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第二章膨胀波第1页，本讲稿共34页2.1 微扰动的传播 当弹丸在空气中以超音速飞行或者超音速气流围绕固定当弹丸在空气中以超音速飞行或者超音速气流围绕固定的弹丸时，如图所示，自弹丸头部以及其他部位发出的暗的弹丸时，如图所示，自弹丸头部以及其他部位发出的暗线，都是扰动传播的结果。显然，这种扰动是由于气流在线，都是扰动传播的结果。显然，这种扰动是由于气流在弹体表面发生折转而形成的，扰动在超音速气流中传播开弹体表面发生折转而形成的，扰动在超音速气流中传播开来就形成了这些暗线。随着弹丸运动或者气流流过弹丸，来就形成了这些暗线。随着弹丸运动或者气流流过弹丸，弹丸表面各点不断发出扰动，我们把这种连续发出扰动的弹丸表面各点不断发出扰动，我们把这种连续发出扰动的点叫扰动源，将连续地发出微扰动的点叫微扰动源。点叫扰动源，将连续地发出微扰动的点叫微扰动源。现在考虑在静止均匀的现在考虑在静止均匀的气体中以速度气体中以速度V运动的微扰运动的微扰动源，其微扰动的传播速动源，其微扰动的传播速度为度为a，在某一瞬时，在某一瞬时t扰动的扰动的传播情况分以下四种：传播情况分以下四种：第2页，本讲稿共34页2.1 微扰动的传播一、点扰动源的速度为零一、点扰动源的速度为零 扰动以扰动以o o点为球心往四面八方传播，点为球心往四面八方传播，如果扰动源以每隔一秒发出一个扰动，如果扰动源以每隔一秒发出一个扰动，那么在那么在t t秒末就有秒末就有t t个同心的扰动球面。个同心的扰动球面。当时间足够长时，扰动就会遍及于全流当时间足够长时，扰动就会遍及于全流场，如图场，如图(a)(a)所示。所示。二、点扰动源的速度为亚音速二、点扰动源的速度为亚音速 在在t t瞬时，扰动源运动到瞬时，扰动源运动到o o点，要找在点，要找在该瞬时扰动的传播情况。就是要找该瞬时扰动的传播情况。就是要找t t以前以前扰动源所发出的扰动到扰动源所发出的扰动到t t时传播的情况。时传播的情况。当当VaVa,2V2a Va,2V2a 所有的扰动球所有的扰动球面均与一圆锥面相切。此圆柱面均与一圆锥面相切。此圆柱面以面以o o点为顶点，以点为顶点，以V V为轴，包为轴，包围扰动源所经过的区域围扰动源所经过的区域(如图如图d)d)。由此可见，当由此可见，当VaVa时，时，扰动连续布满圆锥形空间。扰动连续布满圆锥形空间。第5页，本讲稿共34页求圆锥的母线与其轴的夹角求圆锥的母线与其轴的夹角，即圆锥的半顶角。，即圆锥的半顶角。由图看出由图看出2.1 微扰动的传播OAOA为扰动空间和未扰动空间的分界面，叫微扰动波（马赫波），为扰动空间和未扰动空间的分界面，叫微扰动波（马赫波），叫微扰动角（马赫角），也就是速度叫微扰动角（马赫角），也就是速度V V与微扰动波的夹角。与微扰动波的夹角。总结：总结：(1)(1)当当VaVa时才出现马赫角；当时才出现马赫角；当V=aV=a时时=/2=/2；当；当 Va Va时，时，。(2)(2)微弱扰动传播的区域：微弱扰动传播的区域：M1 M1时，微弱扰动可传播到整个区域；时，微弱扰动可传播到整个区域；M1 M1时，微弱扰动可传播到马赫锥以内的区时，微弱扰动可传播到马赫锥以内的区 域，马赫波和马赫锥只在超音速流场中存在。域，马赫波和马赫锥只在超音速流场中存在。第6页，本讲稿共34页 2.2 膨胀波的形成及其特点一、膨胀波的形成一、膨胀波的形成 设有流速为设有流速为M M的定常直匀超音速气流沿直壁的定常直匀超音速气流沿直壁AOBAOB由左向流来，如图由左向流来，如图所示，略去壁面的摩擦作用，直壁所示，略去壁面的摩擦作用，直壁AOBAOB和气流完全平行，它对气流是和气流完全平行，它对气流是不产生任何扰动的。现假定在壁面的不产生任何扰动的。现假定在壁面的o o点有一微小毛疵，这毛疵会对点有一微小毛疵，这毛疵会对流场产生一个极微弱的扰动，扰动的传播线是马赫线流场产生一个极微弱的扰动，扰动的传播线是马赫线OLOL，OLOL和壁面和壁面之间的夹角是对应于之间的夹角是对应于M M的马赫角的马赫角。第7页，本讲稿共34页2.2 膨胀波的形成及其特点 现在若壁面在现在若壁面在O O点不是一小毛疵，而是一微小外凸角点不是一小毛疵，而是一微小外凸角dd角。角。此时沿壁面流动的气流也就随着向外折转一个此时沿壁面流动的气流也就随着向外折转一个dd角，继续沿壁面角，继续沿壁面流动，折转点流动，折转点O O为扰动源，气流经为扰动源，气流经O O点产生一道微弱扰动波点产生一道微弱扰动波OLOL，弱扰动波与波前气流的夹角也为弱扰动波与波前气流的夹角也为，并且，并且 。第8页，本讲稿共34页2.2 膨胀波的形成及其特点 这说明超音速气流受外凸扰动时，流管截面积是增这说明超音速气流受外凸扰动时，流管截面积是增大的，此时气流速度必然要加速，同时压强、温度、大的，此时气流速度必然要加速，同时压强、温度、密度等参数相应地降低。因此，超音速气流流经由微密度等参数相应地降低。因此，超音速气流流经由微小外折角所引起的微弱扰动波是膨胀波。小外折角所引起的微弱扰动波是膨胀波。其中其中d d气流折转角，逆时针旋转为正，顺时针气流折转角，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。在图所示的情况下，旋转为负。在图所示的情况下，d d0,0dA0。气流向外折转时其截面面积要发生变化，变化量气流向外折转时其截面面积要发生变化，变化量dAdA为为第9页，本讲稿共34页2.2 膨胀波的形成及其特点 设想超音速气流在设想超音速气流在O O点外折了一个微小角度点外折了一个微小角度d d后，在后，在O O1 1、O O2 2等一系列点，继续外折一系列微小的角度等一系列点，继续外折一系列微小的角度d d1 1、d d2 2。在。在壁面的每一个折转处，都产生一道膨胀波壁面的每一个折转处，都产生一道膨胀波O O1 1L L1 1、O O2 2L L2 2，个，个膨胀波与波前气流方向的夹角为膨胀波与波前气流方向的夹角为1 12 2 ，因气流每经过一，因气流每经过一道膨胀波，道膨胀波，M M数都有所增加，那么数都有所增加，那么则逐渐减小，膨胀波沿流则逐渐减小，膨胀波沿流线越来越倾斜，是发散形的。线越来越倾斜，是发散形的。根据极限的概念，曲线可以看成是由无数段微元折线所根据极限的概念，曲线可以看成是由无数段微元折线所组成的。因此，超音速气流绕外凸曲壁流动的问题与上述问组成的。因此，超音速气流绕外凸曲壁流动的问题与上述问题的本质是相同的。曲壁上每一点都相当于一个折点，都有题的本质是相同的。曲壁上每一点都相当于一个折点，都有一道膨胀波，气流每经过一条膨胀波就折转一个微小的角度一道膨胀波，气流每经过一条膨胀波就折转一个微小的角度d d，参数就发生一个微小的变化。经过无限多个微小量的变化后，参数就发生一个微小的变化。经过无限多个微小量的变化后，参数将累积发生一个有限值的变化，并折转一个有限的角度参数将累积发生一个有限值的变化，并折转一个有限的角度。第10页，本讲稿共34页1.1.定常直匀超音速气流绕外凸壁流动时，在壁面折转处必定产生一定常直匀超音速气流绕外凸壁流动时，在壁面折转处必定产生一扇形膨胀波系，此扇形膨胀波系是由无限多的马赫波所组成。扇形膨胀波系，此扇形膨胀波系是由无限多的马赫波所组成。2.2.气流经过膨胀波系时气流参数是连续的变化气流经过膨胀波系时气流参数是连续的变化(速度增大，压强、速度增大，压强、温度、密度相应减小温度、密度相应减小)。3.3.气流穿过膨胀波系的流动过程是等熵的膨胀过程。气流穿气流穿过膨胀波系的流动过程是等熵的膨胀过程。气流穿过膨胀波系后，将平行于壁面流动，即气流方向朝着离开过膨胀波系后，将平行于壁面流动，即气流方向朝着离开波面的方向转折。波面的方向转折。4.4.沿着膨胀波系中的任意一条马赫波，所有的气流参数相同，沿着膨胀波系中的任意一条马赫波，所有的气流参数相同，而且马赫波都是直线。而且马赫波都是直线。5.5.对于给定的起始条件，膨胀波系中的任意一点的速度大小对于给定的起始条件，膨胀波系中的任意一点的速度大小只与该点的气流方向有关或转折角的大小有关。只与该点的气流方向有关或转折角的大小有关。二、超音速气流绕外凸壁流动的特点二、超音速气流绕外凸壁流动的特点2.2 膨胀波的形成及其特点第11页，本讲稿共34页2.3 膨胀波计算公式（一）膨胀波前后气流速度变化与折转角的相互关系（一）膨胀波前后气流速度变化与折转角的相互关系 设超音速气流以速度设超音速气流以速度V V流过一具有微小外凸角流过一具有微小外凸角d d的外凸壁，的外凸壁，在折转处产生与波前气流方向在折转处产生与波前气流方向V V成成角的膨胀波角的膨胀波(如图如图)。在波。在波上取一控制区上取一控制区“aa“aa1 1bbbb1 1”，aaaa1 1和和bbbb1 1与波面平行且无限接近，而与波面平行且无限接近，而abab1 1和和a a1 1b b与波面垂直。波前气流参数为与波面垂直。波前气流参数为M M、V V、p p、T T，气流经过此，气流经过此波后折转了波后折转了dd角。波后气流参数为角。波后气流参数为M M1 1=M+dM=M+dM，V V1 1=V+dV=V+dV，p p1 1=p+dp=p+dp，1 1=+d=+d，T T1 1=T+dT=T+dT。为了分析方便将速度为了分析方便将速度V V、V V1 1分解成平行分解成平行OLOL被面的被面的V Vt t、V V1t1t与与垂直于垂直于OLOL波面的波面的V Vn n、V V1n1n。设。设m m表表示单位时间内通过示单位时间内通过OLOL波面的单波面的单位面积的质量。位面积的质量。一、超音速气流小角向外折转（一、超音速气流小角向外折转（）第12页，本讲稿共34页根据连续方程根据连续方程展开并略去二阶小量，得展开并略去二阶小量，得或或作用在控制面上的力在法向的分力为作用在控制面上的力在法向的分力为根据动量方程有根据动量方程有(a)2.3 膨胀波计算公式第13页，本讲稿共34页将将 代入上式，得代入上式，得将将(a)(a)代入上式得代入上式得(b)由于由于 ，故有，故有说明膨胀波前气流法向分速必等于当地音速。说明膨胀波前气流法向分速必等于当地音速。2.3 膨胀波计算公式第14页，本讲稿共34页 由于在平行波面方向上没有压强变化，因此作用在控制由于在平行波面方向上没有压强变化，因此作用在控制区表面上的合力在该方向的分量为零。根据动量方程区表面上的合力在该方向的分量为零。根据动量方程即即上式说明气流经过膨胀波时，在平行于波面方向上的分速上式说明气流经过膨胀波时，在平行于波面方向上的分速V Vt t保持不变。保持不变。可见可见式中式中d d000）与壁面）与壁面OBOB相平行，相平行，气流参数也发生一个气流参数也发生一个微小的变化。从图上所示流管截面积的变化可以看出，通微小的变化。从图上所示流管截面积的变化可以看出，通过过波波OLOL时，流管截面积是减小的时，流管截面积是减小的。即。即 这说明超音速气流受内凹扰动时，这说明超音速气流受内凹扰动时，流管截面积变小，此时压强、温度、密流管截面积变小，此时压强、温度、密度等参数将相应地增大。这种微弱扰动度等参数将相应地增大。这种微弱扰动波就是微弱压缩波。波就是微弱压缩波。第26页，本讲稿共34页2.4 微弱压缩波 但是超音速气流大角向外折转的处理方法对大角向内折转是不但是超音速气流大角向外折转的处理方法对大角向内折转是不适用的。这是因为气流经压缩波是减速的，适用的。这是因为气流经压缩波是减速的，这样，每经过一道压缩波，气流已向内折转了一个角度，再加上这样，每经过一道压缩波，气流已向内折转了一个角度，再加上角又是逐渐加大的，各压缩波将会相交聚集而成强压缩波角又是逐渐加大的，各压缩波将会相交聚集而成强压缩波(即即激波激波)。有关激波的理论将在下一章详细研究。有关激波的理论将在下一章详细研究。关于微弱压缩波后气流参数的计算，如果是左伸微弱关于微弱压缩波后气流参数的计算，如果是左伸微弱压缩波仍用式：压缩波仍用式：如果是右伸微弱压缩波仍用式如果是右伸微弱压缩波仍用式第27页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交 上面讨论的都是在流场中只存在单波系上面讨论的都是在流场中只存在单波系(左伸波系或右左伸波系或右伸波系伸波系)的流动情况。但实际情况是，往往同时存在着左的流动情况。但实际情况是，往往同时存在着左伸和右伸波系的问题。例如：膨胀波伸和右伸波系的问题。例如：膨胀波(或微弱压缩波或微弱压缩波)在固在固壁面或自由边界面上的反射、两族膨胀波壁面或自由边界面上的反射、两族膨胀波(或微弱压缩波或微弱压缩波)的相交等问题。的相交等问题。为了简化对问题的讨论，把每个微小角度的折转所引起的膨为了简化对问题的讨论，把每个微小角度的折转所引起的膨胀波系用一条膨胀波来替代。这条膨胀波的方向由波前气流方向胀波系用一条膨胀波来替代。这条膨胀波的方向由波前气流方向和波前马赫角来决定和波前马赫角来决定(当然也可以较为准确地用波前后平均气流方当然也可以较为准确地用波前后平均气流方向和波前后平均马赫角来决定向和波前后平均马赫角来决定)，见图（，见图（a a）。如果）。如果角较大，则角较大，则实际存在的扇形膨胀区较大，再用一条波替代就欠准确，实际存在的扇形膨胀区较大，再用一条波替代就欠准确，此时可把此时可把角分成几等分，由几条膨胀波来替代，见图（角分成几等分，由几条膨胀波来替代，见图（b b）。）。第28页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交 在每条膨胀波之间的狭小扇形区域中气流参数认为是均在每条膨胀波之间的狭小扇形区域中气流参数认为是均匀的，即气流参数的变化仅在膨胀波上发生。换句话说，每匀的，即气流参数的变化仅在膨胀波上发生。换句话说，每条膨胀波对应着一个气流折转角，在相邻两条膨胀波之间的条膨胀波对应着一个气流折转角，在相邻两条膨胀波之间的区域中，气流的普朗特区域中，气流的普朗特-迈耶角保持不变。迈耶角保持不变。第29页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交一、膨胀波的相交 如图所示，气流在两壁面上的如图所示，气流在两壁面上的A A及及AA处分别外折处分别外折l l 及及u u。此时在。此时在折点折点A A和和AA 分别产生一条膨胀波，分别产生一条膨胀波，相交于相交于B B点。点。I I区的气流经波区的气流经波ABAB和和ABAB进入进入、区，区，方向分别与方向分别与A A、AA后的上下壁面平行。如果继续保持这个方向流后的上下壁面平行。如果继续保持这个方向流下去的话，则将在交点下去的话，则将在交点B B以后会形成一个楔形真空区。但这是不可以后会形成一个楔形真空区。但这是不可能的，气流将自行在此膨胀而布满此空间。因此，在能的，气流将自行在此膨胀而布满此空间。因此，在B B点也产生两点也产生两道膨胀波道膨胀波BCBC和和BCBC，而且在波后，而且在波后区内上下两股气流又汇合在一区内上下两股气流又汇合在一起，根据平衡条件，两股气流应具有相同的方向、压强和速度。起，根据平衡条件，两股气流应具有相同的方向、压强和速度。膨胀波相交仍为膨胀波。膨胀波相交仍为膨胀波。第30页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交二、膨胀波在直固壁上的反射 如图（如图（a a），），区初始气流经膨胀波区初始气流经膨胀波ABAB进入进入区，方向和区，方向和A A点点以后的下壁面平行。由于上壁面是直的，故气流和上壁面之间会以后的下壁面平行。由于上壁面是直的，故气流和上壁面之间会形成一个楔形真空区，这相当于形成一个楔形真空区，这相当于区气流在区气流在B B点又产生一条膨胀点又产生一条膨胀波波BCBC，而波后气流又折转成与上壁面平行。新产生的波即为反射，而波后气流又折转成与上壁面平行。新产生的波即为反射波。一般反射角并不等于入射角。波。一般反射角并不等于入射角。如果上壁面在如果上壁面在B B点向内折点向内折角（如图角（如图b b），使，使B B点以后的壁面与点以后的壁面与区气流平行，不产生新膨胀波，即反射波消失。区气流平行，不产生新膨胀波，即反射波消失。第31页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交三、膨胀波在自由界面上的反射 如图所示，射流与外界静止气体间的边界就是一种自由如图所示，射流与外界静止气体间的边界就是一种自由边界。这种边界的特性是，在接触面两边的压强相等。若超边界。这种边界的特性是，在接触面两边的压强相等。若超音速射流出口压强音速射流出口压强P P1 1大于外界环境压强大于外界环境压强P Pa a，则气流出口后经膨，则气流出口后经膨胀波胀波ABAB和和ABAB外折外折角，在角，在、区内气流压强等于环境压强区内气流压强等于环境压强P P2 2=P=P3 3=P=Pa a。由于。由于、区内气流方向不平行。在区内气流方向不平行。在B B点必产生两条点必产生两条膨胀波，使膨胀波，使区内变成均匀的轴向气流。但由于气流又进行了区内变成均匀的轴向气流。但由于气流又进行了一次膨胀，一次膨胀，区内的压强将低于环境压强区内的压强将低于环境压强P Pa a。此时外界气体将压缩射流，。此时外界气体将压缩射流，在射流中产生两条压缩渡在射流中产生两条压缩渡CDCD和和CDCD，波后，波后V V、区内的气流内区内的气流内折一个折一个角，使压强重新等于角，使压强重新等于外界压强，即外界压强，即P P5 5=P=P6 6=P=Pa a。所以膨。所以膨胀波在自由边界上反射为压缩波。胀波在自由边界上反射为压缩波。第32页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交四、膨胀波和压缩波相交 如图，上、下壁面都往上折如图，上、下壁面都往上折u u=l l=在折点在折点A A，AA处，处，必然产生一条压缩波必然产生一条压缩波ABAB和一条和一条膨胀波膨胀波ABAB。虽然。虽然，区内区内气流方向是平行的，都往上偏气流方向是平行的，都往上偏角，但气流角，但气流的压强则不同。的压强则不同。区内气流经过的是膨胀波，压强下降，区内气流经过的是膨胀波，压强下降，区内气区内气流经过的是压缩波，压强升高，即流经过的是压缩波，压强升高，即P P3 3PPa a。这样两股气流平行地流。这样两股气流平行地流下去是不可能的，它们在下去是不可能的，它们在B B点相遇后。点相遇后。区内的低压气流将受区内的低压气流将受到到区高压气流的压缩，从而相对于区高压气流的压缩，从而相对于区气流，在区气流，在B B点处将产点处将产生压缩波生压缩波BCBC；第33页，本讲稿共34页2.5 波的反射和相交另一方面，另一方面，区的高压气流将向区的高压气流将向区膨胀，因此，相对区膨胀，因此，相对于于区气流，在区气流，在B B点处将产生膨胀波点处将产生膨胀波BCBC。从而使两股气。从而使两股气流进入流进入区内又成为方向一致、压强相等的均匀气流。区内又成为方向一致、压强相等的均匀气流。所以膨胀波和压缩波相交，两波相互穿过。虽然这些波所以膨胀波和压缩波相交，两波相互穿过。虽然这些波彼此相交后发生了偏折，但波的强度并不改变，即每条彼此相交后发生了偏折，但波的强度并不改变，即每条波所代表的折角不变。这样波所代表的折角不变。这样区内气流和区内气流和区的初始气区的初始气流相比，共往上偏折流相比，共往上偏折2 2角。角。第34页，本讲稿共34页