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2017-2018 学年中考数学复习专题-特殊平行四边形 评卷人 得 分 一选择题（共 12 小题）1下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A对边平行且相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对角互补 2能判定一个四边形是菱形的条件是（）A对角线互相平分且相等 B对角线互相垂直且相等 C对角线互相垂直且对角相等 D对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 3矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对边分别相等 B对角分别相等 C对角线互相平分 D对角线相等 4以下条件不能判别四边形 ABCD 是矩形的是（）AAB=CD，AD=BC，A=90 BOA=OB=OC=OD CAB=CD，ABCD，AC=BD DAB=CD，ABCD，OA=OC，OB=OD 5 顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 只需满足的条件是（）A相等 B互相垂直 C相等且互相垂直 D相等且互相平分 6已知菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（）A12cm B10cm C7cm D5cm 7如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于 F，若 BF=12，AB=10，则 AE 的长为（）欢迎下载 2 A16 B15 C14 D13 8如图，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EFGH，若 AB=2，BC=3，则 EF：GH=（）A2：3 B3：2 C4：9 D无法确定 9如图：点 P 是 RtABC 斜边 AB 上的一点，PEAC 于 E，PFBC 于 F，BC=15，AC=20，则线段 EF 的最小值为（）A12 B6 C12.5 D25 10如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，点 E 为垂足，连接 DF，则CDF 为（）A80 B70 C65 D60 11如图，在菱形 ABCD 中，A=110，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EPCD 于点 P，则FPC 的度数为（）欢迎下载 3 A55 B50 C45 D35 12如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB，CD 交于点 E，F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO若COB=60，FO=FC，则下列结论：FBOC，OM=CM；EOBCMB；四边形 EBFD 是菱形；MB：OE=3：2 其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4 评卷人 得 分 二填空题（共 6 小题）13如图，菱形纸片 ABCD，A=60，P 为 AB 中点，折叠菱形纸片 ABCD，使点C 落在 DP 所在的直线上，得到经过点D 的折痕 DE，则DEC 等于 度 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y=的图象经过 A，B 两点，则菱 欢迎下载 4 形 ABCD 的面积为 15如图：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E，则 DE 的长是 16平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AD，E、F、G 分别是 OC、OD，AB 的中点下列结论：EG=EF；EFGGBE；FB 平分EFG；EA 平分GEF；四边形 BEFG 是菱形其中正确的是 17 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 上一点，且 AB=BE，1=15，则2=18如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为 欢迎下载 5 评卷人 得 分 三解答题（共 6 小题）19如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AB 的中点，AECD，CEAB，连接 DE 交 AC 于点 O（1）证明：四边形 ADCE 为菱形（2）BC=6，AB=10，求菱形 ADCE 的面积 20已知，如图，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EFBD于点 O，与 AD、BC 分别交于点 E、F试判断四边形 BFDE 的形状，并证明你的结论 21如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，DEAC 于点 E，DGAB于点 G，EKAB 于点 K，GHAC 于点 H、EK 和 GH 相交于点 F 求证：GE 与 FD 互相垂直平分 欢迎下载 6 22如图：在ABC 中，CE、CF 分别平分ACB 与它的邻补角ACD，AECE于 E，AFCF 于 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于 M、N（1）求证：四边形 AECF 为矩形；（2）试猜想 MN 与 BC 的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形 AECF 是菱形，试判断ABC 的形状，直接写出结果，不用说明理由 23如图：矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1（1）判断BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形 EFPH 的面积 24如图，在ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形 BDFG 为菱形；欢迎下载 7（3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长 欢迎下载 8 2017-2018 学年中考数学复习专题-特殊平行四边形 参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题）1下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A对边平行且相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以 A 选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以 B 选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以 C 选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以 D 选项错误 故选 C 2能判定一个四边形是菱形的条件是（）A对角线互相平分且相等 B对角线互相垂直且相等 C对角线互相垂直且对角相等 D对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 A、B、D 都不正确 对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形 故 C 正确 故选 C 3矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对边分别相等 B对角分别相等 C对角线互相平分 D对角线相等【解答】解：矩形的性质有：矩形的对边相等且平行，矩形的对角相等，且 欢迎下载 9 都是直角，矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：菱形的四条边都相等，且对边平行，菱形的对角相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选 D 4以下条件不能判别四边形 ABCD 是矩形的是（）AAB=CD，AD=BC，A=90 BOA=OB=OC=OD CAB=CD，ABCD，AC=BD DAB=CD，ABCD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、AB=CD，AD=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，BAD=90，四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误；B、OA=OB=OC=OD，AC=BD，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误；C、AB=CD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD，四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误；D、ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，根据 OA=OC，OB=OD 不能推出平行四边形 ABCD 是矩形，故本选项正确；故选 D 欢迎下载 10 5 顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 只需满足的条件是（）A相等 B互相垂直 C相等且互相垂直 D相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形 因为顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相等 故选 A 6已知菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（）A12cm B10cm C7cm D5cm【解答】解：如图：菱形 ABCD 中 BD=8cm，AC=6cm，OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形 AOD 中 AD=5cm 故选 D 7如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于 F，若 BF=12，AB=10，则 AE 的长为（）欢迎下载 11 A16 B15 C14 D13【解答】解：连结 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图，AO 平分BAD，1=2，四边形 ABCD 为平行四边形，AFBE，1=3，2=3，AB=EB，同理：AF=BE，又AFBE，四边形 ABEF 是平行四边形，四边形 ABEF 是菱形，AEBF，OB=OF=6，OA=OE，在 RtAOB 中，由勾股定理得：OA=8，AE=2OA=16 故选：A 8如图，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EFGH，若 AB=2，BC=3，则 EF：GH=（）欢迎下载 12 A2：3 B3：2 C4：9 D无法确定【解答】解：过 F 作 FMAB 于 M，过 H 作 HNBC 于 N，则4=5=90=AMF 四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABCD，A=D=90=AMF，四边形 AMFD 是矩形，FMAD，FM=AD=BC=3，同理 HN=AB=2，HNAB，1=2，HGEF，HOE=90，1+GHN=90，3+GHN=90，1=3=2，即2=3，4=5，FMEHNG，=EF：GH=AD：CD=3：2 故选 B 9如图：点 P 是 RtABC 斜边 AB 上的一点，PEAC 于 E，PFBC 于 F，BC=15，欢迎下载 13 AC=20，则线段 EF 的最小值为（）A12 B6 C12.5 D25【解答】解：如图，连接 CP C=90，AC=3，BC=4，AB=25，PEAC，PFBC，C=90，四边形 CFPE 是矩形，EF=CP，由垂线段最短可得 CPAB 时，线段 EF 的值最小，此时，SABC=BCAC=ABCP，即 2015=25CP，解得 CP=12 故选 A 10如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，点 E 为垂足，连接 DF，则CDF 为（）欢迎下载 14 A80 B70 C65 D60【解答】解：如图，连接 BF，在BCF 和DCF 中，CD=CB，DCF=BCF，CF=CF BCFDCF CBF=CDF FE 垂直平分 AB，BAF=80=40 ABF=BAF=40 ABC=18080=100，CBF=10040=60 CDF=60 故选 D 11如图，在菱形 ABCD 中，A=110，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EPCD 于点 P，则FPC 的度数为（）A55 B50 C45 D35【解答】解：延长 PF 交 AB 的延长线于点 G如图所示：欢迎下载 15 在BGF 与CPF 中，BGFCPF（ASA），GF=PF，F 为 PG 中点 又由题可知，BEP=90，EF=PG，PF=PG，EF=PF，FEP=EPF，BEP=EPC=90，BEPFEP=EPCEPF，即BEF=FPC，四边形 ABCD 为菱形，AB=BC，ABC=180A=70，E，F 分别为 AB，BC 的中点，BE=BF，BEF=BFE=（18070）=55，FPC=55；故选：A 12如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB，CD 交于点 E，F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO若COB=60，FO=FC，则下列结论：FBOC，OM=CM；EOBCMB；四边形 EBFD 是菱形；欢迎下载 16 MB：OE=3：2 其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【解答】解：连接 BD，四边形 ABCD 是矩形，AC=BD，AC、BD 互相平分，O 为 AC 中点，BD 也过 O 点，OB=OC，COB=60，OB=OC，OBC 是等边三角形，OB=BC=OC，OBC=60，在OBF 与CBF 中 OBFCBF（SSS），OBF 与CBF 关于直线 BF 对称，FBOC，OM=CM；正确，OBC=60，ABO=30，OBFCBF，OBM=CBM=30，ABO=OBF，ABCD，欢迎下载 17 OCF=OAE，OA=OC，易证AOECOF，OE=OF，OBEF，四边形 EBFD 是菱形，正确，EOBFOBFCB，EOBCMB 错误 错误，OMB=BOF=90，OBF=30，MB=，OF=，OE=OF，MB：OE=3：2，正确；故选：C 二填空题（共 6 小题）13如图，菱形纸片 ABCD，A=60，P 为 AB 中点，折叠菱形纸片 ABCD，使点C 落在 DP 所在的直线上，得到经过点D 的折痕 DE，则DEC 等于 75 度 欢迎下载 18【解答】解：连接 BD，四边形 ABCD 为菱形，A=60，ABD 为等边三角形，ADC=120，C=60，P 为 AB 的中点，DP 为ADB 的平分线，即ADP=BDP=30，PDC=90，由折叠的性质得到CDE=PDE=45，在DEC 中，DEC=180（CDE+C）=75 故答案为：75 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y=的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 4 【解答】解：过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E，A，B 两点在反比例函数 y=的图象上且纵坐标分别为 3，1，A，B 横坐标分别为 1，3，AE=2，BE=2，AB=2，S菱形ABCD=底高=22=4，欢迎下载 19 故答案为 4 15如图：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E，则 DE 的长是 3 【解答】解：如图，连接 CE，设 DE=x，则 AE=8x，OEAC，且点 O 是 AC 的中点，OE 是 AC 的垂直平分线，CE=AE=8x，在 RtCDE 中，x2+42=（8x）2 解得 x=3，DE 的长是 3 故答案为：3 16平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AD，E、F、G 分别是 OC、OD，AB 的中点下列结论：EG=EF；EFGGBE；FB 平分EFG；EA 平分GEF；四边形 BEFG 是菱形其中正确的是 欢迎下载 20 【解答】解：令 GF 和 AC 的交点为点 P，如图所示：E、F 分别是 OC、OD 的中点，EFCD，且 EF=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，且 AB=CD，FEG=BGE（两直线平行，内错角相等），点 G 为 AB 的中点，BG=AB=CD=FE，在EFG 和GBE 中，EFGGBE（SAS），即成立，EGF=GEB，GFBE（内错角相等，两直线平行），BD=2BC，点 O 为平行四边形对角线交点，BO=BD=BC，E 为 OC 中点，BEOC，GPAC，APG=EPG=90 GPBE，G 为 AB 中点，P 为 AE 中点，即 AP=PE，且 GP=BE，在APG 和EGP 中，欢迎下载 21 APGEPG（SAS），AG=EG=AB，EG=EF，即成立，EFBG，GFBE，四边形 BGFE 为平行四边形，GF=BE，GP=BE=GF，GP=FP，GFAC，GPE=FPE=90 在GPE 和FPE 中，GPEFPE（SAS），GEP=FEP，EA 平分GEF，即成立 故答案为：17 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 上一点，且 AB=BE，1=15，则2=30 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ABC=BAD=90，OB=OD，OA=OC，AC=BD，欢迎下载 22 OB=OC，OB=OA，OCB=OBC，AB=BE，ABE=90，BAE=AEB=45，1=15，OCB=AEBEAC=4515=30，OBC=OCB=30，AOB=30+30=60，OA=OB，AOB 是等边三角形，AB=OB，BAE=AEB=45，AB=BE，OB=BE，OEB=EOB，OBE=30，OBE+OEB+BEO=180，OEB=75，AEB=45，2=OEBAEB=30，故答案为：30 18如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PEAC，PFBD 于 F，则 PE+PF 的值为 欢迎下载 23 【解答】解：连接 OP，四边形 ABCD 是矩形，DAB=90，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，OA=OD=OC=OB，SAOD=SDOC=SAOB=SBOC=S矩形ABCD=68=12，在 RtBAD 中，由勾股定理得：BD=10，AO=OD=5，SAPO+SDPO=SAOD，AOPE+DOPF=12，5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：三解答题（共 6 小题）19如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AB 的中点，AECD，CEAB，连接 DE 交 AC 于点 O（1）证明：四边形 ADCE 为菱形（2）BC=6，AB=10，求菱形 ADCE 的面积 欢迎下载 24【解答】证明：（1）在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AB 中点，CD=AB=AD，又AECD，CEAB 四边形 ADCE 是平行四边形，平行四边形 ADCE 是菱形；（2）在 RtABC 中，AC=8 平行四边形 ADCE 是菱形，CO=OA，又BD=DA，DO 是ABC 的中位线，BC=2DO 又DE=2DO，BC=DE=6，S菱形ADCE=24 20已知，如图，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EFBD于点 O，与 AD、BC 分别交于点 E、F试判断四边形 BFDE 的形状，并证明你的结论 【解答】答：四边形 BFDE 的形状是菱形，理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OB=OD，EDO=FBO，OED=OFB，OEDOFB，欢迎下载 25 DE=BF，又EDBF，四边形 BEDF 是平行四边形，EFBD，BEDF 是菱形 21如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，DEAC 于点 E，DGAB于点 G，EKAB 于点 K，GHAC 于点 H、EK 和 GH 相交于点 F 求证：GE 与 FD 互相垂直平分 【解答】证明：DEAC，DGAB，EKAB，GHAC，DGB=DEC=90，EKDG，DEGH，四边形 DEFG 是平行四边形，AB=AC，B=C，在DGB 和DEC 中，DGBDEC（AAS），DG=DE，四边形 DEFG 是平行四边形，四边形 DEFG 是菱形，GE 与 FD 互相垂直平分 欢迎下载 26 22如图：在ABC 中，CE、CF 分别平分ACB 与它的邻补角ACD，AECE于 E，AFCF 于 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于 M、N（1）求证：四边形 AECF 为矩形；（2）试猜想 MN 与 BC 的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形 AECF 是菱形，试判断ABC 的形状，直接写出结果，不用说明理由 【解答】（1）证明：AECE 于 E，AFCF 于 F，AEC=AFC=90，又CE、CF 分别平分ACB 与它的邻补角ACD，BCE=ACE，ACF=DCF，ACE+ACF=（BCE+ACE+ACF+DCF）=180=90，三个角为直角的四边形 AECF 为矩形 （2）结论：MNBC 且 MN=BC 证明：四边形 AECF 为矩形，对角线相等且互相平分，NE=NC，NEC=ACE=BCE，MNBC，又AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），N 是 AC 的中点，若 M 不是 AB 的中点，则可在 AB 取中点 M1，连接 M1N，则 M1N 是ABC 的中位线，MNBC，欢迎下载 27 而 MNBC，M1即为点 M，所以 MN 是ABC 的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明 AM=BM）MN=BC；法二：延长 MN 至 K，使 NK=MN，因为对角线互相平分，所以 AMCK 是平行四边形，KCMA，KC=AM 因为 MNBC，所以 MBCK 是平行四边形，MK=BC，所以 MN=BC （3）解：ABC 是直角三角形（ACB=90）理由：四边形 AECF 是菱形，ACEF，EFAC，ACCB，ACB=90即ABC 是直角三角形 23如图：矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1（1）判断BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形 EFPH 的面积 欢迎下载 28【解答】（1）BEC 是直角三角形：理由是：矩形 ABCD，ADC=ABP=90，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=，同理 BE=2，CE2+BE2=5+20=25，BC2=52=25，BE2+CE2=BC2，BEC=90，BEC 是直角三角形 （2）解：四边形 EFPH 为矩形，证明：矩形 ABCD，AD=BC，ADBC，DE=BP，四边形 DEBP 是平行四边形，BEDP，AD=BC，ADBC，DE=BP，AE=CP，四边形 AECP 是平行四边形，APCE，四边形 EFPH 是平行四边形，BEC=90，平行四边形 EFPH 是矩形 （3）解：在 RtPCD 中 FCPD，由三角形的面积公式得：PDCF=PCCD，CF=，欢迎下载 29 EF=CECF=，PF=，S矩形EFPH=EFPF=，答：四边形 EFPH 的面积是 24如图，在ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形 BDFG 为菱形；（3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长 【解答】（1）证明：ABC=90，BD 为 AC 的中线，BD=AC，AGBD，BD=FG，四边形 BGFD 是平行四边形，CFBD，CFAG，又点 D 是 AC 中点，DF=AC，BD=DF；（2）证明：BD=DF，四边形 BGFD 是菱形，（3）解：设 GF=x，则 AF=13x，AC=2x，欢迎下载 30 在 RtACF 中，CFA=90，AF2+CF2=AC2，即（13x）2+62=（2x）2，解得：x=5，四边形 BDFG 的周长=4GF=20