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计算方法电子教案第三章第1页，本讲稿共91页 第三章第三章 数值积分与微分数值积分与微分 在科学和工程技术问题中在科学和工程技术问题中,经常要计算一些定积分和微分经常要计算一些定积分和微分,但是由于很多函数只能用表但是由于很多函数只能用表格表示格表示,或者解析式非常复杂或者解析式非常复杂,或原函数不能用初等函数表示或原函数不能用初等函数表示.这样就只能用数值方法求出它们这样就只能用数值方法求出它们满足误差要求的积分和导数的近似值满足误差要求的积分和导数的近似值.本章主要介绍常用的数值积分和数值微分方法本章主要介绍常用的数值积分和数值微分方法.3.1 Newton-Cotes公式公式第2页，本讲稿共91页第3页，本讲稿共91页数值积分问题可分解为下述的三个主要问题数值积分问题可分解为下述的三个主要问题:(1)求积公式的具体构造问题求积公式的具体构造问题;(2)精确性程度的衡量标准问题精确性程度的衡量标准问题;(3)误差估计问题误差估计问题.要解决第一个问题要解决第一个问题,我们必须考虑节点我们必须考虑节点xk和系数和系数Ak的选择而为了的选择而为了解决第二个问题解决第二个问题,将引入代数精度的概念将引入代数精度的概念;第三个问题第三个问题,则主要是借助于插则主要是借助于插值多项式的余项估计公式来解决值多项式的余项估计公式来解决.代数精度代数精度:定义定义3.1:一个求积公式一个求积公式(3.1)若对若对f(x)=1,x,x2,xm精确成立精确成立,而对而对f(x)=xm+1不精确成立不精确成立,则称求积公式则称求积公式(3.1)具有具有m次代数精确度次代数精确度.可以看出可以看出m越大越大,求积公式求积公式(3.1)与原积分与原积分 接近程度也越接近程度也越高高.代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一.第4页，本讲稿共91页例例3.1:确定下面的求积公式确定下面的求积公式,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高第5页，本讲稿共91页本节着重讨论利用拉格朗日插值多项式来构造一种常用的插值型求积公式本节着重讨论利用拉格朗日插值多项式来构造一种常用的插值型求积公式Newton-Cotes求积公式求积公式.3.1.1 梯形公式梯形公式 利用拉格朗日线性插值多项式来构造低阶的数值求积公式利用拉格朗日线性插值多项式来构造低阶的数值求积公式.过过a,b两点两点,得到拉格朗日线性插值多项式得到拉格朗日线性插值多项式 式式(3.2)几何意义如下图几何意义如下图1所示所示,所以我们也把式所以我们也把式(3.2)叫做梯形叫做梯形求积公式求积公式,也可以简称为梯形公式也可以简称为梯形公式.第6页，本讲稿共91页yxab0y=f(x)y=L1(x)图1 梯形公式的代数精度：梯形公式的代数精度：第7页，本讲稿共91页 因此因此,梯形公式的代数精度是梯形公式的代数精度是1次次.表明如果被积函数为线性表明如果被积函数为线性函数函数,那么用梯形公式计算出的积分值是精确的那么用梯形公式计算出的积分值是精确的.第8页，本讲稿共91页3.1.2 Simpson公式公式 对于梯形公式对于梯形公式,我们是采用拉格朗日线性插值多项式来进行构造的我们是采用拉格朗日线性插值多项式来进行构造的.为了减小误差为了减小误差,可以增加求积节点的数量可以增加求积节点的数量,构造更高次的插值多项式来逼构造更高次的插值多项式来逼近被积函数近被积函数f(x).现在我们用拉格朗日二次插值多项式来构造求积公式现在我们用拉格朗日二次插值多项式来构造求积公式.1、求积公式：、求积公式：第9页，本讲稿共91页 式式(3.4)几何意义如图几何意义如图2所示所示,我们把式我们把式(3.4)叫做叫做Simpson求求积公式积公式,也可以简称为也可以简称为Simpson公式或抛物线公式公式或抛物线公式.第10页，本讲稿共91页y=f(x)y=L2(x)0baxy图2 2、Simpson求积公式的代数精度和误差余项求积公式的代数精度和误差余项.第11页，本讲稿共91页表明如果被积函数为三次以下表明如果被积函数为三次以下(包括三次包括三次)多项式函数多项式函数,那么用那么用Simpson公式计算出的积分值是精确的公式计算出的积分值是精确的.误差余项：因为误差余项：因为Simpson公式的代数精度是公式的代数精度是3次次,所以先考虑构所以先考虑构造一个三次插值多项式造一个三次插值多项式P3(x)满足以下条件满足以下条件.第12页，本讲稿共91页第13页，本讲稿共91页第14页，本讲稿共91页3.1.3 Newton-Cotes公式公式 讨论讨论:将区间将区间a,b n等分等分,得到等距节点得到等距节点,用拉格朗日用拉格朗日n次插值多项式来逼近被积函数次插值多项式来逼近被积函数f(x).其得到的对应数值求积公式其得到的对应数值求积公式.第15页，本讲稿共91页第16页，本讲稿共91页 cotes系数的计算：当 n=1时，k=0,1当n=2时，k=0,1,2第17页，本讲稿共91页利用式(3.8)可以求出Cotes系数,下表中列出了部分结果.很显然,当n=1和n=2时,分别就是前面导出的梯形公式和Simpson公式.n12345678第18页，本讲稿共91页第19页，本讲稿共91页 对于n阶Newton-Cotes求积公式，至少具有n次代数精度。可以证明：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度，而当n为偶数时具有n+1次代数精度。讨论：1、Newton-Cotes求积公式的收敛性第20页，本讲稿共91页 很显然，Newton-Cotes求积公式是收敛的。2、稳定性主要研究计算求积公式(3.1)时，当f(xk)有误差 时 ,I(f)的误差是否会增长?第21页，本讲稿共91页第22页，本讲稿共91页第23页，本讲稿共91页 由此当由此当n77时，时，Newton-CotesNewton-Cotes求积公式数值稳定，因此一般情求积公式数值稳定，因此一般情况下况下n8n8的的Newton-CotesNewton-Cotes求积公式不采用。求积公式不采用。为方便使用Newton-Cotes公式,将36阶Newten-Cotes积分公式归纳如下:第24页，本讲稿共91页第25页，本讲稿共91页第26页，本讲稿共91页第27页，本讲稿共91页3.2 复化积分公式复化积分公式3.2.1 复化梯形公式复化梯形公式第28页，本讲稿共91页第29页，本讲稿共91页3.2.2 复化Simpson公式第30页，本讲稿共91页例3.4 用n=8的复化梯形公式及n=4的复化Simpson公式,计算积分第31页，本讲稿共91页解:只要将区间0,1分为8等分,用复化梯形公式时n=8,h=0.125,对复合Simpson公式取n=4,h=0.25.计算各分点xk的函数值f(xk).由公式(3.11)及式(3.13)得下表:kxkf(xk)kxkf(xk)001.000000050.6250.936155610.1250.997397860.750.908851620.250.989615870.8250.877192530.3750.9767267810.841470940.50.9588510 由式(3.11)及式(3.13)得第32页，本讲稿共91页第33页，本讲稿共91页第34页，本讲稿共91页例3.5 若用复化梯形公式求 的近似值,问要将积分区间0,1分成多少份才能保证计算结果有4位有效数字?若用复化Simpson求积公式呢?解:(1)用复化梯形求积公式 即若用复化梯形公式求I(f)的近似值,需将0,141等分才能保证计算结果有4位有效数字.第35页，本讲稿共91页(2)用复化Simpson 求积公式3.2.3 逐次分半梯形积分公式与龙贝格积分公式逐次分半梯形积分公式与龙贝格积分公式 一、逐次分半梯形积分公式一、逐次分半梯形积分公式 1、基本步骤基本步骤:第36页，本讲稿共91页第37页，本讲稿共91页第38页，本讲稿共91页第39页，本讲稿共91页第40页，本讲稿共91页第41页，本讲稿共91页第42页，本讲稿共91页第43页，本讲稿共91页 例3.6 用变步长的复合Simpson公式计算定积分 解：利用例3.4给出的结果，先取h=b-a=1,则：将步长折半，h=0.5,则第44页，本讲稿共91页 再将步长折半，h=0.25,由例3.4可得。第45页，本讲稿共91页二、RombergRomberg算法 Romberg算法是利用复合梯形公式，在对积分区间的步长逐次折半的过程中，求得积分 的近似值序列 （其中k表示对求积区间a,b的对分次数,k=0,1,2,),并且利用误差补偿的方法，逐步将 加工(递推)成具有高精度的积分近似值。第46页，本讲稿共91页由3.16式第47页，本讲稿共91页第48页，本讲稿共91页T数表kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)0123T0(0)T0(1)T0(2)T0(3)T1(0)T1(1)T1(2)T2(0)T2(1)T3(0)梯形公式辛普生公式Cotes公式龙贝格公式第49页，本讲稿共91页第50页，本讲稿共91页kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)00.920 735 4910.939 793 280.946 145 8820.944 513 520.946 086 930.946 083 0030.945 690 860.946 083 310.946 083 070.946 083 07第51页，本讲稿共91页第52页，本讲稿共91页3.3 Gauss型求积公式型求积公式 一一.问题问题：在节点数目固定为在节点数目固定为n+1的条件下的条件下,能否恰当地选择节点能否恰当地选择节点位置和相应的系数位置和相应的系数,使求积公式使求积公式具有最大的代数精度.首先分析一下对于n+1个节点,求积公式(3.1)可以达到的最大代数精度是多少?设上述求积公式对所有m(m待定)次多项式是准确的,于是有第53页，本讲稿共91页 由于由于a0,a1,am的任意性的任意性,(3.35)式成立的充分必要条件是式成立的充分必要条件是第54页，本讲稿共91页 在方程组(3.36)中有2n+2个待定常数,所以m最大为2n+1,即对于n+1个节点的求积公式,可能达到最大代数精度为2n+1.并且可以证明方程组(3.36)当m=2n+1时是可解的,也就是说,确实可以找到一组xk和Ak使求积公式(3.33)达到2n+1次代数精度.下面的问题是如何选取这些节点xk、Ak.第55页，本讲稿共91页第56页，本讲稿共91页第57页，本讲稿共91页第58页，本讲稿共91页第59页，本讲稿共91页第60页，本讲稿共91页第61页，本讲稿共91页第62页，本讲稿共91页定理定理3.2 Gauss型求积公式的系数型求积公式的系数Ak0(k=0,1,n).证明证明:由于由于Gauss型求积公式对任何不大于型求积公式对任何不大于(2n+1)次的多项式精确成立次的多项式精确成立,若若取取3.3.1 Gauss-Legendre求积公式求积公式 第63页，本讲稿共91页第64页，本讲稿共91页nxkAknxkAk00250.93246951420.66120938650.23861918610.1713244924036076157300467913934610.5773502692120.774596669200.55555555560.888888888960.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183730.86113631160.33998104360.34785484510.652145154970.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783440.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889表3.2第65页，本讲稿共91页第66页，本讲稿共91页第67页，本讲稿共91页Gauss-Legendre求积公式,必须用变量替换方法把区间a,b变换到-1,1.替换过程如下.令第68页，本讲稿共91页第69页，本讲稿共91页3.3.2 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式第70页，本讲稿共91页第71页，本讲稿共91页第72页，本讲稿共91页第73页，本讲稿共91页第74页，本讲稿共91页第75页，本讲稿共91页第76页，本讲稿共91页第77页，本讲稿共91页3.4 数值微分数值微分 一个函数是初等函数一个函数是初等函数,我们可以用求导法则来求得其导函数或在某我们可以用求导法则来求得其导函数或在某点的导数值点的导数值.但是如果我们只知道一个函数在若干已知离散点上的函数值但是如果我们只知道一个函数在若干已知离散点上的函数值则我们就必须利用数值方法来求解函数的导数则我们就必须利用数值方法来求解函数的导数,这就需要数值微分方法这就需要数值微分方法.3.4.1 数值微分中最简单的方法数值微分中最简单的方法,也是最基本的方法也是最基本的方法,就是利用差就是利用差商替代导数商替代导数.在微积分中在微积分中,导数使用极限来定义的导数使用极限来定义的,如如:第78页，本讲稿共91页 式(3.42)(3.44)也分别称为向前差商数值微分公式、向后差商数值微分公式和中心差商数值微分公式.对于这三个数值微分公式的误差,我们可以利用泰勒展开式求得:(1)向前差商数值微分公式,由Taylor展开式第79页，本讲稿共91页第80页，本讲稿共91页 从上述推导过程可以看出，向前差商数值微分公式和向后差商数值微分公式的精度都是O(h)，而中心差商数值微分公式的精度是O(h2)。例3.14 用下表中数据：x0.010.020.030.04f(x)0.01210.01240.01290.0136第81页，本讲稿共91页第82页，本讲稿共91页3.4.2 用用Taylor展开式求数值微分公式展开式求数值微分公式第83页，本讲稿共91页第84页，本讲稿共91页(3.46)式是精度为O(h4)的中心差商数值微分公式.第85页，本讲稿共91页第86页，本讲稿共91页3.4.3 用插值多项式求微商用插值多项式求微商第87页，本讲稿共91页第88页，本讲稿共91页第89页，本讲稿共91页第90页，本讲稿共91页 从上面这些数值微分公式及其预想的分析来看，似乎h越小精度越高，但在实际计算中并不完全如此。因为在实际计算中，截断误差只是误差的一个部分，此外还有舍入误差，而数值微分恰好对舍入误差非常敏感，它随h的缩小而增大，造成计算的不稳定性，所以在计算数值微分时，要特别注意误差分析，h不能取得过小。第91页，本讲稿共91页