图像正交变换精选PPT.ppt

关于图像正交变换第1页，讲稿共78张，创作于星期日变换问题的引入 频率域 幅值与频率 空间域 灰度第2页，讲稿共78张，创作于星期日什么是图像变换将图像看成是线性叠加系统图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换q常用的变换：傅立叶变换、沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦变换、离散K-L变换、小波变换第3页，讲稿共78张，创作于星期日11.1 傅立叶变换 傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第4页，讲稿共78张，创作于星期日 傅立叶变换的定义若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：第5页，讲稿共78张，创作于星期日 函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。第6页，讲稿共78张，创作于星期日傅里叶变换的条件傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积;第7页，讲稿共78张，创作于星期日F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。第8页，讲稿共78张，创作于星期日称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第9页，讲稿共78张，创作于星期日傅立叶变换在图像滤波中的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。第10页，讲稿共78张，创作于星期日 傅立叶变换在卷积中的应用 直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。第11页，讲稿共78张，创作于星期日离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的定义 要要在在数数字字图图像像处处理理中中应应用用傅傅立立叶叶变变换换，还还需需要要解解决决两两个个问问题题：一一是是在在数数学学中中进进行行傅傅立立叶叶变变换换的的f f(x x)为为连连续续（模模拟拟）信信号号，而而计计算算机机处处理理的的是是数数字字信信号号（图图像像数数据据）；二二是是数数学学上上采采用用无无穷穷大大概概念念，而而计计算算机机只只能能进进行行有有限限次次计计算算。通通常常，将将受受这这种种限限制制的的傅傅立立叶叶变变换换称称为离散傅立叶变换（为离散傅立叶变换（Discrete Fourier TransformDiscrete Fourier Transform，DFT)DFT)。第12页，讲稿共78张，创作于星期日离散傅立叶正变换离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换离散傅立叶逆变换:第13页，讲稿共78张，创作于星期日二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换二维傅立叶逆变换:第14页，讲稿共78张，创作于星期日第15页，讲稿共78张，创作于星期日2.二维离散函数傅立叶变换的定义 根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有换理论，对于一个具有MNMN个样本值的二维离散序列个样本值的二维离散序列f(xf(x，y)y)，（，（x=0,1,2,3,x=0,1,2,3,M-1,M-1；y=0,1,2,3,y=0,1,2,3,N-1,N-1）其傅立）其傅立叶变换为：叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换第16页，讲稿共78张，创作于星期日(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,M-1；v=0,1,2,3,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：第17页，讲稿共78张，创作于星期日 x、y和u、v，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔 两者之间满足如下关系：第18页，讲稿共78张，创作于星期日 式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：第19页，讲稿共78张，创作于星期日(1)(1)线性特性线性特性 二维离散傅立叶变换的性质(2)(2)比例性质比例性质 =第20页，讲稿共78张，创作于星期日(3)(3)平移性质平移性质 二维傅立叶变换的移位特性表明，当用 乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第21页，讲稿共78张，创作于星期日先对行做变换：然后对列进行变换f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)(4)可分离性可分离性 第22页，讲稿共78张，创作于星期日 二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换 在此基础上对x进行一维傅立叶变换第23页，讲稿共78张，创作于星期日 若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应 逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换 第24页，讲稿共78张，创作于星期日(5)(5)周期性周期性 如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：第25页，讲稿共78张，创作于星期日(6)(6)共轭对称性共轭对称性 第26页，讲稿共78张，创作于星期日半周期的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱第27页，讲稿共78张，创作于星期日 做代换有：如果 被旋转 ,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：(7)(7)旋转不变性旋转不变性 第28页，讲稿共78张，创作于星期日(8)(8)微分性质微分性质 第29页，讲稿共78张，创作于星期日(9)(9)平均值性质平均值性质 平均值定义如下平均值定义如下 平均值性质如下：平均值性质如下：即：即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。第30页，讲稿共78张，创作于星期日(1010)卷积定理：卷积定理：f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)第31页，讲稿共78张，创作于星期日二维傅立叶变换二维傅立叶变换(幅值及相位幅值及相位)意义意义 第32页，讲稿共78张，创作于星期日n左边一列左边一列:上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;n中间一列中间一列:上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);n右边一列右边一列:上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明图像的说明 第33页，讲稿共78张，创作于星期日第34页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier 变换示意图第35页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier变换的频率特性 返回第36页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier变换的低通滤波返回第37页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier变换的高通滤波返回第38页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier变换的压缩原理另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1第39页，讲稿共78张，创作于星期日Fourier变换的压缩原理 返回压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1第40页，讲稿共78张，创作于星期日快速傅里叶变换问题的提出：离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。然而，它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上却限制了它的使用范围。第41页，讲稿共78张，创作于星期日 二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。改写公式：变换的快速算法即可。改写公式：式中，式中，W W=e=e-j2-j2N N ，称为旋转因子。，称为旋转因子。W=e e-j2-j2N N=cos(22N N)-j )-j sin(22N N)()(以以N N为周期为周期)式中很多式中很多W Wuxux系数相同，不必进行多次重复计算。系数相同，不必进行多次重复计算。第42页，讲稿共78张，创作于星期日 FFT FFT的推导过程：的推导过程：设设N N为为2 2的正整数次幂，的正整数次幂，即即 令令M M=N/2,=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：离散傅立叶变换可改写成如下形式：偶离散点偶离散点奇离散点奇离散点第43页，讲稿共78张，创作于星期日 定义定义 第44页，讲稿共78张，创作于星期日于是于是 将将一一个个N N点点的的离离散散傅傅立立叶叶变变换换分分解解成成两两个个N N2 2短短序序列列的的离离散散傅傅立立叶叶变变换换，即即分分解解为为偶偶数数和和奇奇数数序序列列的的离离散散傅傅立立叶叶变变换换F Fe e(u u)和和F Fo o(u u)。设设N=2N=23 37.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第45页，讲稿共78张，创作于星期日7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第46页，讲稿共78张，创作于星期日蝶形运算单元蝶形运算单元 7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第47页，讲稿共78张，创作于星期日Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W18W28W38WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第48页，讲稿共78张，创作于星期日 F Fe e(u u)和和F Fo o(u u)都是都是4 4点的点的DFTDFT，对它们再按照奇偶进行，对它们再按照奇偶进行分组分组Fee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第49页，讲稿共78张，创作于星期日8点点DFT的蝶形流程图的蝶形流程图 第50页，讲稿共78张，创作于星期日例：例：0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 8Fe(0)Fo(1)04W14WFe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W04W04W04W04Wf(0)f(2)f(1)f(3)第51页，讲稿共78张，创作于星期日0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 80012003-13i-3-i i-i 1 1 17.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第52页，讲稿共78张，创作于星期日0034007-17i-7-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 87.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第53页，讲稿共78张，创作于星期日00560011-111i-11-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i0 7 0 87.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第54页，讲稿共78张，创作于星期日00780015-115i-15-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11-i0 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i15 i -15 -i7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第55页，讲稿共78张，创作于星期日31171514-822-836-8+8i-8-8-8i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i15 i -15 -i36 i -3 -i-8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第56页，讲稿共78张，创作于星期日iiii2i02i04i000 i-i 1 1 136 i -3 -i-8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i36 4i -3 -i-8+8i 0 -7 -i-8 0-11 -i-8-8i 0-15 -i7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第57页，讲稿共78张，创作于星期日-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8i i-i 1 1 136 4i -3 -i-8+8i 0 -7 -i-8 0-11 -i-8-8i 0-15 -i36 4i -36 -i-8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-8i 0 8+8i -i7.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第58页，讲稿共78张，创作于星期日-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000 i-i 1 1 136 4i -36 -i-8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-8i 0 8+8i -i36 4i -36 -4i-8+8i 0 8-8i 0-8 0 8 0-8-8i 0 8+8i 07.2.2 7.2.2 快速离散傅立叶变换快速离散傅立叶变换第59页，讲稿共78张，创作于星期日 MATLAB使用函数fft、fft2和fftn分别可以实现一维、二维和N维FFT算法；而函数ifft、ifft2和ifftn则用来计算反FFT算法。调用格式如下：Afft(X,N,DIM)其中，X表示输入图像；N表示采样间隔点，如果X小于该数值，那么MATLAB将会对X进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N；DIM表示要进行离散傅立叶变换。第60页，讲稿共78张，创作于星期日Afft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定对X进行零填充后的X大小。Afftn(X,SIZE)其中，SIZE是一个向量，它们每一个元素都将指定X相应维进行零填充后的长度。A=fftshift(X)可以用于调整fft、fft2和fftn的输出结果，对于一维fft，将左右元素互换，对于二维fft，进行对角元素的互换，对于n维fft，将各维的两半进行互换。函数ifft、ifft2和ifftn的调用格式与对应的离散傅立叶快速变换函数一致。第61页，讲稿共78张，创作于星期日d=zeros(32,32);%图象大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方块大小为8*8subplot(221);imshow(d,notruesize);title(原始图像)D=fft2(d);%计算图象d的傅立叶变换subplot(222);%显示图象d的傅立叶变换谱imshow(abs(D),-1 5,notruesize);title(傅立叶变换谱)subplot(223);%显示图象d的傅立叶变换对数谱imshow(log(abs(D),-1 5,notruesize);title(傅立叶变换对数谱)subplot(224);DF=fftshift(D);%显示图象d的傅立叶变换中心谱imshow(log(abs(DF),-1 5,notruesize);title(傅立叶变换中心谱)第62页，讲稿共78张，创作于星期日第63页，讲稿共78张，创作于星期日程序生成一个矩形函数，区域内像素值为1，区域外为0。然后对矩形做二维傅立叶变换，由于图像的傅立叶变换矩阵元素一般是复数，不能直接显示，需要调用abs函数对变换后的结果求模，图中下面两幅图分别是傅立叶变换的对数谱和中心谱。第64页，讲稿共78张，创作于星期日11.2 离散余弦变换（DCT）Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。第65页，讲稿共78张，创作于星期日n一维离散余弦变换一维离散余弦反变换第66页，讲稿共78张，创作于星期日n二维离散余弦变换二维离散反余弦变换第67页，讲稿共78张，创作于星期日如果令如果令N=4，由一维解析式定义可得如下展开式：由一维解析式定义可得如下展开式：写成矩阵形式：写成矩阵形式：F(u)=Af(x)第68页，讲稿共78张，创作于星期日同理，可得到反同理，可得到反变换展开形式：变换展开形式：写成矩阵形式：写成矩阵形式：f(x)=ATF(u)二维离散余弦变换为：二维离散余弦变换为：F(u,v)=Af(x,y)ATf(x,y)=ATF(u,v)AT第69页，讲稿共78张，创作于星期日离散余弦变换的计算离散余弦变换的计算与傅立叶变换一样，离散余弦变换可以由定义出发进行计与傅立叶变换一样，离散余弦变换可以由定义出发进行计算，但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便，寻找算，但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便，寻找快速算法快速算法首先，从定义出发，作如下推导首先，从定义出发，作如下推导取实部的取实部的意思意思如果把时域数据向量作系列延拓，即如果把时域数据向量作系列延拓，即第70页，讲稿共78张，创作于星期日则则fe(x)的离散余弦变换可写成为：的离散余弦变换可写成为：则则是是2N点的离散傅立叶变换，所以在作余弦变换时，点的离散傅立叶变换，所以在作余弦变换时，可以把序列长度延拓为可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅立叶变换，然后作离散傅立叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换产生的结果取其实部便可得到余弦变换第71页，讲稿共78张，创作于星期日同理，在反变换时，首先在变换空间，把同理，在反变换时，首先在变换空间，把F(u)作如下延拓：作如下延拓：反变换表示为：反变换表示为：可见，离散余弦反变换可以从可见，离散余弦反变换可以从的的2N点反傅立叶变换实现点反傅立叶变换实现第72页，讲稿共78张，创作于星期日DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。第73页，讲稿共78张，创作于星期日MATLAB提供了dct2、idct2和dctmtx等函数进行图像的DCT变换，其调用格式如下：（1）dct2函数实现二维DCT变换B=dct2(A,m,n)其中B为返回DCT变换系数，m,n为变换系数矩阵行列数。在对A进行二维DCT变换之前，首先对A补0或剪裁至mn。方法适用于较大输入的快速算法。第74页，讲稿共78张，创作于星期日（2）idct2函数实现二维DCT反变换B=idct2(A,m,n)其中调用格式与dct2函数相同。（3）dctmtx函数用于计算DCT变换矩阵Ddctmtx(n)其中D为返回的DCT变换矩阵，输出矩阵D为double类型。方法对于一些小的方阵输入更有效。第75页，讲稿共78张，创作于星期日RGB=imread(autumn.tif);%读取图像I=rgb2gray(RGB);%转化为灰度图像J=dct2(I);%离散余弦变换figure,imshow(log(abs(J),),%显示离散余弦变换的系数 title(离散余弦变换系数)colormap(jet(64),colorbarJ(abs(J)10)=0;%置小系数为0K=idct2(J);%离散余弦逆变换figure,subplot(121),imshow(I);title(原始图像)subplot(122),imshow(K,0 255);title(DCT变换图像)第76页，讲稿共78张，创作于星期日第77页，讲稿共78张，创作于星期日感谢大家观看第78页，讲稿共78张，创作于星期日