在学习的是第30页，共34页非凡的数学家阿贝尔阿贝尔（阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学）挪威数学家。家。18021802年年8 8月月5 5日生于芬岛，日生于芬岛，18291829年年4 4月月6 6日卒于日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在亲还是在18151815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，一所中学里读书，1515岁时优秀的数学教师洪堡岁时优秀的数学教师洪堡（Bernt Michael Holmbo 1795-1850Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。学产生了浓厚的兴趣。1616岁时阿贝尔写了一篇解岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（方程的论文。丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Carl Ferdinand Degen 1766-1825Degen 1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的）看过这篇论文后，为阿贝尔的现在学习的是第32页，共34页数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：研究，于是他给阿贝尔回信写到：“.与其着手解决与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功是很好的题目，相信你会取得成功.”.”。于是阿贝尔。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔阿贝尔1818岁时，父亲去世了，这使生活变得更岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。加贫困。18211821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。里斯蒂安尼亚大学。18231823年，他发表了第一篇论文，年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的是关于用积分方程求解古老的“等时线等时线”问题的。问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。的先河。18241824年，他解决了用根式求解五次方程的不年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。是高斯连信都未开封。现在学习的是第33页，共34页1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物纯粹与应用纯粹与应用数学杂志数学杂志。这个杂志头三卷发表了阿贝尔。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一关于一类极广泛的超越函数的一般性质般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：堡的信中，非常自信地说：“.已确定在下个月的科已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅由柯西审阅,恐怕还没有来恐怕还没有来现在学习的是第34页，共34页