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第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法。教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程：方程 y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数。 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解。 我们看看，能否适当选取r，使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将y=erx代入方程。 y¢¢+py¢+qy=0得 (r 2+pr+q)erx =0由此可见，只要r满足代数方程r2+pr+q=0，函数y=erx就是微分方程的解。 特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程。特征方程的两个根r1、r2可用公式： 求出。 特征方程的根与通解的关系： (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时，函数、是方程的两个线性无关的解。 这是因为， 函数、是方程的解，又不是常数。因此方程的通解为 (2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时，函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。 这是因为，是方程的解，又 , 所以也是方程的解，且不是常数。 因此方程的通解为 (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时，函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解。 函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解，而由欧拉公式，得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx)， y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx)， y1+y2=2eaxcosbx， y1-y2=2ieaxsinbx，故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解。可以验证，y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解。 因此方程的通解为 y=eax(C1cosbx+C2sinbx) 求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为：第一步 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2。第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解。 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解。 解：所给微分方程的特征方程为 r2-2r-3=0，即(r+1)(r-3)=0其根r1=-1，r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为 y=C1e-x+C2e3x 例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解。 解：所给方程的特征方程为 r2+2r+1=0，即(r+1)2=0其根r1=r2=-1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e-x将条件y|x=0=4代入通解，得C1=4，从而 y=(4+C2x)e-x将上式对x求导，得 y¢=(C2-4-C2x)e-x再把条件y¢|x=0=-2代入上式，得C2=2于是所求特解为 x=(4+2x)e-x 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解。 解：所给方程的特征方程为 r2-2r+5=0特征方程的根为r1=1+2i，r2=1-2i是一对共轭复根因此所求通解为 y=ex(C1cos2x+C2sin2x) n阶常系数齐次线性微分方程：方程 y(n) +p1y(n-1)+p2y(n-2) + × × × +pn-1y¢+pny=0，称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常数。 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去。 引入微分算子D，及微分算子的n次多项式： L(D)=Dn +p1Dn-1+p2Dn-2 + × × × +pn-1D+pn，则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y,Dy=y¢,D2y=y¢¢,D3y=y¢¢¢,×××,Dny=y(n) 分析：令y=erx，则 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 +×××+ pn-1r+pn)erx=L(r)erx因此如果r是多项式L(r)的根，则y=erx是微分方程L(D)y=0的解。 n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程： L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 +×××+ pn-1r+pn=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程。 特征方程的根与通解中项的对应： 单实根r对应于一项:Cerx ； 一对单复根r1,2=a ±ib对应于两项：eax(C1cosbx+C2sinbx)； k重实根r对应于k项：erx(C1+C2x+×××+Ck xk-1);； 一对k重复根r1,2=a ±ib对应于2k项： eax(C1+C2x+×××+Ck xk-1)cosbx+(D1+D2x+×××+Dk xk-1)sinbx 例4求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0的通解。 解：这里的特征方程为 r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0，它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.因此所给微分方程的通解为 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解，其中b>0。 解：这里的特征方程为 r4+b 4=0它的根为，因此所给微分方程的通解为 二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介 二阶常系数非齐次线性微分方程：方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中p、q是常数。 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和： y=Y(x)+ y*(x)当f(x)为两种特殊形式时，方程的特解的求法： 一、f(x)=Pm(x)elx型 当f(x)=Pm(x)elx时，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式。因此，设特解形式为y*=Q(x)elx，将其代入方程，得等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x) (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根，则l2+pl+q¹0。要使上式成立，Q(x)应设为m次多项式： Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm ，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0, b1,×××，bm,并得所求特解。 y*=Qm(x)elx (2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根，则l2+pl+q=0，但2l+p¹0，要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)成立，Q(x)应设为m+1次多项式： Q(x)=xQm(x)， Qm(x)=b0xm +b1xm-1+×××+bm-1x+bm ，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0,b1,×××，bm,并得所求特解。 y*=xQm(x)elx (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根，则l2+pl+q=0，2l+p=0，要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)成立, Q(x)应设为m+2次多项式： Q(x)=x2Qm(x)， Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm ，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0,b1,×××,bm ，并得所求特解。 y*=x2Qm(x)elx 综上所述，我们有如下结论：如果f(x)=Pm(x)elx，则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如 y*=xk Qm(x)elx的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解。 解：这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,，l=0) 与所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-2y¢-3y=0，它的特征方程为 r2-2r-3=0 由于这里l=0不是特征方程的根，所以应设特解为 y*=b0x+b1把它代入所给方程，得 -3b0x-2b0-3b1=3x+1，比较两端x同次幂的系数，得 ，-3b0=3，-2b0-3b1=1由此求得b0=-1，于是求得所给方程的一个特解为 例2 求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解 解：所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x，l=2) 与所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-5y¢+6y=0，它的特征方程为 r2-5r +6=0特征方程有两个实根r1=2，r2=3于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x 由于l=2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为 y*=x(b0x+b1)e2x把它代入所给方程，得 -2b0x+2b0-b1=x比较两端x同次幂的系数，得 ，-2b0=1，2b0-b1=0由此求得，b1=-1，于是求得所给方程的一个特解为 从而所给方程的通解为 提示：y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x，(b0x2+b1x)e2x¢=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x，(b0x2+b1x)e2x¢¢=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2xy*¢¢-5y*¢+6y*=(b0x2+b1x)e2x¢¢-5(b0x2+b1x)e2x¢+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)e2x=-2b0x+2b0-b1e2x方程y¢¢+py¢+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式 应用欧拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx ，其中，而m=maxl, n 设方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x，则必是方程的特解，其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1。 于是方程y¢¢+py¢+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解为 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx 综上所述，我们有如下结论： 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx，则二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)的特解可设为 y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式，m=maxl, n，而k按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。 例3 求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一个特解。 解：所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)属于elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型(其中l=0，w=2，Pl(x)=x，Pn(x)=0）。 与所给方程对应的齐次方程为 y¢¢+y=0，它的特征方程为 r2+1=0 由于这里l+iw=2i不是特征方程的根，所以应设特解为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x把它代入所给方程，得 (-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x比较两端同类项的系数，得，b=0，c=0，。于是求得一个特解为。提示：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*¢=acos2x-2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x =(2cx+a+2d)cos2x+(-2ax-2b+c)sin2xy*¢¢=2ccos2x-2(2cx+a+2d)sin2x-2asin2x+2(-2ax-2b+c)cos2x =(-4ax-4b+4c)cos2x+(-4cx-4a-4d)sin2xy*¢¢+ y*=(-3ax-3b+4c)cos2x+(-3cx-4a-3d)sin2x由, 得, b=0, c=0, .
