复变函数第四章.ppt

复变函数第四章现在学习的是第1页，共68页 1.复数列的收敛与发散复数列的收敛与发散定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明现在学习的是第2页，共68页现在学习的是第3页，共68页2.复数项级数复数项级数级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级数无穷级数定义定义设复数列：设复数列：现在学习的是第4页，共68页例例1解解定理定理2证明证明现在学习的是第5页，共68页A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定理3证明证明现在学习的是第6页，共68页A?定义定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4现在学习的是第7页，共68页解解例例2现在学习的是第8页，共68页例例3解解练习：练习：现在学习的是第9页，共68页3.幂级数幂级数定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和现在学习的是第10页，共68页若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数现在学习的是第11页，共68页同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1(阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）现在学习的是第12页，共68页证明证明现在学习的是第13页，共68页(2)用反证法，用反证法，由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处在复平面上处处收敛。处收敛。(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。现在学习的是第14页，共68页显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故播放播放现在学习的是第15页，共68页现在学习的是第16页，共68页A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.现在学习的是第17页，共68页 定理定理2现在学习的是第18页，共68页 推论推论3(根值法根值法)推论推论1(比值法比值法)现在学习的是第19页，共68页例例1解解 综上综上现在学习的是第20页，共68页例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。现在学习的是第21页，共68页 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，现在学习的是第22页，共68页故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.现在学习的是第23页，共68页5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算现在学习的是第24页，共68页-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3解解代换代换现在学习的是第25页，共68页解解代换代换展开展开还原还原现在学习的是第26页，共68页q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算现在学习的是第27页，共68页1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。2 泰勒级数现在学习的是第28页，共68页定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）现在学习的是第29页，共68页设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,把它记作K,它与它的内部全含于D,又设z为K内任一点.z0Kzrz现在学习的是第30页，共68页按柯西积分公式,有且z0Kzrz现在学习的是第31页，共68页由解析函数高阶导数公式,上式可写成圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则 f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.z0Kzrz现在学习的是第32页，共68页A 现在学习的是第33页，共68页2.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？事实上事实上，设，设f(z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:现在学习的是第34页，共68页由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：现在学习的是第35页，共68页例例1 解解现在学习的是第36页，共68页现在学习的是第37页，共68页A 上述求上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解现在学习的是第38页，共68页(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：现在学习的是第39页，共68页A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为 z1.现在学习的是第40页，共68页定理定理现在学习的是第41页，共68页现在学习的是第42页，共68页 由由22知知,f(z)在在 z0 解析解析，则，则 f(z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z-z0 R 内内展开成展开成 z-z0 的幂级数。的幂级数。若若 f(z)在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z-z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z-z0R2 内解析，内解析，那么，那么，f(z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，3 罗朗罗朗(Laurent)级数级数现在学习的是第43页，共68页由此推想，若由此推想，若f(z)在在R 1z-z0R2 内解析内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即现在学习的是第44页，共68页 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。现在学习的是第45页，共68页1.预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域Dz0R1R2rRk1k2D1z现在学习的是第46页，共68页2.双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分负幂项部分：现在学习的是第47页，共68页级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ，则级数则级数在在 z-z0=R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+;在在z-z0=R 2外发散。外发散。现在学习的是第48页，共68页z0R1R2z0R2R1现在学习的是第49页，共68页A(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z-z0=R1,z-z0=R2上上,现在学习的是第50页，共68页3.函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理现在学习的是第51页，共68页证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I2现在学习的是第52页，共68页现在学习的是第53页，共68页式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2，k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。现在学习的是第54页，共68页A (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（Laurent）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。现在学习的是第55页，共68页4.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，Dz0R1R2c现在学习的是第56页，共68页Dz0R1R2c现在学习的是第57页，共68页A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解现在学习的是第58页，共68页例例2解解例例3解解现在学习的是第59页，共68页例例4xyo12xyo12xyo12现在学习的是第60页，共68页解解:没没有有奇奇点点现在学习的是第61页，共68页现在学习的是第62页，共68页注意首项注意首项现在学习的是第63页，共68页(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把小结：把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数的方法：级数的方法：现在学习的是第64页，共68页解解 (1)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12现在学习的是第65页，共68页(2)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：现在学习的是第66页，共68页A(2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f(z)展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数。级数。现在学习的是第67页，共68页A(3)Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点：Taylor级数先展开求级数先展开求R,找出收敛域。找出收敛域。Laurent级数先求级数先求 f(z)的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。现在学习的是第68页，共68页