静态电磁场静电场课件.ppt

静态电磁场静电场第1页，此课件共68页哦2静态电磁场静态电磁场(积分形式）积分形式）第2页，此课件共68页哦2.1.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 D=其媒质的构成方程为其媒质的构成方程为:D=E微分形式微分形式:积分形式积分形式:显然，静电场是有散显然，静电场是有散(有源有源)、无旋场、无旋场。第3页，此课件共68页哦2.1.2 静电场的有散性静电场的有散性(高斯定理高斯定理)在真空中，高斯定理在真空中，高斯定理:其微分形式为：其微分形式为：第4页，此课件共68页哦 上图表明：静电场是有散上图表明：静电场是有散(有源有源)场。若场中某点场。若场中某点 E0，则，则 0(正电荷正电荷)，该点电力线向外发散，且为，该点电力线向外发散，且为“源源”的所在处；若某点的所在处；若某点 E0，则则 0(负电荷负电荷)，电力线从周围向该点汇集，是，电力线从周围向该点汇集，是“汇汇”的的所在处；若某点的所在处；若某点的 E=0，则则 =0(无电荷无电荷)，电力线既不自该点，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。发出，也不向该点汇集，而是通过该点，因此该点不存在场源。E 0，0，0 E=0，=0第5页，此课件共68页哦例例2-1 2-1 已知真空中半径为已知真空中半径为a a的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分布分别为它在其球形分布区域内外产生的空间电场分布分别为 和和 。试求该电荷分布。试求该电荷分布。解：根据高斯定理，并按题设场强解：根据高斯定理，并按题设场强E的分布特征的分布特征 ，应在球坐标系中展开散度表达式（见附录二）。因题设，应在球坐标系中展开散度表达式（见附录二）。因题设 ，故有：，故有：第6页，此课件共68页哦2.1.3 静电场的无旋性静电场的无旋性 这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其电力线不是闭合曲线。线不是闭合曲线。图图 电场力作功与路径无关电场力作功与路径无关 对右图闭合曲线作曲线积分，并对右图闭合曲线作曲线积分，并应用斯托克斯定理，得：应用斯托克斯定理，得：即即 表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取决于起点和终点的位置。起点和终点的位置。第7页，此课件共68页哦例例2-2 2-2 试求由例试求由例2-12-1所给定的该静电场的旋度。所给定的该静电场的旋度。解：利用球坐标系中旋度表达式（见附录二）。由于电场强度解：利用球坐标系中旋度表达式（见附录二）。由于电场强度E(r)仅有仅有Er分量，且分量，且Er与坐标变量与坐标变量、无关，因此在整个场空间中应有无关，因此在整个场空间中应有显然，这是静电场无旋性的必然结果。显然，这是静电场无旋性的必然结果。第8页，此课件共68页哦2.2 2.2 自由空间中的电场自由空间中的电场2.2.1 2.2.1 电位函数的引入电位函数的引入 因为因为 E E=0=0，由矢量恒等式，由矢量恒等式 ()=)=0 0，E E(r r)可以表示为可以表示为:式中，称为标量函数式中，称为标量函数 (r r)为静电场的标量电位函数，简称电位。为静电场的标量电位函数，简称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度 E E 等于该点电位梯度的等于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有：负值。另外，由亥姆霍兹定理，有：式中式中R=|r r|=(x x )2+(y y )2+(z z )21/2 第9页，此课件共68页哦由静电场的基本方程，得：由静电场的基本方程，得：A(r)=0显然，亥姆霍兹定理再次证实了显然，亥姆霍兹定理再次证实了 。第10页，此课件共68页哦由由E求求 的关系式的关系式将电荷将电荷q由由P点移到点移到Q点时，电场力所作的功为：点时，电场力所作的功为：由梯度和方向导数的关系，上式改写为：由梯度和方向导数的关系，上式改写为：因此因此如取如取Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则P点的电位定义为：点的电位定义为：工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在理论工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在理论分析时，任意点分析时，任意点P的电位可设为：的电位可设为：第11页，此课件共68页哦2 2电位函数的表达式电位函数的表达式 点电荷点电荷：线电荷线电荷：面电荷面电荷：体电荷体电荷：第12页，此课件共68页哦3 3电场强度的表达式电场强度的表达式 因为因为 代入前式，得代入前式，得 点电荷点电荷：线电荷线电荷：面电荷面电荷：体电荷体电荷：第13页，此课件共68页哦 对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定理求解电场强度。场强度。如处于坐标原点的点电荷产生的电场。如处于坐标原点的点电荷产生的电场。因此因此 写成矢量形式写成矢量形式 对于无界自由空间的点电荷系统，应用叠加原理，合成的电对于无界自由空间的点电荷系统，应用叠加原理，合成的电场强度为：场强度为：第14页，此课件共68页哦思路二思路二：先求电场强度，再利用：先求电场强度，再利用 ，求电位。，求电位。思路一思路一：先求电位，再利用：先求电位，再利用 ，求电场强度。，求电场强度。4电位和电场强度的求解思路电位和电场强度的求解思路 例例2-32-3：真空中有限长直线段：真空中有限长直线段l l上均匀分布线电荷密度为上均匀分布线电荷密度为 的电荷，如的电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点图所示。求线外中垂面上任意场点P P处的电场强度。处的电场强度。图 有限长直线电荷沿方向的电场第15页，此课件共68页哦 解解：采用圆柱坐标系，令：采用圆柱坐标系，令z z轴与线电荷重合，原点置于线段轴与线电荷重合，原点置于线段 l 的中点。的中点。利用变量代换利用变量代换z =tg，dz =sec2 d，代入上式，最终解得，代入上式，最终解得 式中，式中，。第16页，此课件共68页哦相当于电量为相当于电量为 l的点电荷产生的电场。如果的点电荷产生的电场。如果 11，这可以视，这可以视为无限长直的线电荷，此时为无限长直的线电荷，此时 ，则，则 讨论讨论：如果：如果 1 a a时，时，第18页，此课件共68页哦设无限远处为电位参考点，当设无限远处为电位参考点，当r r a a时时 当当r r a a时，时，基于位函数的分析基于位函数的分析若场源为若场源为n n个点电荷，应用叠加原理，任一场点个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)(r)处的电位为：处的电位为：第19页，此课件共68页哦例例2-5 2-5 设真空中电荷在半径为设真空中电荷在半径为a a的圆盘形平面域中均匀分布，其电荷面密度的圆盘形平面域中均匀分布，其电荷面密度分布函数为分布函数为。试求：。试求：（1 1）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；（2 2）轴线上的电场强度）轴线上的电场强度解：典型的圆环状电荷上的元电荷解：典型的圆环状电荷上的元电荷 在轴线上任一场点在轴线上任一场点P P处引起的元电位为：处引起的元电位为：所以：所以：第20页，此课件共68页哦（2 2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：（2 2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：第21页，此课件共68页哦图 电偶极子例例2-6 2-6 求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。解解：定义电偶极矩：定义电偶极矩p(简称电矩，即简称电矩，即p=qd，d为正负电荷间的距离，且规定为正负电荷间的距离，且规定d的方向由的方向由负电荷指向正电荷负电荷指向正电荷)表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶极子表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考虑作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考虑r d的情况，现采用球坐标系，设原点在的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，电偶极子的中心，z轴与轴与d相重。应用叠加原理，任意点的电位为相重。应用叠加原理，任意点的电位为 当当r很大时，很大时，r1、r2和和r三者将近乎平行，此时三者将近乎平行，此时r2 r1 dcos，r1r2 r2代入代入上式，得上式，得 第22页，此课件共68页哦应用球坐标系中的梯度公式，得任意点的电场强度为应用球坐标系中的梯度公式，得任意点的电场强度为 可见，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。此外，可见，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。此外，其电位或电场强度均与方位角其电位或电场强度均与方位角 相关。相关。第23页，此课件共68页哦2.2.4 电力线和等位面（线）电力线和等位面（线）电力线电力线(E线线)的概念是法拉第提出的，是用图形描绘电场分布的有效工具之一。的概念是法拉第提出的，是用图形描绘电场分布的有效工具之一。E线定线定义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，即义为其上任一点的切线方向应与该点电场强度方向相一致，即 E dl=0 在直角坐标系下，有在直角坐标系下，有 可得可得E线的微分方程为线的微分方程为 上式便是上式便是E线的微分方程，而该微分方程的解答就是描绘线的微分方程，而该微分方程的解答就是描绘E线的函数关系式。通线的函数关系式。通常，常，E线的函数关系式可一般性地记为线的函数关系式可一般性地记为(x,y,z)=C，取不同的，取不同的C值，即可获得一系值，即可获得一系列列E线的分布，从而直观地描绘了电场场强线的分布，从而直观地描绘了电场场强E(r)的的空间分布。空间分布。第24页，此课件共68页哦 等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。根据电场强度的定义，等位面等位面是用图形描绘电场分布的另一种有效工具。根据电场强度的定义，等位面分布愈密，该处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。分布愈密，该处电场场强愈高，且电力线与等位面正交。利用本节例利用本节例3的结果，可以画出电偶极子远区的等电位线和电力线场的结果，可以画出电偶极子远区的等电位线和电力线场图。电偶极子远区电位分布为图。电偶极子远区电位分布为可得等位线方程为可得等位线方程为 r2=k1cos 取决于不同的取决于不同的k1值，画出不同的等位线。在值，画出不同的等位线。在0 0；而在而在/2 时，时，0，其等位线关于其等位线关于 =/2呈镜象对称。基于电偶极子电场的轴对称呈镜象对称。基于电偶极子电场的轴对称性，将等位线绕性，将等位线绕z轴旋转便得空间三维的等位面分布，其中轴旋转便得空间三维的等位面分布，其中z=0(即即 =/2)的平面为零的平面为零电位面。由利用球坐标系微元关系式，得电位面。由利用球坐标系微元关系式，得E线的微分方程为线的微分方程为 第25页，此课件共68页哦代入电偶极子远区电场强度的代入电偶极子远区电场强度的 Er 和和 E 分量，得分量，得 =解得解得 ln r=2ln(sin )+ln k2可得可得E线等位线方程为线等位线方程为 r=k2sin2 z图图 电偶极子远区场图电偶极子远区场图取不同的取不同的k k2 2值，可画出不同的电力线值，可画出不同的电力线(E E线线)。下图画出了电偶极子远区场图。下图画出了电偶极子远区场图。第26页，此课件共68页哦2.3 导体和电介质导体和电介质1导体导体 导体内部导体内部E E=0=0，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力线正，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布密度取决交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分布密度取决于导体表面的曲率。于导体表面的曲率。第27页，此课件共68页哦2电介质的极化电介质的极化 极化现象极化现象：束缚电荷在外电场作用下的响应。含位移极化和取向极化。无论哪种极：束缚电荷在外电场作用下的响应。含位移极化和取向极化。无论哪种极化现象，其结果均使束缚电荷的分布发生变化，导致极化电场。极化电场与外电场相叠加，化现象，其结果均使束缚电荷的分布发生变化，导致极化电场。极化电场与外电场相叠加，便形成有电介质存在时的合成电场。便形成有电介质存在时的合成电场。电极化强度矢量电极化强度矢量：极化后形成的每单位体积内电偶极矩的矢量和，即：极化后形成的每单位体积内电偶极矩的矢量和，即 (C/m2)实验结果表明，大多数电介质的电极化强度实验结果表明，大多数电介质的电极化强度P与电介质中的合成电场强度与电介质中的合成电场强度E成正比，成正比，即即 P=e 0E式中式中，e称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。称为电介质的电极化率，它是一个无量纲的正实数。第28页，此课件共68页哦介质的分类介质的分类：当电极化率与电场方向无关时，称为各向同性介质，否则，称为各向异性介：当电极化率与电场方向无关时，称为各向同性介质，否则，称为各向异性介质；当电极化率为常数时，称为均匀介质，否则为非均匀介质；当电极化率的值不随电场强度质；当电极化率为常数时，称为均匀介质，否则为非均匀介质；当电极化率的值不随电场强度的量值变化，称为线性介质，反之为非线性介质。的量值变化，称为线性介质，反之为非线性介质。图图 电介质的极化电场电介质的极化电场(b)束缚电荷建立的电场束缚电荷建立的电场(a)束缚电荷分布的示意图束缚电荷分布的示意图束缚电荷（极化电荷）密度束缚电荷（极化电荷）密度：第29页，此课件共68页哦 设图示中设图示中 V 内的电极化强度为内的电极化强度为 P(r)，则体积元，则体积元 dV 内的等效电偶极子的电偶极矩内的等效电偶极子的电偶极矩为为 p=P(r)dV，它在远区，它在远区 P 点处产生的电位为点处产生的电位为由于由于 因此，体积因此，体积V 内所有电偶极矩在内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为点产生的合成电位为又由矢量恒等式又由矢量恒等式 得得第30页，此课件共68页哦 可以看出，面积分中的可以看出，面积分中的(P en)相当于一种面电荷密度，体积分中的相当于一种面电荷密度，体积分中的(-P)相当于一种体电荷密度。由此，定义极化电荷的面密度与体密度分别为相当于一种体电荷密度。由此，定义极化电荷的面密度与体密度分别为P=P en P=-P 显然，均匀介质其内部无极化电荷分布，显然，均匀介质其内部无极化电荷分布，P=0，极化电荷只出现在介质的极化电荷只出现在介质的表面上。此外，介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零，即表面上。此外，介质极化后整体极化电荷分布的总和应等于零，即极化电荷在真空中所产生的极化电场：极化电荷在真空中所产生的极化电场：第31页，此课件共68页哦2.4 电介质中的电场电介质中的电场 2.4.1 电位移矢量电位移矢量由高斯定理，得由高斯定理，得 整理得整理得 (0E+P)=定义电位移矢量：定义电位移矢量：D=0E+P=0(1+e)E=E 其中，其中，=0(1+e)=r 0，r=/0=(1+e)第32页，此课件共68页哦2.4.2 介电常数介电常数 上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量电场问题可简洁地归结为场量D、E或位函数或位函数 的定解问题。的定解问题。例例1：同轴电缆其长度：同轴电缆其长度L远大于截面半径，远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为已知内、外导体半径分别为a和和b。其间充满。其间充满介电常数为介电常数为 的介质，将该电缆的内外导的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源体与直流电压源U0相联接。试求：相联接。试求：(1)介质中的电场强度介质中的电场强度E；(2)介质中介质中Emax位于哪里？其值多大？位于哪里？其值多大？图 同轴电缆的电场第33页，此课件共68页哦图 同轴电缆的电场 解解：（：（1 1）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度）设内、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为分别为+和和-。由应用高斯定理，得。由应用高斯定理，得即即 所以所以 (a b)又因为又因为 则则得得 (a b)(2)(2)最大场强位于内导体表面最大场强位于内导体表面(=a a)，其值为其值为第34页，此课件共68页哦例例2 一理想的平板电容器由直流电压源一理想的平板电容器由直流电压源U充电后又断开电源，然后在两极板间充电后又断开电源，然后在两极板间插入一厚度等于插入一厚度等于d的均匀介质板，其相对介电常数的均匀介质板，其相对介电常数r=6 忽略极板的边缘效应，试忽略极板的边缘效应，试求：求：(1)插入介质板前后平行板间各点的电场强度插入介质板前后平行板间各点的电场强度E、电位移矢量、电位移矢量D和电位和电位 以及极板上的电荷分以及极板上的电荷分布；布；(2)介质板表面和内部的极化电荷分布介质板表面和内部的极化电荷分布解解(1)此问题是典型的平行平面场问题，故在插入介质板前的电场强度为：此问题是典型的平行平面场问题，故在插入介质板前的电场强度为：电位移矢量电位移矢量取负极板的电位为零，则板间任一点的电位为：取负极板的电位为零，则板间任一点的电位为：第35页，此课件共68页哦根据高斯定理，做一圆柱形高斯面根据高斯定理，做一圆柱形高斯面S，则：，则：因而得因而得插入介质板后，电容器的电荷保持不变，则：插入介质板后，电容器的电荷保持不变，则：得得而电场强度为：而电场强度为：则板间任一点的电位为：则板间任一点的电位为：第36页，此课件共68页哦(2)介质极化，可得介质中的极化强度为：介质极化，可得介质中的极化强度为：故可得介质板上下两端面上极化电荷面密度为：故可得介质板上下两端面上极化电荷面密度为：而介质板中极化电荷的体密度为：而介质板中极化电荷的体密度为：故合成电场是自由电荷与极化电荷共故合成电场是自由电荷与极化电荷共同在真空中产生效应的叠加，即同在真空中产生效应的叠加，即第37页，此课件共68页哦图图 E 切向分量的边界条件切向分量的边界条件2.4.3 边界条件边界条件 介质分界面上的边界条件介质分界面上的边界条件：跨越分界面的一狭小的矩形跨越分界面的一狭小的矩形回路回路l如图所示，且令如图所示，且令 l20而而 l1足够地短。求电场强度在足够地短。求电场强度在l上的环量，有上的环量，有即即 E1t=E2t 或或 en(E2-E1)=0 上式表明，在介质分界面上电上式表明，在介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。场强度的切向分量是连续的。第38页，此课件共68页哦图图 D D 法向分量的边界条件法向分量的边界条件 跨越分界面的一个扁平圆柱体跨越分界面的一个扁平圆柱体S S如图所示，令两个底面如图所示，令两个底面 S S足够小且平足够小且平行于分界面，圆柱面高度行于分界面，圆柱面高度 l l00。求电位移矢量在圆柱面的通量，有。求电位移矢量在圆柱面的通量，有 式中分界面上法线方向单位矢量式中分界面上法线方向单位矢量en规定规定为由介质为由介质1指向介质指向介质2，是分界面上可能是分界面上可能存在的自由电荷面密度。从而得存在的自由电荷面密度。从而得D2n-D1n=或或 en (D2-D1)=一般两种介质分界面上不存在自由电荷一般两种介质分界面上不存在自由电荷(=0)，此时有此时有D1n=D2n 或或 en(D2-D1)=0 上式表明，在介质分界面上电位移矢上式表明，在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的。量的法向分量是连续的。第39页，此课件共68页哦对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得对于两种线性且各向同性介质，应用上述边界条件，得E1sin 1=E2sin 2，1E1cos 1=2E2cos 2两式相除，得两式相除，得 上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电上式综合表述了场量在介质分界面上遵循的物理规律，称为静电场的折射定律。场的折射定律。图图 E 切向分量的边界条件切向分量的边界条件第40页，此课件共68页哦导体表面上的边界条件导体表面上的边界条件：设导体为媒质设导体为媒质1、导体外介质为媒质、导体外介质为媒质2，并考虑到导体内部电场强度和电，并考虑到导体内部电场强度和电位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得位移矢量均为零且其电荷只能分布在导体表面，得 E1t=E2t=0 ，D2n-D1n=D2n=式中，式中，是导体表面的电荷面密度。上式说明在导体表面相邻处是导体表面的电荷面密度。上式说明在导体表面相邻处的电场强度的电场强度E E和电位移和电位移D D都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该都垂直于导体表面，且电位移的量值等于该点的电荷面密度点的电荷面密度(需注意需注意e en n是导体表面的外法线单位矢量）。一般是导体表面的外法线单位矢量）。一般写为写为 Et=0 或或 en E=0 ；Dn=或或 en D=第41页，此课件共68页哦4边界条件的电位表达边界条件的电位表达介质分界面介质分界面：由于介质分界面上由于介质分界面上E E1 1t t=E E2 2t t，显然可以得出，显然可以得出 1=2即电位在介质分界面上是连续的。又由于即电位在介质分界面上是连续的。又由于D2n-D1n=和和 最后可以得出，边界条件的电位表示为最后可以得出，边界条件的电位表示为 1=2 ，导体表面上的边界条件导体表面上的边界条件：=C，式中，式中，C是由所论静电场导体系统决定的常数。是由所论静电场导体系统决定的常数。第42页，此课件共68页哦图 平板电容器例例2：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的：图示平行板电容器，其极板间介质由两种绝缘材料组成，介质的分界面与极板平行。设电容器外施电压为分界面与极板平行。设电容器外施电压为U0，试求：，试求：(1)两绝缘材料中的电场强度；两绝缘材料中的电场强度；(2)极板上的电荷面密度。极板上的电荷面密度。解解：(1)在电压在电压U0下，并应用分界面的边界条件，得下，并应用分界面的边界条件，得(2)极板极板A上的电荷面密度为上的电荷面密度为 极板极板B上的电荷面密度为上的电荷面密度为 =-D2n=-2E2=-第43页，此课件共68页哦 讨论讨论：本例中，设：本例中，设 r2 r1，则则E1 E2。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为 r2，则空气层中电场强度则空气层中电场强度E1将为绝缘材料中电场强度将为绝缘材料中电场强度E2的的 r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。坏。第44页，此课件共68页哦2.5 边值问题边值问题1 1泛定方程泛定方程 由由 D=、D=E，得，得 D=E=E+E =对于均匀介质对于均匀介质 为常数，得为常数，得 2 =-/上式称为电位上式称为电位 的泊松方程，式中的泊松方程，式中称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中 对于场中无自由电荷分布对于场中无自由电荷分布(=0)=0)的区域，泊松方程退化为拉普的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程，即拉斯方程，即 2 2 =0=0 E=-由于由于，第45页，此课件共68页哦2 2边界条件边界条件 第一类边界条件（狄利赫莱条件）第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界：场域边界S S上的电位分布已上的电位分布已知，即知，即式中式中r rb b为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。第二类边界条件（纽曼条件）第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界：场域边界S上电位的法向导数分布已知，上电位的法向导数分布已知，即即当当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成第二类边值问题。第二类边值问题。第46页，此课件共68页哦第三类边界条件（混合条件）第三类边界条件（混合条件）：场域边界：场域边界S S上电位及其法向导数上电位及其法向导数的线性组合已知，即的线性组合已知，即它与泛定方程构成第三类边值问题。它与泛定方程构成第三类边值问题。无限远边界条件无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有在无限远处有即电位即电位 在无限远处趋于零，在无限远处趋于零，(r)|r=0第47页，此课件共68页哦静电场边值问题静电场边值问题：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。拉斯方程的电位函数。介质分界面条件介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。面上的边界条件，常称为辅助的边界条件。第48页，此课件共68页哦2.5.2 2.5.2 直接积分法直接积分法 对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。这时可以直接积分求解电位函数。例例1 1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为：图示二块半无限大导电平板构成夹角为 的电极系统。设板间电压为的电极系统。设板间电压为U U0 0，试求导，试求导电平板间电场。电平板间电场。图 角形电极系统解解：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量 的函数，可以写的函数，可以写出如下的第一类边值问题：出如下的第一类边值问题：第49页，此课件共68页哦由给定的两个边界条件，得由给定的两个边界条件，得 将泛定方程直接积分二次，得通解为将泛定方程直接积分二次，得通解为 =C1 +C2，C C2 2=0=0所以所以 第50页，此课件共68页哦例例2 2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布，设电荷体密度为解解：设球状电荷分布内、外的电位分别为：设球状电荷分布内、外的电位分别为 1和和 2，显然，显然，1满足泊松方程，满足泊松方程，2满足拉满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有 (0 0和和-mn2 0时时 X(x)=A1ncosh(mnx)+A2nsinh(mnx)；Y(y)=B1ncos(mny)+B2nsin(mny)当当=-mn2 1 1时的电场分布图。时的电场分布图。图 均匀外电场中的介质圆柱体第65页，此课件共68页哦2.5.4 唯一性定理唯一性定理 本段将证明满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是本段将证明满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这也称作静电场的唯一性定理。唯一的，这也称作静电场的唯一性定理。如图所示为充满均匀介质和置有如图所示为充满均匀介质和置有n个导体的场域。场域空间个导体的场域。场域空间V的的边界为边界为S1，S2，Sn 及外边界面及外边界面S0。设。设V中存在两个电位函数中存在两个电位函数 1和和 2，对于给定第一类或第二类边界条件，均满足泊松方程，对于给定第一类或第二类边界条件，均满足泊松方程，即即，图 包围含有导体的场域令令 d=1-2，因此因此 2 d=0第66页，此课件共68页哦利用格林公式利用格林公式令令 =d，代入上式得代入上式得如图所示，上式场域如图所示，上式场域V的边界面的边界面SS0+S1+S2+Sn。如果。如果所设的这两个不同的电位函数的解答所设的这两个不同的电位函数的解答 1和和 2，在全部边界面在全部边界面上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条件，则它上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条件，则它们在相应边界面们在相应边界面Si上的差值上的差值或或。代入上式，有代入上式，有第67页，此课件共68页哦 这说明，场域这说明，场域V内内 d的梯度处处为零，即的梯度处处为零，即V内所有场点上的内所有场点上的 d值与值与其在各导体表面其在各导体表面S1、S2、Sn上的值是相同的。对于第一类边值问题，由上的值是相同的。对于第一类边值问题，由于在导体表面上已知于在导体表面上已知 d=0,所以整个场域内必有所以整个场域内必有 d=0，由此得证，由此得证 1=2，即解唯一。对于第二类边值问题而言，即已知各导体表面上的面电荷，即解唯一。对于第二类边值问题而言，即已知各导体表面上的面电荷分布，此时分布，此时 d=C，即电位，即电位 1和和 2之间可能相差一个常数，但采用相之间可能相差一个常数，但采用相同的电位参考点将导致同的电位参考点将导致C=0，所以解仍是唯一的。，所以解仍是唯一的。静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。第68页，此课件共68页哦